山東省泰安市寧陽縣第一中學(271400) 劉才華

山東省泰安市寧陽縣第一小學(271400) 劉士香

高考真題(2020年高考北京卷第20 題)已知橢圓=1 過點A(?2,?1),且a=2b.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)過點B(?4,0)的直線?交橢圓C于點M,N,直線MA,NA分別交直線x=?4 于點P,Q,求的值.

注意到由本題條件可得xA.xB=(?2)×(?4)=8,而本題a2=8,此時得到=1.這啟發(fā)我們作進一步思考,對于一般的橢圓,是否也有同樣的結論=1? 結論是否具有偶然性? 于是我們通過對試題的深入探究,作進一步的推廣,得到如下有趣的

命題1直線x=t交橢圓Γ :=1(a ＞b ＞0)于點A(不同于長軸端點),過B(m,0)的直線?交橢圓于M,N兩點,直線MA,NA分別交直線x=m于點P,Q,則|PB|=|BQ|的充要條件是mt=a2.

證明如圖,由題意知直線?的斜率存在,設其方程為y=k(x ?m),交橢圓于M(x1,y1),N(x2,y2).

則Δ＞0 且

直線?割ΔAPQ三邊所在直線于點B,M,N,由梅內(nèi)勞斯定理得則

將x1+x2=,x1·x2=代入上式可得|PB|=|BQ| ?mt=a2,故|PB|=|BQ|的充要條件是mt=a2.

命題2直線y=t交橢圓Γ:=1(a ＞b ＞0)于點A(不同于短軸端點),過B(0,m)的直線?交橢圓于M,N兩點,直線MA,NA分別交直線y=m于點P,Q,則|PB|=|BQ|的充要條件是mt=b2.

命題2 的證明分直線?斜率不存在和斜率存在兩種情況,其中斜率不存在時容易證明,斜率存在時可以仿照命題1給出證明,過程從略.對于圓,我們有如下

命題3直線x=t交圓Γ :x2+y2=r2(r ＞0)于點A(不同于圓與x軸的交點),過B(m,0)的直線?交圓于M,N兩點,直線MA,NA分別交直線x=m于點P,Q,則|PB|=|BQ|的充要條件是mt=r2.

命題3 可以仿照命題1 給出證明,過程從略.對于雙曲線,我們有如下

命題4直線x=t交雙曲線Γ:=1(a,b ＞0)于點A(不同于實軸端點),過B(m,0)的直線?交雙曲線于M,N兩點,直線MA,NA分別交直線x=m于點P,Q,則|PB|=|BQ|的充要條件是mt=a2.

證明由題意知直線?的斜率存在,設其方程為y=k(x ?m),交雙曲線于M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y并整理得(a2k2?b2)x2?2a2k2mx+a2k2m2+a2b2=0,則Δ＞0且x1+x2=

直線?割ΔAPQ三邊所在直線于點B,M,N,由梅內(nèi)勞斯定理得則