○朱宇

傳統(tǒng)的以接受定論性知識(shí)為主的積累式學(xué)習(xí)方式，已不能適應(yīng)當(dāng)今信息化、智能化的時(shí)代。當(dāng)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該聚焦知識(shí)的建構(gòu)與創(chuàng)生，關(guān)注其意義理解與靈活運(yùn)用，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與、深度思考，促進(jìn)知識(shí)、學(xué)力、經(jīng)驗(yàn)、智慧的生長(zhǎng)。

【教學(xué)片段】人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第四單元《比的意義》

（情境導(dǎo)入）播放視頻：航天英雄打開神舟七號(hào)氣閘艙艙門，揮動(dòng)五星紅旗，向全國(guó)人民問(wèn)好。

師：同學(xué)們對(duì)我國(guó)的國(guó)旗了解嗎？請(qǐng)看大屏幕，航天英雄展示的國(guó)旗，長(zhǎng)和寬分別是15厘米和10厘米。

師：你會(huì)用算式表示長(zhǎng)和寬的倍數(shù)關(guān)系嗎？

生：15÷10，10÷15。

師：兩個(gè)除法算式分別是什么意思呢？

生：長(zhǎng)是寬的幾倍，寬是長(zhǎng)的幾分之幾。

師：這里長(zhǎng)與寬的倍數(shù)關(guān)系也可以說(shuō)“長(zhǎng)和寬的比是15比10，寬和長(zhǎng)的比是10比15”，分別寫作“15∶10”和“10∶15”。（板書）

【診斷分析】

上述教學(xué)片段從除法的意義入手，借助國(guó)旗長(zhǎng)與寬的關(guān)系，從“兩個(gè)數(shù)相除的倍數(shù)關(guān)系”遷移得到“兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比”?？此茰\顯易懂，符合小學(xué)生的認(rèn)知水平，但是僅憑國(guó)旗的長(zhǎng)與寬這一組數(shù)據(jù)，直接由除法推出比的概念，就能夠讓學(xué)生感受兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的數(shù)量之間的關(guān)系嗎？學(xué)生雖然能模仿進(jìn)行淺層次的復(fù)述，但是對(duì)“比”的意義有充分理解和感悟嗎？學(xué)生最大的困惑是：“既然兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比，那么，有了除法，為什么還要學(xué)習(xí)比？”單薄的素材不能驅(qū)動(dòng)學(xué)生積極思考和主動(dòng)探究，深層次的認(rèn)知也無(wú)從實(shí)現(xiàn)。

【教學(xué)建議】

比的本質(zhì)是表示兩個(gè)有關(guān)聯(lián)的數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系是基于某種客觀規(guī)律而產(chǎn)生的。為此，要鏈接學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題啟動(dòng)意義的探索。

可以創(chuàng)設(shè)“兌牛奶要放奶粉和開水”的情境，從奶粉與水“1比3”的配比引入，初步體會(huì)“比可以表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系”。接下來(lái)，通過(guò)“如果有奶粉10克，要多少克水？20克奶粉呢？40克奶粉呢”等問(wèn)題的解決，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“1份奶粉，3份水”“水一直都是奶粉的3倍”“奶粉和水的比是1∶3”，借助分?jǐn)?shù)、份數(shù)、倍數(shù)來(lái)理解比的意義，將新知納入已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)概念之間關(guān)系的溝通。從更長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，從“兌牛奶”的過(guò)程還可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，水和奶粉的變化中存在著某種規(guī)律，為比例的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

通過(guò)奶粉與水、路程與時(shí)間、總價(jià)與數(shù)量等大量素材的感知，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行意義的抽象概括：兩種數(shù)量在什么情況下可以用比來(lái)表示它們的關(guān)系？直指概念的本質(zhì)，升華活動(dòng)中獲得的感性認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的理解。

【教學(xué)片段】人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第二單元《用數(shù)對(duì)確定位置》

