胡倩倩， 周 霞

(桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004)

1973年Black和Scholes首次提出著名的Black-Scholes(B-S)模型[1]。同年Merton改進了模型假設(shè)條件使其更符合實際，建立Black-Scholes-Merton模型[2]。這一研究工作于1997年10月獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎。Black-Scholes-Merton期權(quán)定價模型假設(shè)股票價格服從幾何Brown運動，然而大量的實證研究表明，股票價格具有長期依賴性和自相似性等特征，這些特征與分數(shù)Brown運動的某些特征相符合。于是學者們提出用分數(shù)Brown運動驅(qū)動的B-S方程代替由標準Brown運動驅(qū)動的B-S方程來研究期權(quán)定價。

然而當Η≠1/2時，分數(shù)Brown運動不是半鞅，直接將分數(shù)Brown運動運用于金融市場會產(chǎn)生套利機會[3-4]。為了更好地刻畫金融市場，一些學者提出用混合分數(shù)Brown運動代替Brown運動?；旌戏謹?shù)Brown運動是Brown運動和分數(shù)Brown運動的線性組合，它有著與半鞅類似的性質(zhì)，并且當赫斯特參數(shù)Η∈(1/2,1)時，由混合分數(shù)Brown運動驅(qū)動的金融市場是完備的且無套利[5]，從而由混合分數(shù)Brown運動驅(qū)動的金融市場更具有實際意義。

近年來，混合分數(shù)Brown運動下的期權(quán)定價問題一直備受學者們的關(guān)注。隨著金融市場的不斷發(fā)展，一些標準期權(quán)已不再滿足市場的需要，于是現(xiàn)實金融市場涌現(xiàn)出了各種各樣的新型期權(quán)。再裝期權(quán)與歐式看漲期權(quán)不同的是它允許期權(quán)的持有者在到期日之前的特定日期執(zhí)行歐式看漲期權(quán)。Johnson等[6]首次給出了標的資產(chǎn)服從標準Brown運動下的再裝期權(quán)定價公式。由于用分數(shù)Brown運動代替標準Brown運動研究資產(chǎn)價格變化更符合實際情況，徐峰等[7]運用Esscher變換的方法提出了分數(shù)Brown運動環(huán)境下無風險利率分別為常數(shù)以及非隨機函數(shù)的情況下的再裝期權(quán)的定價公式。傳統(tǒng)的期權(quán)定價方法對金融市場要求很高，計算過程也比較復雜。1998年Bladt和Rydberg[8]首次運用保險精算方法解決期權(quán)定價問題，該方法的優(yōu)點是其不需要對金融市場做任何經(jīng)濟假設(shè)。近年來，有關(guān)保險精算方法在再裝期權(quán)中的應用已經(jīng)取得了一些理論成果，如何永紅等[9]運用保險精算方法研究了分數(shù)Brown運動環(huán)境下的再裝期權(quán)，Xu等[10]使用保險精算的方法來估計風險資產(chǎn)在跳-擴散過程下的再裝期權(quán)。為此，假設(shè)股票價格服從混合分數(shù)Brown運動，利用保險精算的方法，給出了帶時變參數(shù)的再裝期權(quán)定價公式。

1 混合分數(shù)Brown運動環(huán)境下金融市場模型

假定金融市場由無風險資產(chǎn)(債券)和風險資產(chǎn)(股票)2種資產(chǎn)組成。無風險資產(chǎn)(債券)價格(P(t)，t≥0)滿足方程

dP(t)=r(t)P(t)dt，

(1)

其中r(t)為無風險利率函數(shù)。風險資產(chǎn)(股票)價格(S(t)，t≥0)滿足方程

dS(t)=μ(t)S(t)dt+σS(t)dBH(t)+

ε(t)S(t)dB(t)，

(2)

其中：μ(t)為t時刻的股票價格的期望收益率函數(shù)；σ>0為股票價格的波動率；ε(t)為波動率函數(shù)；B(t)和BH(t)為定義在完備概率空間(Ω，F(xiàn)，R)上的Brown運動和分數(shù)Brown運動，假設(shè)二者相互獨立。本研究假設(shè)赫斯特參數(shù)H∈(1/2,1)，μ(t)和r(t)均為[0,+∞)→R上的函數(shù)，并滿足

引理1帶時變參數(shù)的B-S方程(2)的解為

(3)

