湖南省懷化市鐵路第一中學(xué)(418000) 高 用

1 試題的求解與評析

題目1(2020 高考全國1 卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2?x.

(1)當(dāng)a=1 時,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x≥0 時,f(x)≥求a的取值范圍.

解析(1)當(dāng)a=1 時,f(x)=ex+x2?x,則f′(x)=ex+2x ?1,因為f′(x)在? 上單調(diào)遞增,而f′(0)=0,所以當(dāng)x∈(?∞,0)時,f′(x)＜0,當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)＞0,故f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)解法1當(dāng)x≥0 時,f(x)≥+1,即ex+ax2?x≥+1,顯然,當(dāng)x ＞0 時,上不等式成立.當(dāng)x ＞0 時,不等式等價于,令g(x)=x ＞0,則

令h(x)=x3?2x ?4?2(x ?2)ex,x ＞0,則h′(x)=3x2?2?2(x ?1)ex,所以h′′(x)=6x ?2xex=2x(3?ex),由h′′(x)＞0,解得0＜x ＜ln 3,所以h′(x)在(0,ln 3)上單調(diào)遞增,在(ln 3,+∞)上單調(diào)遞減,

故當(dāng)x∈(0,ln 3)時,h′(x)＞h′(0)=0,而h′(2)=2(5?e2)＜0,所以h′(x)在(ln 3,+∞)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x0,且x0∈(ln 3,2),使得當(dāng)x∈(ln 3,x0)時,h′(x)＞0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,h′(x)＜0,所以h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,+∞)上單調(diào)遞減.從而當(dāng)x∈(0,x0)時,h(x)＞h(0)=0,而h(2)=0,則x=2 是h(x)的唯一零點(diǎn),且當(dāng)x∈(0,2)時,h(x)＞0,則g′(x)＞0,所以g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(2,+∞)時,h(x)＜0,則g′(x)＜0,所以g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)max=g(2)=由題意,

綜上,a的取值范圍為

解法2當(dāng)x≥ 0 時,f(x)≥+ 1,即ex+等價于1+≥0,令g(x)=+ 1,x≥ 0,則g′(x)=若2a+ 1≤0,即時,g′(x)＞0 的解集為(2,+∞),則g(x)在[0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(2)=由題意得≥0,解得a≥矛盾.

若0＜2a+1＜2,即時,g′(x)＞0 的解集為(0,2a+1)∪(2,+∞),所以g(x)在[0,2a+1)上單調(diào)遞增,在(2a+1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.故當(dāng)x∈[0,2a+1)時,g(x)≥g(0)=0,要使得g(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,則g(2)≥0,即≥0,解得若2a+1=2,即時,g′(x)≥0,則g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(0)=0,滿足題意.

若2a+ 1＞2,即a ＞時,g′(x)＞0 的解集為(0,2)∪(2a+ 1,+∞),所以g(x)在[0,2)上單調(diào)遞增,在(2,2a+1)上單調(diào)遞減,在(2a+1,+∞)上單調(diào)遞增.故當(dāng)x∈[0,2)時,g(x)≥g(0)=0,要使得g(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立,則g(2a+1)≥0,即

令t=2a+ 1,則+ 1≥ 0,令h(t)=+1,則h′(t)=＞0,所以h(t)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,故h(t)＞h(2)=1?＞0,滿足題意,所以

綜上,a的取值范圍為

評析本題是一道不等式恒成立問題,此題的難點(diǎn)在于不等式由指數(shù)和3 次函數(shù)的簡單組合,次數(shù)比較高,多次求導(dǎo)可以降冪,但有參數(shù)不容易求根,所以直接作差構(gòu)造函數(shù)的最值法行不通.為了解決以上的這個困難,可以從兩個方面著手: 一是分離參數(shù),將參數(shù)從函數(shù)中分離出來,然后通過多次求導(dǎo)降冪,從而求出導(dǎo)數(shù)的根,得到函數(shù)單調(diào)性,最終求出函數(shù)的最值,使得問題得解; 二是“消去”指數(shù)ex,通過不等式兩邊同時除以ex,從而構(gòu)造一個以ex為分母的分式函數(shù),求導(dǎo)之后轉(zhuǎn)化為x(x ?2)[x ?(2a+1)],然后便可以討論單調(diào)性求最值,進(jìn)而求出參數(shù)a的取值范圍.正是由以上的兩種處理思路得到了解法1 和解法2.

本題雖然是常規(guī)題型,卻是常規(guī)中有新意,很好得考查學(xué)生遇到問題、分析問題、解決問題的能力,對靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具求解問題要求較高.

題目2(2020年高考全國Ⅱ卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.