課件播放：人們?cè)诖_定位置時(shí)，通常把豎排叫做列，橫排叫做行。一般情況下，確定第幾列從左往右數(shù)，確定第幾行從前往后數(shù)。

師：現(xiàn)在再讓你描述小軍的位置，你想怎樣說(shuō)呢？

生：第4列第3行。

師：是啊，有了統(tǒng)一的規(guī)定，我們表達(dá)起來(lái)既準(zhǔn)確又簡(jiǎn)潔。請(qǐng)大家再數(shù)一數(shù)列、數(shù)一數(shù)行。（學(xué)生齊數(shù)列與行。）

課件出示小紅和小芳的位置，學(xué)生用第幾列和第幾行來(lái)交流。

【診斷分析】

上例中，學(xué)生以接納的方式，掌握了用數(shù)對(duì)確定位置的方法，過(guò)程簡(jiǎn)單而順暢。然而，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，卻暴露出諸多問(wèn)題。例如，用數(shù)對(duì)表示教室里學(xué)生的位置，不能分辨左右，不能體會(huì)觀察點(diǎn)規(guī)定的必要性；從座位圖抽象成方格圖，學(xué)生不理解方格圖中“0”的實(shí)際意義……究其原因，上例中割裂了經(jīng)驗(yàn)與新知的關(guān)聯(lián)，沒(méi)有組織學(xué)生通過(guò)觀察分析、嘗試表達(dá)、合作交流等方式，從用個(gè)性化的生活經(jīng)驗(yàn)描述位置，逐步發(fā)展到用有規(guī)則的數(shù)學(xué)方法確定位置，學(xué)生的思維水平?jīng)]有在經(jīng)驗(yàn)的不斷改造中逐步提升。

【教學(xué)建議】

教師應(yīng)準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)知識(shí)的存在基礎(chǔ)和發(fā)展形態(tài)，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的有效生長(zhǎng)。從確定位置的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，將教材提供的座位圖進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸づc整合，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，使學(xué)生整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，逐漸深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解。

《用數(shù)對(duì)確定位置》的教學(xué)，其本質(zhì)是為第三學(xué)段平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)積累感性經(jīng)驗(yàn)。因此，在方格圖上用數(shù)對(duì)確定位置是教學(xué)重點(diǎn)。教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷確定位置方法的發(fā)展過(guò)程，結(jié)合多樣的情境，從一維直線上確定位置開始，自主構(gòu)建在二維平面中確定位置的方法系統(tǒng)，在比較、優(yōu)化中深刻理解用數(shù)對(duì)確定位置的合理規(guī)則，感受用數(shù)對(duì)確定位置所體現(xiàn)的一一對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合的思想方法。

【教學(xué)片段】人教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第六單元《7的乘法口訣》

出示：不計(jì)算，直接填出括號(hào)里的數(shù)。7×6=7×5+（ ）。

生：左邊，六七四十二；右邊，五七三十五，

42-35=7。

師：請(qǐng)注意，不計(jì)算。

（學(xué)生沉默，感到很為難。）

師：左邊是6個(gè)7，右邊呢？（指著7×5）

生：5個(gè)7。

生：再加上1個(gè)7。

師：很好，繼續(xù)。請(qǐng)看6×7=6×6+（ ）。

生：左邊是6個(gè)7，右邊是6個(gè)6，還要加上1個(gè)7。

生：不對(duì)，應(yīng)該是加上1個(gè)6。

【診斷分析】

該填數(shù)練習(xí)由“6個(gè)7比5個(gè)7多（ ），比7個(gè)7少（ ）”變化而來(lái)，意在通過(guò)計(jì)算和比較，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解相鄰兩句口訣之間的聯(lián)系，豐富記憶口訣的方法。解決填數(shù)問(wèn)題，需要借助“幾個(gè)幾”的意義來(lái)解釋，而且需要從整體上把握等式兩邊的算式的含義，學(xué)生理解起來(lái)有一定的困難。這說(shuō)明，乘法口訣的記憶與應(yīng)用，死記硬背和機(jī)械訓(xùn)練較為常見(jiàn)，容易忽視乘法意義層面上的理解性記憶。所以，即使乘法口訣背熟了，學(xué)生對(duì)“幾個(gè)幾”的意義仍然生疏。

