蘭清群，宋福

1.安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230051；2.深圳地鐵運(yùn)營集團(tuán)有限公司，廣東 深圳 518000

0 引言

車輪不圓是指具有制造缺陷、車輪磨耗或者車輪鏇修時產(chǎn)生的相關(guān)缺陷，車輪不圓通常導(dǎo)致車輪與軌道之間的垂向力明顯增加，改變輪軌間的動態(tài)響應(yīng)，從而影響車輛的穩(wěn)定性和安全性以及輪軌系統(tǒng)部件的使用壽命。文獻(xiàn)[1-3]對有不圓缺陷的車輪的輪軌力進(jìn)行了仿真分析及試驗(yàn)研究。有不圓缺陷的車輪對軌道和列車的影響已有實(shí)例證明[4-6]，并已通過剛體和柔體動力學(xué)進(jìn)行了研究[7-10]。文獻(xiàn)[11-13]通過分析輪軌關(guān)系，對周期性車輪不圓(車輪的不圓磨耗類似多邊形形狀，假設(shè)缺陷沿著車輪圓周均勻分布)的形成機(jī)理進(jìn)行了詳細(xì)研究。文獻(xiàn)[14-18]就恒速下車輪不圓缺陷對輪軌的動力學(xué)影響進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[19-23]研究了列車車輪缺陷對輪軌的垂向動力學(xué)響應(yīng)。但在制動工況下車輪不圓對車輛動力學(xué)影響的相關(guān)研究較少。文獻(xiàn)[24]對制動工況下車輛的動力學(xué)性能進(jìn)行了分析，但未考慮缺陷車輪的影響。

本文基于多體動力學(xué)模型，對常用制動和緊急制動工況下裝有不圓缺陷車輪的車輛系統(tǒng)動力學(xué)性能進(jìn)行仿真分析。

1 模型建立及驗(yàn)證

1.1 多體動力學(xué)模型

車輛-軌道系統(tǒng)多體動力學(xué)模型如圖1所示，在施加制動轉(zhuǎn)矩之前，由2個轉(zhuǎn)向架構(gòu)架和4個輪對(1根車軸和2個車輪組成1個輪對)組成的多體車輛系統(tǒng)以恒定速度運(yùn)行。該模型中，每個部件均定義為6個自由度，分別為沿x、y、z軸3個方向的線性運(yùn)動和圍繞x、y、z軸3個方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。軌道為剛性，輪對通過輪/軌法向接觸力與鋼軌耦合。圖1中：mb為車體質(zhì)量，mb=30 000 kg；mf為構(gòu)架質(zhì)量，mf=2500 kg；mw為輪對質(zhì)量，mw=1120 kg；Kpx、Kpy、Kpz分別為一系懸掛(軸箱與構(gòu)架之間的減振裝置)縱向、橫向、垂向剛度，Kpx=Kpy=Kpz=4 MN/m；Ksx、Ksy、Ksz分別為二系懸掛(構(gòu)架與車體底架之間的減振裝置)縱向、橫向、垂向剛度，Ksx=Ksy=0.4 MN/m，Ksz=0.3 MN/m；Cpx、Cpy、Cpz分別為一系懸掛縱向、橫向、垂向阻尼，Cpx=Cpy=80 kNs/m，Cpz=25 kNs/m；Csx、Csy、Csz分別為二系懸掛縱向、橫向、垂向阻尼，Csx=Csy=Csz=10 kNs/m。

a)主視圖 b)俯視圖圖1 固定坐標(biāo)系中的車輛-軌道系統(tǒng)多體動力學(xué)模型

同時，建立車輛-軌道系統(tǒng)動力學(xué)模型時需要輸入的參數(shù)還有：輪對縱向慣性矩為100 kg·m2，輪對垂向慣性矩為420 kg·m2，構(gòu)架縱向慣性矩為2200 kg·m2，構(gòu)架垂向慣性矩為2200 kg·m2，車體縱向慣性矩為0.6×106kg·m2，車體垂向慣性矩為0.6×106kg·m2，輪軌黏著因數(shù)為0.6×106。

文獻(xiàn)[25]描述了一種在固定坐標(biāo)系(笛卡爾坐標(biāo)系)中建立車輛-軌道系統(tǒng)模型的方法，通過在模型中輸入常用制動和緊急制動工況時的制動轉(zhuǎn)矩mf，得出制動工況下的速度曲線。通過這種方法建立輪對與軌道之間的接觸，輪軌接觸約束方程為：

C(q，s，t)=0，

(1)

