○劉愛東

《分數(shù)乘法》是人教版小學數(shù)學六年級上冊第一單元的內(nèi)容，是在學生學習了整數(shù)乘法、分數(shù)的意義和性質(zhì)以及分數(shù)加法等知識的基礎(chǔ)上進行編排的，其教學目標是引導學生探索、理解并掌握分數(shù)乘法的意義和計算方法，拓展乘法運算的意義，并能運用所學知識解決一些簡單的實際問題。這些是小學階段重要的基礎(chǔ)知識和基本技能。一方面，有關(guān)分數(shù)的知識和方法都比較抽象，對發(fā)展學生的抽象思維能力有著重要的促進作用；另一方面，學好這部分內(nèi)容，可以使學生進一步體會數(shù)學知識和方法之間的聯(lián)系，豐富對現(xiàn)實世界基本數(shù)量關(guān)系的認識；同時，也為進一步學習分數(shù)除法、分數(shù)四則混合運算以及有關(guān)分數(shù)實際問題打下扎實的基礎(chǔ)。

一、關(guān)注內(nèi)容變化，明晰思維起點

與實驗教材相比，新教材除了把原《分數(shù)乘法》單元中“倒數(shù)”的內(nèi)容移至《分數(shù)除法》單元外，教學內(nèi)容上主要有三個方面的變化。

1.突出乘法意義的擴展，厘清了分數(shù)乘法的意義。

傳統(tǒng)教學通常把分數(shù)乘法的意義分成兩個部分進行教學，一是分數(shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法相同，都表示求幾個相同加數(shù)的和的簡便計算，二是一個數(shù)乘分數(shù)的意義與整數(shù)乘法不同，表示求一個數(shù)的幾分之幾是多少。新教材從乘法的本質(zhì)出發(fā)，把分數(shù)乘法的意義和整數(shù)乘法的意義統(tǒng)一歸結(jié)為“幾個幾”（這里的兩個“幾”既可以是整數(shù)，也可以是分數(shù)），并用“幾的幾分之幾（幾倍）”的語言來描述，既降低了思維的難度，又凸顯出數(shù)學的本質(zhì)。

根據(jù)這樣的思路，教材編排了三道例題來教學分數(shù)乘法的意義和計算。例1通過創(chuàng)設(shè)分蛋糕的情境，引導學生探索的計算方法。學生通常會根據(jù)整數(shù)乘法的意義，應(yīng)用連加的計算方法推導出分數(shù)與整數(shù)相乘的方法。例2通過回憶舊知“1桶水有12L”“3桶水共多少升”，引導學生根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單位量×數(shù)量=總量”列出算式12×3后，想“求3個12L，就是求12L的（）倍是多少”，把意義的理解聚焦到“求一個數(shù)的幾倍是多少”上來。依循這樣的過程學習“桶水是多少升”，組織學生結(jié)合直觀圖和分數(shù)的意義，探究發(fā)現(xiàn)的意義就是求“12L的是多少”，進而得出“一個數(shù)乘幾分之幾就是求這個數(shù)的幾分之幾是多少”。把“一個數(shù)的幾倍”擴展到了“一個數(shù)的幾分之幾”，使學生理解到分數(shù)乘法的意義和整數(shù)乘法的意義本質(zhì)上完全一致，從而完成乘法意義的擴展。在此基礎(chǔ)上，例3求“公頃的，列成算式也就水到渠成了。

2.凸顯生活實踐的需要，增加分數(shù)與小數(shù)相乘的內(nèi)容。

實驗教材中沒有分數(shù)與小數(shù)相乘的教學內(nèi)容，但在日常生活和未來的學習中，會遇到許多分數(shù)與小數(shù)相乘的情況。當分數(shù)的分母能夠與小數(shù)直接約分時，如果學生還是把小數(shù)改寫成分數(shù)再進行約分，或者把分數(shù)改寫成小數(shù)再計算，其繁瑣程度和出錯概率無疑會大大增加，因此，新教材安排了例5，分別計算和通過教學使學生明白，當遇到分數(shù)的分母能夠與小數(shù)直接約分時可以先約分再計算。這樣的編排，一方面有助于學生形成更合理的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)，另一方面有助于溝通分數(shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系，有利于促進學生在實際計算中，養(yǎng)成根據(jù)數(shù)據(jù)特點靈活選擇計算方法的好習慣，提高運算能力。

3.彰顯解決問題的方法，調(diào)整了用分數(shù)乘法解決實際問題的類型。

新教材在學生理解與掌握“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”這一基本問題的基礎(chǔ)上，增加了例8“連續(xù)求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的實際問題。這類問題需要通過“中間量”搭建起已知量和所求量之間的“橋梁”，解決的關(guān)鍵在于，要把較復雜的問題化歸為基本的“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，并牢牢抓住這一基本數(shù)量的關(guān)鍵要素：這個數(shù)是誰？是誰的幾分之幾？所求到的量是什么？