證明設(shè)V(t)=V(t,S(t))，V(t)為二元可微函數(shù)，根據(jù)Taylor公式有

因為E[B(t)]2=t，E[BH(t)]2=t2H，所以可近似地認為[dB(t)]2=dt，[dBH(t)]2=2Ht2H-1dt，則有

(dS(t))2=[μ(t)S(t)dt+σS(t)dBH(t)+

ε(t)S(t)dB(t)]2=μ2(t)S2(t)(dt)2+

σ2S2(t)(dBH(t))2+ε2(t)S2(t)(dB(t))2+

2S2(t)[μ(t)σdBH(t)dt+μ(t)ε(t)dB(t)dt+σε(t)dBH(t)dB(t)]=

2Hσ2t2H-1S2(t)dt+ε2(t)S2(t)dt+o(dt)。

忽略高階無窮小，于是有

(4)

將隨機過程V(t)=lnS(t)代入式(4)，

σdBH(t)+ε(t)dB(t)，

(5)

對式(5)兩邊取積分得，

證畢。

2 混合分數(shù)Brown運動環(huán)境下帶時變參數(shù)的再裝期權(quán)

定義1[10]在到期日T之前只考慮再裝一次情況下，再裝期權(quán)的收益結(jié)構(gòu)為：在再裝日期T1(0

當T1→T時，再裝期權(quán)就退化為歐式看漲期權(quán)。

定義2[9]再裝期權(quán)的保險精算價格定義為

其中I(·)為示性函數(shù)。

定理1帶時變參數(shù)的混合分數(shù)Brown運動環(huán)境下再裝期權(quán)保險精算價格為

KN(d4,d5,ρ1)-KN(d1,d3,ρ1)×

(6)

計算C1，執(zhí)行條件為

(7)

由式(3)可得

(8)

將式(8)代入式(7)，

(9)

對式(9)兩邊取對數(shù)，

因此

令

則

計算C2，由執(zhí)行條件

-d3，

且

所以

KN(d4,d5,ρ1)-KN(d1,d3,ρ1)×

計算C3，由于

(x<-d1)，

(z>-d6)，

且

E(x,z)=ρ2，

所以

由C=C1+C2+C3，因此式(6)得到證明。

推論1當ε(t)=0,μ(t)=μ,r(t)=r為常數(shù)時，式(1)和式(2)退化為

dP(t)=rP(t)dt，

(10)

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dBH(t)，

(11)

滿足式(10)和式(11)的再裝期權(quán)定價公式為

C=S(0)N(d2)-Kexp(-rT1)N(d1)+

KN(d4,d5,ρ1)-Kexp(-rT1)N(d1,d3,ρ1)+

S(0)N(-d7,d8,-ρ2)-Kexp(-rT)×

N(-d1,d6,-ρ2)。

(12)

d7=d1+ρ2σTH，d8=d6+σTH，

運用與定理1相同的方法，可得到推論1的結(jié)果，詳細證明略。特別地，當ε(t)=0,μ(t)=μ,r(t)=r為常數(shù)時，式(12)的再裝期權(quán)定價公式與文獻[9]的定理1一致。

推論2當μ(t)=μ，ε(t)=0，r(t)=r，H=1/2時，式(1)和式(2)退化為

dP(t)=rP(t)dt，

(13)

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dB(t)，

(14)

滿足式(13)和式(14)的再裝期權(quán)定價公式為

C=S(0)N(d2)-Kexp(-rT1)N(d1)+

KN(d4,d5,ρ1)-Kexp(-rT1)N(d1,d3,ρ1)+

S(0)N(-d7,d8,-ρ2)-

Kexp(-rT)N(-d1,d6,-ρ2)。

(15)

類似于定理1的證明方法，可得到推論2的結(jié)果，詳細證明略。特別地，當μ(t)=μ，ε(t)=0，r(t)=r，H=1/2時，式(15)的再裝期權(quán)定價公式與文獻[12]的命題一致。

3 結(jié)束語

在股票價格遵循混合分數(shù)Brown運動驅(qū)動的B-S方程的基礎(chǔ)上，運用保險精算的方法，推導了混合分數(shù)Brown運動下帶時變參數(shù)的再裝期權(quán)的定價公式，今后將重點研究如何處理波動率σ=σ(t)的情況。