式中：q、s分別表示接觸體的廣義坐標(biāo)和非廣義表面參數(shù)向量，t為時間。

將式(1)對時間進(jìn)行2次微分得

(2)

簡化式(2)得:

(3)

式中：Qd為廣義坐標(biāo)和表面參數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣，Cq為q的次雅可比約束矩陣，Cs為s的次雅可比約束矩陣。

對輪軌-軌道多體動力學(xué)模型進(jìn)行受力分析，結(jié)合式(1)～(3)可得出含接觸約束的動力學(xué)平衡方程

(4)

式中：m為質(zhì)量矩陣；Q為施加到輪對的外力，包括重力、蠕滑力、懸掛力和制動力矩陣；Qd為二次速度矢量；λ為拉格朗日因子，可用于確定法向接觸力。

采用Matlab求解式(4)，計(jì)算流程圖如圖2所示，從而得到車輛-軌道動力學(xué)響應(yīng)。

圖2 動力學(xué)方程求解流程

求解動力學(xué)方程時，軌頂初始坐標(biāo)為(0，0，0)，則車輪的初始坐標(biāo)為(0，0，R/2)(R為車輪半徑)。在檢測車輪接觸點(diǎn)時，采用實(shí)測的車輪和軌道外形作為初始數(shù)據(jù)，同時輸入車輪的周期性不圓缺陷值，通過設(shè)定初速度和計(jì)算時間，輸入制動轉(zhuǎn)矩，求解制動狀態(tài)下的動力學(xué)平衡方程式，隨著列車制動力的施加，直至列車速度為零時程序終止。

1.2 不圓缺陷描述

將整個車輪圓周上的諧波缺陷作為周期性車輪不圓(假設(shè)不圓缺陷沿著車輪外形輪廓近似均勻分布，形成多邊形車輪外形)，車輪不圓缺陷可描述為：

Z=Asin[iψ+φi],

(5)

圖3 6階與8階車輪不圓缺陷示意圖

式中：Z為車輪垂向位移；i為缺陷的計(jì)數(shù)器，稱為階數(shù)；A為車輪不圓缺陷的幅值，定義為正弦曲線的最大值和最小值之差的一半；φi為相位滯后；ψ為極坐標(biāo)，ψ=vt/R，其中，v為車輛運(yùn)行速度，R=0.425 m。 6階與8階車輪不圓缺陷用極坐標(biāo)表示，如圖3所示。

圖4 試驗(yàn)與仿真輪對制動減速度對比

1.3 模型驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證動力學(xué)模型的合理性，將模型計(jì)算結(jié)果與動力學(xué)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，在轉(zhuǎn)向架上施加持續(xù)6 s的常用制動轉(zhuǎn)矩，在輪對上采集加速度數(shù)據(jù)。圖4顯示了通過仿真和試驗(yàn)獲得的輪對制動減速度。從圖4可以看出：仿真結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好，最大誤差僅為6%，驗(yàn)證了所建動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

2 動力學(xué)仿真與結(jié)果討論

根據(jù)車輪不圓缺陷的幾何形狀和動力學(xué)模型，在Matlab中對車輛在常用和緊急制動工況下的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行仿真計(jì)算。

列車以80 km / h的初始速度勻速行駛，常用制動工況是在列車運(yùn)行1 s后施加制動轉(zhuǎn)矩，制動轉(zhuǎn)矩在4 s內(nèi)從0緩慢增加到8 kN·m；緊急制動工況則在列車運(yùn)行1 s后立即施加8 kN·m的制動轉(zhuǎn)矩，并保持不變，直到輪對停止。仿真中，假設(shè)所有車輪均有車輪不圓缺陷，討論車輛前轉(zhuǎn)向架和前輪對的動力學(xué)響應(yīng)結(jié)果。根據(jù)已知列車數(shù)據(jù)計(jì)算列車出現(xiàn)滑行的臨界制動轉(zhuǎn)矩為11 kN·m，因此，本文中施加8 kN·m的最大制動轉(zhuǎn)矩，不會出現(xiàn)車輪抱死滑行現(xiàn)象[26]。

制動轉(zhuǎn)矩施加的時間歷程如圖5所示，制動過程中車輪的速度和角速度變化如圖6所示。從圖6中可以看出：車輛的速度和角速度隨著制動轉(zhuǎn)矩的施加而逐漸減小，在常用制動和緊急制動過程中均無滑行現(xiàn)象出現(xiàn)。

圖5 制動轉(zhuǎn)矩施加時間歷程圖 圖6 車輛速度和角速度變化曲線

2.1 制動工況下的垂向動力學(xué)響應(yīng)