而求“比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”的實際問題，與實驗教材相比，由兩個例題縮減為一個，只安排了例9解決求比一個數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少，將“求比一個數(shù)少幾分之幾的數(shù)是多少”放在“做一做”中讓學生鞏固掌握。

二、把握教材特點，彰顯數(shù)學本質(zhì)

1.整體建構(gòu)，前后知識聯(lián)系緊密。

為了便于組織教學，教材將安排的9個例題整合成三個教學段落。其中，第一段4個例題：例1教學分數(shù)與整數(shù)相乘的計算方法，例2教學求一個數(shù)的幾分之幾是多少，并由此拓展乘法運算的意義，例3教學分數(shù)與分數(shù)相乘的方法，例4教學分數(shù)乘法中的約分；第二段3個例題：例5教學分數(shù)與小數(shù)相乘的計算方法，例6、例7教學分數(shù)乘法與加、減法混合運算，以及根據(jù)運算定律進行分數(shù)乘法的簡便計算；第三段2個例題：例8教學兩步連乘的實際問題，例9教學求比一個數(shù)多幾分之幾是多少的實際問題。第一段重在分數(shù)乘法的意義和計算方法，第二段重在分數(shù)乘法運算的拓展，第三段重在分數(shù)乘法的應(yīng)用，三個段落循序漸進、層次分明，內(nèi)在邏輯關(guān)系十分清晰。

2.借助直觀，豐盈過程外顯算理。

教材充分借助幾何直觀的作用，發(fā)揮直觀圖、連續(xù)性直觀文本、線段圖等易于直接觀察和動手操作的優(yōu)勢，使內(nèi)在的思考過程顯性化，讓抽象的邏輯思維和空間想象能力得到有效的提升。例1借助直觀的蛋糕圖和分數(shù)的意義，引導學生得出分數(shù)乘整數(shù)的計算方法。例3借助3幅連續(xù)的矩形直觀圖和分數(shù)的意義理解分數(shù)乘法的算理，以動態(tài)的方式、可視的形式幫助學生理解數(shù)與量之間的動態(tài)轉(zhuǎn)換。例9借助畫線段圖的策略，直觀顯示嬰兒每分鐘心跳次數(shù)與青少年每分鐘心跳次數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學生利用圖形解決分數(shù)乘法實際問題的意識和能力。

3.重視素養(yǎng)，解題策略開放靈活。

教材編排在解題方法策略多樣化方面十分突出，策略的開放使解決問題從關(guān)注形式轉(zhuǎn)到關(guān)注本質(zhì)，避免了學生機械套用公式解題，促使學生把注意力更多地放在解決問題的過程和方法上。例6提供了兩種方法，可以先算出一條長與一條寬之和，再乘2求周長；也可以先算出兩條長和兩條寬，再相加求周長，很自然地呈現(xiàn)出兩級運算的題和帶小括號的題，再根據(jù)“分數(shù)混合運算的順序和整數(shù)混合運算的順序相同”的提示，讓學生自主選擇喜歡的方法解決問題。例8也提供了兩種方法，可以先求出蘿卜地的面積，也可以先求出紅蘿卜地占大棚面積的幾分之幾。例9可以先求出嬰兒每分鐘比青少年多跳的次數(shù)，也可以先求嬰兒每分鐘心跳次數(shù)是青少年的幾分之幾。

三、提出教學建議，培育核心素養(yǎng)

1.把計算教學與解決實際問題的教學有機結(jié)合。

本單元教材一共安排了9個例題，其中有8個例題是與生活現(xiàn)實密切聯(lián)系的實際問題。因此，教學中要十分重視聯(lián)系現(xiàn)實情境，促進學生自主探究、遷移類推、自主建構(gòu)。教學例1時，可以從切生日蛋糕的情境引入，用“‘每人吃2個，3人一共吃多少個’怎樣列式”“分別表示什么意思”“怎樣計算”等問題，引發(fā)學生重溫“整數(shù)乘法的意義和分數(shù)加法計算”等舊知，并以此為基礎(chǔ)，鼓勵學生結(jié)合蛋糕圖，自主類推學習“每人吃個，3人一共吃多少個”，使學生逐步理解分數(shù)乘法的算理，掌握分數(shù)與整數(shù)相乘的計算方法。例8通過求“紅蘿卜地有多少平方米”這一連續(xù)求一個數(shù)的幾分之幾是多少的實際問題，讓學生學會分數(shù)連乘的方法。這樣，結(jié)合解決實際問題的教學，引導學生探索并理解分數(shù)乘法的意義和計算方法，既有利于聯(lián)系現(xiàn)實問題情境，深入理解分數(shù)乘法的意義，也有利于經(jīng)歷從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)量關(guān)系的過程，從而積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感受數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學思考和解決實際問題的能力。

