廣東省深圳市高級中學(518040) 李浩賓 高 軍

不等式恒成立問題作為近年來高考的熱點題型,也是不等式學習中的重點與難點.本文以2020年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學第21 題第2 問為例,呈現(xiàn)問題的三種思路,五種解法,兼顧了解題的通性通法和常用解答技巧的理性思考,展示了運用多種數(shù)學思想方法進行思考的解題過程,體現(xiàn)了數(shù)學思想對數(shù)學解題的作用,并在解題和教學層面進行了反思,與讀者交流.

一、試題呈現(xiàn)

題目(2020年高考全國Ⅰ卷理科第21 題)已知函數(shù)

f(x)=ex+ax2?x.

(1)當a=1 時,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當x≥0 時,f(x)≥+1,求a的取值范圍.

下面主要對第(2)問進行解法探究.

二、解法探究

思路一: 分離函數(shù),數(shù)形結(jié)合

解法1(分離參數(shù))分離參數(shù)法是通過對不等式恒等變形,使參數(shù)與主元分離于不等式兩端,從而將問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值的解題方法.本題中的不等式含指數(shù)函數(shù)與三次函數(shù),參數(shù)為二次項系數(shù),比較容易分離參數(shù).

(i)當x=0 時,f(x)≥+1 恒成立;

(ii)當x ＞0 時,f(x)≥+ 1 等價于a≥恒成立,記g(x)=則g′(x)=記h(x)=+x+1?ex,當x ＞0 時,h′′(x)=1?ex ＜0,h′(x)=x+1?ex ＜0,所以h′(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,h′(x)＜h′(0)=0,所以h(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,h(x)＜h(0)=0.所以當x∈(0,2)時,g′(x)＞0,g(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增; 當x∈(2,+∞)時,g′(x)＜0,在(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以[g(x)]max=g(2)=故a≥

綜上所述,a的取值范圍為

評注本題分離后的函數(shù)單調(diào)性判斷不復雜,原因是導函數(shù)通分后的分子能夠因式分解,導函數(shù)的零點較容易求解,導函數(shù)的正負情況容易判斷.因此,分離參數(shù)的原則是分離后的函數(shù)單調(diào)性容易判斷,能夠得到函數(shù)的最值(確界),進而解決恒成立問題.利用分離參數(shù)法來確定不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ為實參數(shù))恒成立中參數(shù)λ的取值范圍的基本步驟:

(1)將參數(shù)與變量分離,即化為g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式;

(2)求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值;

(3)解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min),得λ的取值范圍.

解法2(分離一次函數(shù))當x=0 時,f(x)≥+1恒成立; 當x ＞0 時,f(x)≥+ 1 等價 于ax≥恒成立,記g(x)=則記h(x)=x2+x+1?ex,當x ＞0 時,h′(x)=2?ex,h′′(x)=2x+1?ex,所以h′(x)在(0,ln 2)內(nèi)單調(diào)遞增,在(ln 2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,而且h′(0)=0,h′(1)=3?e＞0,h′(2)=5?e2＜0,所以存在x0∈(1,2),h′(x0)=0,此時當x∈(0,x0)時,h(x)＞0,當x∈(x0,+∞)時,h(x)＜0,所 以g(x)在(0,1)內(nèi) 單調(diào)遞減,在(1,x0)內(nèi)單調(diào)遞增,在(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且g(0)=0,則g(x)=的圖象如圖所示,原不等式恒成立等價于y=ax的圖象位于y=g(x)的圖象上方,臨界情況是兩函數(shù)圖象相切.當y=ax與y=g(x)的圖象相切時,設(shè)切點坐標為(m,t),則a=g′(m)=am=g(m)=解得m=2,a=故a的取值范圍是

評注所給不等式進行合理的變形化為f(x)≥g(x)(或f(x)≤g(x)),能較容易地作出不等號兩邊函數(shù)的圖象,由數(shù)形結(jié)合直接判斷得出結(jié)果.

思路二: 構(gòu)造含參函數(shù),進行分類討論

解法3因為f(x)≥+1 等價于x ?1≥0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex ?+ax2?x ?1(x≥0),則g′(x)=ex ?+ 2ax ?1,g′′(x)=ex ?3x+ 2a,g′′′(x)=ex ?3,且g(0)=0,g′(0)=0,g′′(0)=1+2a.所以g′′(x)在(0,ln 3)內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln 3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,此時[g′′(x)]min=g′′(ln 3)=2a+3(1?ln 3).

(i)若2a+3(1?ln 3)≥0,即a≥則g′(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,g(x)≥g(0)=0,不等式恒成立;

(ii)若2a+ 1≤0,即a≤則當x∈(0,ln 3),g′′(x)＜0.所以g′(x)在(0,ln 3)內(nèi)單調(diào)遞減,而g′(0)=0,故當x∈(0,ln 3)時,g(x)在(0,ln 3)內(nèi)單調(diào)遞減,不合題意.