圖7、8給出了輪對在周期性車輪不圓和無缺陷車輪激勵下的垂向響應(yīng)。由圖7、8可以看出，在常用制動工況下，車輛先勻速運(yùn)行1 s，然后運(yùn)行16 s停止；在緊急制動工況下，車輛運(yùn)行13.5 s停止。2種工況下，車輛的速度和輪對的轉(zhuǎn)動角速度同時為0，沒有產(chǎn)生滑行。輪對的垂向加速度隨著車輪的不圓變化而振蕩，隨著制動轉(zhuǎn)矩的施加，緊急制動較常用制動工況的振蕩頻率和振動幅度減小。

構(gòu)架和車體在常用和緊急制動工況下的垂向加速度響應(yīng)的時間歷程如圖9～12所示。

圖9 常用制動時構(gòu)架的垂向加速度響應(yīng) 圖10 緊急制動時構(gòu)架的垂向加速度響應(yīng)

圖11 常用制動時車體的垂向加速度響應(yīng) 圖12 緊急制動時車體的垂向加速度響應(yīng)

由圖9～12可知：構(gòu)架和車體的振動頻率和峰值逐漸減小，最終保持穩(wěn)定；與輪對的振動幅值相比，構(gòu)架和車體的振幅都較小，說明車輪不圓對構(gòu)架和車體的垂向響應(yīng)的影響較小。值得注意的是，在車輛運(yùn)行速度約為30 km/h時，輪對的固有縱向振動頻率為13.45 Hz，該頻率刺激了輪對的縱向振動，使構(gòu)架和車體的垂向加速度出現(xiàn)了小幅的增加。

從圖9、10可以看出，緊急制動時構(gòu)架的垂向響應(yīng)總體趨勢與常用制動情況相似。由圖11、12可以看出：車輪不圓引起的輪軌力屬于一種高頻力，在制動狀態(tài)下，受二系懸掛的影響，車體對車輪不圓的垂向振動響應(yīng)更為明顯。

2.2 制動工況下的縱向動力學(xué)響應(yīng)

車輛制動過程中，在車輪不圓激勵和制動轉(zhuǎn)矩的作用下，常用制動和緊急制動工況下輪對、構(gòu)架和車體的縱向動力學(xué)響應(yīng)如圖13～18所示。由圖13～16可知：車輪不圓對輪對和轉(zhuǎn)向架構(gòu)架縱向加速度的影響比無缺陷車輪明顯，縱向振動加速度幅值隨著車輛速度的減小而降低。由圖17、18可以看出：在車輪不圓的激勵下，由于一系和二系懸掛阻尼的衰減作用，車體的縱向最大加速度(絕對值)為3 m/s2;在車輛啟動后1 s內(nèi)，裝有無缺陷車輪的車體縱向加速度為0，由于啟動時車輪不圓產(chǎn)生的縱向蠕滑力的影響，有不圓缺陷車輪的車體加速度先增加后逐漸趨于穩(wěn)態(tài)。

由圖13、14可知：在車輛運(yùn)行速度為30 km/h時，即車輛大約運(yùn)行11 s時，車輪不圓導(dǎo)致的縱向振動頻率和輪對的自然縱向振動頻率接近，產(chǎn)生了共振效應(yīng)。

圖13 常用制動時輪對的縱向加速度響應(yīng) 圖14 緊急制動時輪對的縱向加速度響應(yīng)

圖15 常用制動時構(gòu)架的縱向加速度響應(yīng) 圖16 緊急制動時構(gòu)架的縱向加速度響應(yīng)

圖17 常用制動時車體的縱向加速度響應(yīng) 圖18 緊急制動時車體的縱向加速度響應(yīng)

3 結(jié)論

在建立的車輛動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用實(shí)測的車輪和軌道外形數(shù)據(jù)分析了周期性車輪不圓常用和緊急制動情況下的車輛垂向和縱向響應(yīng)。

1)車輪的不圓缺陷大大增加了垂向和縱向加速度，而且縱向加速度始終大于垂向加速度；

2)由于懸掛裝置的衰減特性，所有方向的加速度從輪對到車體都迅速衰減；

3)對于無缺陷車輪和有不圓缺陷的車輪，車體加速度變化趨勢比較相似，所以需要高靈敏度的傳感器和算法才能從車體上測出車輪的不圓缺陷；將加速度傳感器安裝在車輪或構(gòu)架上能更好的檢測到車輪的不圓缺陷。

4)制動力對垂向和縱向加速度的影響比車輪不圓缺陷產(chǎn)生的影響要小，與無缺陷車輪相比，有不圓缺陷車輪的制動力對加速度的影響更明顯。