2.深度理解分數(shù)乘法的算理和算法。

（1）借助幾何直觀，凸顯思維過程。

對于分數(shù)乘法的計算，學生的認知難點在于算理的理解，即計算方法形成的過程及其意義的理解。為此，教師要充分借助幾何直觀，引導學生經(jīng)歷計算方法的探究過程，化抽象、復雜為形象、簡潔，正確理解分數(shù)乘法的算理和算法。教學例3分數(shù)與分數(shù)相乘時，可以借助長方形示意圖動態(tài)呈現(xiàn)運算過程。先讓學生通過觀察表示數(shù)量關(guān)系的示意圖，并聯(lián)系分數(shù)乘法的意義，提出關(guān)于分數(shù)乘分數(shù)計算方法的猜想，再將一張空白的長方形紙看成1公頃開展操作驗證，上下對折后，左右又均分成5份，給其中的一份畫上陰影，展開后觀察陰影部分占長方形面積的幾分之幾，就是結(jié)果，進一步感知猜想的合理性。接著讓學生在長方形紙上表示的計算結(jié)果，最后啟發(fā)學生觀察每個乘法算式，以及由畫圖操作所得到的計算結(jié)果，比較、分析每一道算式中積的分子、分母與兩個因數(shù)的分子、分母的關(guān)系，歸納總結(jié)出分數(shù)乘分數(shù)的計算方法。這樣的學習過程，符合學生的年齡和思維特點，有助于學生借助直觀理解抽象問題的經(jīng)驗的積累。

（2）加強類比歸納，發(fā)展數(shù)學思考。

數(shù)學知識和方法之間總是有內(nèi)在聯(lián)系的，主動發(fā)現(xiàn)并溝通這種聯(lián)系，不僅有助于學生更加透徹地理解所學的知識和方法，而且有助于優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，加深學生對知識本質(zhì)的理解。教學例2求一個數(shù)的幾分之幾是多少，一方面要通過適當?shù)谋容^，引導學生認識到它與“求一個數(shù)的幾倍是多少”看似數(shù)量關(guān)系不同，但它們的數(shù)學本質(zhì)卻是一樣的，“幾分之幾”和“幾倍”都表示兩個數(shù)量之間的比的關(guān)系，只是前者比值小于1，后者比值大于1；另一方面，有了上述的經(jīng)驗，學生就有可能自主探索較復雜的分數(shù)實際問題。例6、例7分數(shù)乘法與加、減法的混合運算，以及根據(jù)運算定律進行分數(shù)乘法的簡便計算，學生在學習整數(shù)乘法時都有過類似的學習經(jīng)驗和知識、方法的積累，這里只是把整數(shù)換成了分數(shù)。教學中，要通過類比歸納，引導學生發(fā)現(xiàn)其中的道理，學生自然而然地會把這部分知識同化到已有的知識結(jié)構(gòu)中來。

3.在分數(shù)乘法拓展中提高運算能力。

運算能力不僅僅指依據(jù)法則和運算律等正確計算的能力，還包括尋找更加簡潔的運算方法的意識，以及對運算結(jié)果合理性的把握能力。教學中，要注意發(fā)揮例題和習題的教學價值，著力引導學生主動發(fā)現(xiàn)計算規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律合理、靈活地計算。教學例5分數(shù)與小數(shù)相乘的計算方法時，引導學生在約分前先要認真審題，當遇到分數(shù)的分母能夠與小數(shù)直接約分時要先約分再計算，這樣可以使計算簡便。教學例8兩步連乘的實際問題時，要讓學生通過比較懂得，我們可以有兩種方法進行計算：一是先把前兩個數(shù)相乘，再用乘得的積與第三個數(shù)相乘，二是根據(jù)已有的約分以及乘法運算律的經(jīng)驗，將題中每一個分數(shù)的分子和分母分別看成一個整體進行一次性約分，即題中的任意一個分子可以與任意一個分母進行約分，所有分子相乘的積作積的分子，所有分母相乘的積作積的分母。顯然，后者更加簡潔，需要大力提倡，讓學生盡可能掌握這種方法。而例9求“比一個數(shù)多幾分之幾是多少”的實際問題中的兩種解法，學生可以根據(jù)實際情況靈活應(yīng)用。

資料存盤

1.《分數(shù)乘法》的課標解讀。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的第二學段中提出：掌握必要的運算技能。在“課程內(nèi)容”的第二學段中提出：能分別進行簡單的小數(shù)和分數(shù)（不含帶分數(shù)）的加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）；能解決小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)的簡單實際問題；經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法。

2.最早的分數(shù)乘法。

最早的分數(shù)乘法運算見于中國古代的《九章算術(shù)》，該書稱分數(shù)乘法為乘分，其法則是：“母相乘為法，子相乘為實，實如法而一?！弊g為今文是：分母相乘作積的分母，分子相乘作積的分子。用現(xiàn)代的數(shù)學符號可表示為：

3.湯斯托爾的分數(shù)乘法。

在歐洲，湯斯托爾1552年發(fā)表的用拉丁文寫的算術(shù)書中，說明時，先將正方形垂直地均分成5個長條，然后再水平地均分成5個長條（如圖），這樣就分成了25個小正方形，其中每一個小正方形的面積是大正方形面積的