若g′(x2)≥0,則g′(x)≥0 恒成立,g(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,g(x)≥g(0)=0,不等式恒成立; 若g′(x2)＜0,則存在x3∈(x1,x2),x4∈(x2,+∞),g′(x3)=g′(x4)=0,此時g(x)在(0,x3)內(nèi)單調(diào)遞增,在(x3,x4)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x4,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且g(0)=0,要使g(x)≥ 0恒成立,只需要g(x4)=0,此時g′(x4)=ex4?2ax4?1=0,g(x4)=?x4?1=0,消去a,得(x4?2)=0,解得x4=2,由g(x4)≥0得a≥,故綜上,a的取值范圍是

解法4f(x)≥+1 等價于1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x≥0),則

(i)若2a+1≤0,即a≤則當x∈(0,2),g′(x)＞0.所以g(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,而g(0)=1,故當x∈(0,2)時,g(x)＞1,不合題意.

(ii)若0＜2a+ 1＜2,即則當x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)時,g′(x)＜0,當x∈(2a+1,2)時,g′(x)＞0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在(2a+1,2)內(nèi)單調(diào)遞增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1當且僅當g(2)=(7?4a)e?2≤1,即a≥,所以當時,g(x)≤1.(iii)若2a+1≥2,即則g(x)≤由于0∈故由(ii)可得1,故當時,g(x)≤1.

綜上,a的取值范圍是

評注比較這兩種解法,解法3 直接移項構(gòu)造函數(shù),想法簡單,但后續(xù)涉及到一、二階導數(shù)的討論,比較復雜,而且涉及x4=2 的求解,難以完成.解法4 構(gòu)造巧妙,注意到的導函數(shù)因式分解,能求解零點,討論相對比較簡單.構(gòu)造含參函數(shù)解決不等式恒成立的一般思路:

f(x)＞0 恒成立?f(x)min＞0 (注: 若f(x)的最小值不存在,則f(x)＞0 恒成立?f(x)的下界大于0);f(x)＜0 恒成立?f(x)max＜0(注: 若f(x)的最大值不存在,則f(x)＜0 恒成立?f(x)的上界小于0).

思路三: 必要性探路,再證充分性

解法5當x=2 時,a≥下證當a=時,原不等式成立.此時f(x)≥+ 1 等價于設(shè)函數(shù)g(x)=ex ?+?x?1(x≥0),則g′(x)=ex ?x?1,g′′(x)=ex ?3x+,g′′′(x)=ex ?3,且g(0)=0,g′(0)=0,g′′(0)=＞0.所以g′′(x)在(0,ln 3)內(nèi)單調(diào)遞減,在(ln 3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

由[g′′(x)]min=g′′(ln 3)=?3 ln 3＜0,g′′(2)=＞0 可知存在x1∈(0,ln 3),x2∈(ln 3,2),g′′(x1)=g′′(x2)=0,此時g′(x)在(0,x1)單調(diào)遞增,在(x1,x2)單調(diào)遞減,在(x2,+∞)單調(diào)遞增,且g′(0)=g′(2)=0.所以存在x3∈(x1,x2),g′(x3)=0,此時當x∈(0,x3)時,g′(x)＞0,當x∈(x3,2)時,g′(x)＜0,當x∈(2,+∞)時,g′(x)＞0.所以g(x)在(0,x3)單調(diào)遞增,在(x3,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增,且g(0)=g(2)=0,故g(x)≥0.當a=時,原不等式成立.

綜上,a的取值范圍是

評注在給定區(qū)間上適當考慮某點(端點)的性質(zhì),取x的特殊值,得到參數(shù)的取值范圍,找到一個不等式成立的必要條件,從而縮小范圍,然后再證明必要條件也是充分條件,即可求得結(jié)論,就是我們常說的必要性探路法.而端點效應(yīng)是其中比較常見的一種題型,比如2019年新課標全國Ⅰ卷文科第20 題體現(xiàn)了這樣的解題思路.

結(jié)語不等式恒成立求參數(shù)范圍問題,往往涉及函數(shù)、方程、不等式等高中數(shù)學核心知識,以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想,綜合性強、難度大.解決此類問題的通法是構(gòu)造函數(shù),對參數(shù)進行分類討論求解;也可以優(yōu)先采用分離函數(shù)方法,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,或借助數(shù)形結(jié)合思想求解;然而并非所有問題用這兩種思路容易奏效,這時我們可以采用必要性探路,再證充分性的思路.學生在實際解題中,需結(jié)合具體問題進行具體分析,選擇合適的解題思路與方法,讓問題的解決簡潔、高效.