崔凱利， 寇俊克

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

在實(shí)際問題中，由于噪聲的存在，無法獲得真實(shí)的測(cè)量數(shù)據(jù)，只能獲取含有偏差的數(shù)據(jù)。考慮基于強(qiáng)混樣本的帶偏差密度估計(jì)模型，即對(duì)m∈{1,2，…,M}，隨機(jī)變量Ym,1,Ym,2,…,Ym,nm是同分布且強(qiáng)混的，其密度函數(shù)為

(1)

針對(duì)上述模型，利用小波方法構(gòu)造了線性小波估計(jì)器，并在積分均方誤差意義下討論該估計(jì)器的收斂階。

1 小波估計(jì)器

為了構(gòu)造小波估計(jì)器，首先引入多分辨率分析。

定義1平方可積函數(shù)空間L2(R)的一個(gè)多分辨率分析(multiresolution analysis，簡(jiǎn)稱MRA)[5-6]是指一列線性閉子空間{Vj}j∈Z滿足以下條件：

1)單調(diào)性：Vj?Vj+1,?j∈Z;

3)伸縮性：f(y)∈V0?f(2jy)∈Vj,?j∈Z;

4)基的存在性：存在φ∈L2(R)，使得{φ(y-k)}k∈Ζ為V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基，其中φ為該MRA對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)。

另外，對(duì)任意f∈L2(R)且suppf=[0,1]，

其中，Λ={k∈Ζ,suppf∩suppφj0,k≠?}，Λj={k∈Ζ,suppf∩suppψj,k≠?}，αj0,k=〈f,φj0,k〉，βj,k=〈f,ψj,k〉。選取Daubechies小波[7]D2 N，其中suppφ=[0,2N-1]，suppψ=[-N+1,N]。由于f與φ都具有緊支性，易得集合Λ的基數(shù)|Λ|～2j0，集合Λj的基數(shù)|Λj|～2j。設(shè)AB表示A≤cB，c>0為某一常數(shù)，A?B表示BA，A～B表示AB且BA。

小波作為L(zhǎng)2(R)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，還可以用來刻畫Besov空間。

引理1[6]設(shè)φ為m(m>s>0)階正則的尺度函數(shù)，且ψ為相應(yīng)的小波函數(shù)，若f∈Lp(R)(1≤p≤∞)，則

2){2js‖Pjf-f‖p}j≥0∈lq，

在非參數(shù)估計(jì)問題中，通常假定

其中常數(shù)H>0。

定義2[8]對(duì)正整數(shù)k，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程{Yi,i∈Z}的k階強(qiáng)混系數(shù)定義為

在構(gòu)造小波估計(jì)器前，還需對(duì)模型作以下假設(shè)：

H2：存在一個(gè)常數(shù)c3>0，使得f(y)有正的上界，即0

H3：對(duì)任意k∈Z，強(qiáng)混系數(shù)滿足α(k)≤γe-c|k|θ,其中γ>0,c>0,θ>0。

H4：對(duì)任意m∈{1,2，…,M}及i∈{1,2，…,nm}，設(shè)(Ym,1,Ym,i+1)的密度函數(shù)為g(Ym,1,Ym,i+1)，則存在c4>0，使得

|g(Ym,1,Ym,i+1)(y,y′)-g(y)g(y′)|≤c4。

H1在帶偏差密度估計(jì)模型中是必不可少的[1-4]，H3、H4可以看作是對(duì)隨機(jī)變量強(qiáng)混的不同表述[9-10]。

線性小波估計(jì)器

(2)

其中：

(3)

(4)

2 2個(gè)引理

引理2針對(duì)密度估計(jì)模型(1)，

仿真中A相勵(lì)磁涌流第1個(gè)波峰峰值為231 A，實(shí)測(cè)中A相勵(lì)磁涌流第1個(gè)波峰峰值為218 A，仿真相對(duì)實(shí)測(cè)誤差僅為6%。此外，兩者波形變化趨勢(shì)保持高度一致，充分證明了基于電壓積分法的剩磁評(píng)估方法和PSCAD變壓器飽和模型的可用性，以及所提剩磁施加方法的正確性，為變壓器合閘勵(lì)磁涌流評(píng)估以及主變壓器消磁效果評(píng)價(jià)提供了一種手段。

證明由于Ym,1,Ym,2,…,Ym,nm同分布，

根據(jù)式(1)可得

類似地，

引理3假設(shè)模型(1)滿足H1～H4，且2j≤nm，則

(5)

(6)

證明對(duì)于式(5)，由方差的性質(zhì)可得

(7)

依據(jù)式(1)和H1、H2，

(8)

因?yàn)閅m,1,Ym,2,…,Ym,nm是嚴(yán)平穩(wěn)，且2j≤nm，則不等式(7)的第2項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為

首先估計(jì)T1。由H1、H4可得

|?(y,y′)∈[0,1]2(g(Ym,1,Ym,l+1)(y,y′)-g(y)g(y′))·

?(y,y′)∈[0,1]2|g(Ym,1,Ym,l+1)(y,y′)-g(y)g(y′)|·

因此，

(9)

估計(jì)T2。利用Davydov不等式(p=q=4)以及H1，則

進(jìn)而，

(10)

聯(lián)合式(9)、(10)，不等式(7)右端第2項(xiàng)的上界為

再結(jié)合式(7)和(8)可得

對(duì)于式(6)，依據(jù)式(7)和H1可得

(11)

利用Davydov不等式(p=q=4)和H1可得

3 定理

證明由三角不等式知，

(12)

(13)

(14)

聯(lián)合式(13)和(14)可得

(15)

因此，對(duì)于1≤p<∞，式(15)恒成立。

(16)

另外，利用凹函數(shù)的性質(zhì)可知，

(17)

利用引理2和引理3可知，

(18)

即

聯(lián)合式(16)和(17)可得

4 結(jié)束語