(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;

(2)證明:|f(x)|≤

(3)設(shè)n∈??,證明: sin2xsin22xsin24x···sin22nx≤

解析(1)

因為x∈(0,π),由f′(x)＞0,解得0＜ x ＜或所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

(2)證明: 因為f(x+π)=sin2(x+π)sin 2(x+π)=sin2xsin 2x=f(x),所以f(x)是以π為周期的周期函數(shù).由(1)知,當(dāng)x∈(0,π)時,f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又所以故有|f(x)|≤所以,x∈?,|f(x)|≤

(3)證明: 由(2)知,|f(x)|≤則即sin4xsin22x≤所以sin4xsin62xsin64x···sin62n?1xsin22nx≤,又sin2x≤1,sin42nx≤1,所以

試題出處華東師范大學(xué)出版社《奧數(shù)教程》高一分冊第14 講《三角不等式》練習(xí)題B 組15 題:

評析本題應(yīng)該是上述的一道競賽題改編而成,將證明不等式所需構(gòu)造的函數(shù)以題干的形式給出,通過設(shè)置三問,逐步引導(dǎo),層層遞進(jìn),大大降低了難度,使之成為了一道合適的高考試題.

本題是一道三角不等式問題,含三角的函數(shù)最大的難點(diǎn)在于函數(shù)單調(diào)性往往比較復(fù)雜,此類問題一般需要借助其周期性、對稱性、有界性等來進(jìn)行求解.對本題來說,利用其周期為π,研究在(0,π)內(nèi)的單調(diào)性、值域,從而得到整個定義域內(nèi)的值域,再借助第二問的不等式,結(jié)合第三問要證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),不難得到證明思路.

題目3(2020年高考全國Ⅲ卷理科第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線與y軸垂直.

(1)求b;

(2)若f(x)有一個絕對值不大于1 的零點(diǎn),證明:f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

BOTDR是布里淵散射光時域反射測量技術(shù)(Brillouin Optical Time Domain Reflectometry)的縮寫，是一種分布式應(yīng)變監(jiān)測技術(shù)，屬于滑坡地表位移測線型監(jiān)測技術(shù)。其基本原理是利用光纖中的自然布里淵散射光的頻移變化量與光纖所受的軸向應(yīng)變和溫度的線性關(guān)系，得到光纖的軸向應(yīng)變，進(jìn)而求出軸向位移[21]，根據(jù)BOTDR接收到的布里淵散射光頻率，即可完成光纖上各點(diǎn)的定位和測量。布里淵散射光頻率的漂移量與光纖的軸向應(yīng)變和溫度的關(guān)系與可用下式表示：

解析(1)f′(x)=3x2+b,由題意得即

(2)解法1f(x)=x3?+c,則f′(x)=3x2?=由f′(x)＞0,解得所以f(x)在(?∞,)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以f(x)在x=處取極大值處取極小值

若c+＜0,即c ＜時,f(x)只有一個零點(diǎn),因為f(1)=c+＜0,所以該零點(diǎn)大于1,不滿足題設(shè).若c ?＞0,即c ＞時,f(x)只有一個零點(diǎn),因為f(?1)=c ?＞0,所以該零點(diǎn)小于?1,不滿足題設(shè).若即c=時,f(x)有兩個零點(diǎn)x=和x=1,此時f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.若c ?=0,即時,f(x)有兩個零點(diǎn)和x=?1,此時f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.若c+＞0 且c ?＜0,即所以f(x)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x0,又f(?1)=c ?14＜0,所以f(x)在(?∞,)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x1∈(?1,?),而f(1)=c+＞0,所以f(x)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)

綜上,若f(x)有一個絕對值不大于1 的零點(diǎn),f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

評析本題是一道函數(shù)零點(diǎn)問題,所研究的函數(shù)就是一個三次函數(shù),可以說非常簡單,只需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)極值進(jìn)行分類討論,然后利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行“卡根”即可得到零點(diǎn)的范圍.

下面給出一種利用三次實系數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系處理的解法:

解法2f(x)=0,即x3?+c=0.若方程+c=0 只有1 個實根,如果該實根的絕對值不大于1,則f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1;如果該實根的絕對值大于1,則不滿足題設(shè).若方程+c=0 有3 個實根(包括其中有兩個相等實根的情況),設(shè)這3 個實根分別為x1,x2,x3,由韋達(dá)定理,有x1+x2+x3=0,x1x2+x2x3+x3x1=則=(x1+x2+x3)2?2(x1x2+x2x3+x3x1)=

所以至多有一個實根的絕對值大于1,不妨設(shè)|x1| ＞1,則|x2+x3|=|?x1|=|x1| ＞1,從而1＜(x2+x3)2=故矛盾.所以方程+c=0的3 個實根的絕對值都不大于1.