【教學(xué)建議】

出示7×6點(diǎn)子圖。

師：從圖中你看到幾個(gè)幾？

生：我看到了6個(gè)7。

生：我看到了7個(gè)6。

師：現(xiàn)在你能看出括號(hào)里該填什么嗎？7×6=7×5+（），6×7=6×6+（）。

師：不計(jì)算，你能直接填寫嗎？

（一部分學(xué)生露出迷茫的神色。）

課件出示經(jīng)過(guò)分割的點(diǎn)子圖。

師：現(xiàn)在，對(duì)照?qǐng)D你能說(shuō)一說(shuō)嗎？

生：從第一幅圖看出，5個(gè)7加1個(gè)7，所以7×6=7×5+（7）。

生：從第二幅圖看出，6個(gè)6加1個(gè)6，所以6×7=6×6+（6）。

同一幅7×6的點(diǎn)子圖，展現(xiàn)不同的分割方法，借助數(shù)形結(jié)合的力量，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)背后豐富的思想方法和思維價(jià)值，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)順利生長(zhǎng)。

【教學(xué)片段】人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第六單元《組合圖形的面積》

鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)。

師：這些圖形的面積各是多大？你會(huì)計(jì)算嗎？

指名口答第一幅圖的面積，然后學(xué)生完成后兩幅圖的面積計(jì)算。

【診斷分析】

生活中的組合圖形面積計(jì)算，數(shù)據(jù)不會(huì)是現(xiàn)成的，測(cè)量哪些數(shù)據(jù)是有講究的。課堂練習(xí)進(jìn)行面積計(jì)算的重復(fù)訓(xùn)練，既不能培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，也缺失了數(shù)學(xué)思考的成分。例如，如何對(duì)組合圖形進(jìn)行合理的分割或添補(bǔ)？測(cè)定哪些數(shù)據(jù)就可以解決問(wèn)題？重復(fù)機(jī)械的練習(xí)，不但消解了已形成的探索體驗(yàn)，而且讓轉(zhuǎn)化、類比、優(yōu)化等思想方法的積淀無(wú)從落實(shí)。

《組合圖形的面積》教學(xué)主要包括方法的探索歸納與運(yùn)用拓展。在方法探索環(huán)節(jié)，學(xué)生感知了大量的組合圖形，基本圖形的面積計(jì)算技能基本形成。練習(xí)環(huán)節(jié)就應(yīng)該從添加輔助線、測(cè)量必需數(shù)據(jù)以及豐富問(wèn)題背景等方面，設(shè)計(jì)從易到難、有一定梯度的練習(xí)，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和推理能力，在解決問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

【教學(xué)建議】

教學(xué)中，可以從思維材料的組織入手，有意隱去組合圖形中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，使學(xué)生由思維沖突引發(fā)思考：你覺(jué)得至少需要知道幾個(gè)數(shù)據(jù)就能算出面積？變“簡(jiǎn)單機(jī)械地練”為“嘗試探索著學(xué)”，真實(shí)的任務(wù)促進(jìn)學(xué)習(xí)更深入的發(fā)生。學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行了不同的分解，準(zhǔn)確鎖定所缺少的條件，然后經(jīng)過(guò)觀察、分析，測(cè)量有效數(shù)據(jù)，尋求解題途徑。最后，學(xué)生通過(guò)表達(dá)、傾聽(tīng)，進(jìn)行思維碰撞，體會(huì)方法的多樣性。

通過(guò)對(duì)思維材料的合理加工，改“成品”為“半成品”，按照“無(wú)輔助線，有數(shù)據(jù)”→“無(wú)輔助線，有部分?jǐn)?shù)據(jù)”→“既無(wú)輔助線，也無(wú)數(shù)據(jù)”的順序，摒棄重復(fù)訓(xùn)練，聚焦數(shù)學(xué)思考，讓篩選、優(yōu)化、轉(zhuǎn)化等策略成為學(xué)生的自發(fā)需要，觀察、分析、類比、想象、推理等思維方法得到運(yùn)用，深刻性、靈活性、系統(tǒng)性等思維品質(zhì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中得到提升。