綜上,若f(x)有一個絕對值不大于1 的零點(diǎn),f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

題目4(2020年高考全國新課標(biāo)Ⅰ卷第21 題)已知函數(shù)f(x)=aex?1?lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e 時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析當(dāng)a=e 時,f(x)=ex?lnx+1,則f′(x)=所以f′(1)=e?1,f(1)=e+1,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y ?(e + 1)=(e?1)(x ?1),即y=(e?1)x+ 2.令x=0,得y=2; 令y=0,得所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

(2)解法1f′(x)=令0,因為a ＞0,易得g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又x →0時,g(x)→?∞;x →+∞時,g(x)→+∞,所以存在唯一x0∈(0,+∞)使得g(x0)=0,即aex0?1?=0,則a=那么,當(dāng)x∈(0,x0)時,g(x)＜0,即f′(x)＜0,則f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,g(x)＞0,即f′(x)＞0,則f(x)單調(diào)遞增,所以

由題意,f(x)min≥1,即?2 lnx0?x0+ 1≥1,即?2 lnx0?x0≥0.令h(x)=?2 lnx ?x,易知h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又h(1)=0,所以不等式?2 lnx0?x0≥0 的解集為(0,1].而則,x0∈(0,1],令φ(x)=xex?1,x∈(0,1],則φ′(x)=(x+1)ex?1＞0,所以φ(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,故φ(x)∈(0,1],則∈(0,1],所以a∈[1,+∞).所以,a的取值范圍為[1,+∞).

解法2f(x)≥ 1,即aex?1?lnx+ lna≥ 1,則elna+x?1?lnx+lna≥1,得elna+x?1+lna+x?1≥lnx+x,令g(x)=ex+x,則g(lna+x ?1)≥g(lnx).易知g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以原不等式等價于lna+x?1≥lnx,則lna≥lnx ?x+1.

令h(x)=lnx ?x+1,則所以當(dāng)x∈(0,1)時,h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時,h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減,故h(x)max=h(1)=0.由題意,lna≥h(x)max=0,得a≥1.所以,a的取值范圍為[1,+∞).

評析本題也是一道不等式恒成立問題,處理的難點(diǎn)在于含參數(shù)“雙超越”結(jié)構(gòu),直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)之后無法求出根需要假設(shè)“隱零點(diǎn)”,所以該題也是一道“隱零點(diǎn)”問題.“隱零點(diǎn)”問題處理的關(guān)鍵是“隱零點(diǎn)”與參數(shù)之間的代換,本題是將函數(shù)f(x)的最小值代換為關(guān)于“隱零點(diǎn)”x0的式子,通過解關(guān)于x0的不等式得到x0的取值范圍,再利用參數(shù)a與x0的關(guān)系解出a的取值范圍.

另外,“雙超越”結(jié)構(gòu)的函數(shù)往往都具備一定的對稱性,可以利用這種對稱性進(jìn)行代數(shù)變形構(gòu)造同構(gòu)式,再借助函數(shù)單調(diào)性,從而將原不等式等價轉(zhuǎn)化為較為簡潔的“單超越”不等式.

2 復(fù)習(xí)備考的建議

2.1 重視基礎(chǔ),回歸本質(zhì)

可以看出,2020年全國卷的幾道導(dǎo)數(shù)壓軸試題難度都不大,而且題型也很常規(guī),涉及到不等式恒成立、不等式證明和函數(shù)零點(diǎn),注重對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)最基礎(chǔ)知識和方法的考查,利用函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值、最值、零點(diǎn)存在定理等處理、解決不等式恒成立、不等式證明和函數(shù)零點(diǎn)問題.所以,對導(dǎo)數(shù)大題的復(fù)習(xí)備考要淡化技巧,重視基礎(chǔ),回歸本質(zhì),突顯導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的工具性作用,重點(diǎn)掌握導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的基本思想和方法,要注重通解通法,注重題型及其求解方法的歸納.

2.2 深化思想,提升能力

今年的幾道導(dǎo)數(shù)壓軸題常規(guī)中有新意、有變化,所以教學(xué)重視知識、技能、方法的同時,要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想、經(jīng)歷數(shù)學(xué)的思維分析、解決數(shù)學(xué)問題過程,以數(shù)學(xué)思想為魂,統(tǒng)領(lǐng)復(fù)習(xí),這樣才能參透通性通法,而不是陷入同型同法的簡單重復(fù)和模仿,解題僵化,縱使刷題無數(shù),遇到新問題,還是遭遇無法解決的囧地.

學(xué)生要提升問題解決的能力,在平時的解題教學(xué)中,要培養(yǎng)好以下幾種能力:

一是猜想能力,學(xué)生要通過分析問題,依據(jù)自身積累的經(jīng)驗和方法,提出一定的猜想,逐漸尋找解決問題的思路,一旦思路受阻,要及時地轉(zhuǎn)換角度,重新尋找,再次挑戰(zhàn).

二是化歸能力,要把復(fù)雜的問題通過“抽絲剝繭”,轉(zhuǎn)化成熟悉的或是已經(jīng)解決的數(shù)學(xué)模型,最終達(dá)到解決問題的目的.

三是運(yùn)算能力,運(yùn)算也是一種計算思維,是一種基本的數(shù)學(xué)能力,有了想法,運(yùn)算能力達(dá)不到,問題的解決也會成為空談.

四是反思能力,要善于對自己學(xué)習(xí)過程中解決問題的思路進(jìn)行總結(jié)反思,以后碰到類似的問題就能手到擒來,這也是為什么教師在教學(xué)中常常關(guān)注一題多解、一題多變的真正原因,可以加深學(xué)生對問題的深入理解和研究.