邱小珊

【摘要】初中階段的幾何學(xué)習(xí)，是學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幾何學(xué)習(xí)的起步階段：初步學(xué)會(huì)如何分析圖形，聯(lián)系所學(xué)圖形的定義、幾何性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單有序的邏輯推理去解決問題;為逐步構(gòu)建完整的幾何知識(shí)體系、培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀畏治瞿芰斑壿嬐评硭季S打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】基本模型圖;階梯式教學(xué);知識(shí)體系;模型思想

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1992-7711（2020）32-201-02

在北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第二章《相交線與平行線》這一章的教學(xué)中，筆者把“轉(zhuǎn)化”思想、整體思想、模型思想貫穿于這一章教學(xué)的整個(gè)過程——在解題的過程中，把復(fù)雜的問題，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的小問題;把問題中復(fù)雜的圖形、結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、經(jīng)典的基本圖形結(jié)構(gòu)，利用基本模型圖的概念、性質(zhì)以及相關(guān)定理等知識(shí)，清晰、快速地解決問題，讓學(xué)生對(duì)直線的位置關(guān)系有了一個(gè)由淺入深的階梯式的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生從“模型思想”的角度完整地構(gòu)造幾何知識(shí)體系。這樣的學(xué)習(xí)思路和方法，降低了學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的臺(tái)階，學(xué)生在心理上很容易接受，從而解題的效率也提高了。在教學(xué)中真正做到以學(xué)生為學(xué)習(xí)的主體，貫徹課標(biāo)中“基礎(chǔ)教學(xué)”的指導(dǎo)思想。

初中階段的幾何學(xué)習(xí)，是學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幾何學(xué)習(xí)的起步：初步學(xué)會(huì)如何分析圖形，聯(lián)系所學(xué)圖形的定義、幾何性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單有序的邏輯推理去解決問題;為逐步構(gòu)建完整的幾何知識(shí)體系打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。所以，如何有效學(xué)習(xí)初中階段的幾何基礎(chǔ)知識(shí)，打好幾何學(xué)習(xí)的入門基礎(chǔ)，尤為重要。

一、為什么要重視幾何知識(shí)中的基本模型圖

平面幾何是研究平面上幾何圖形的性質(zhì)（形狀、位置、大小關(guān)系等等）的數(shù)學(xué)分支，要能夠有效地解決一個(gè)平面幾何問題，不僅要正確地認(rèn)識(shí)一些基本平面模型圖及其性質(zhì)，還要具有把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、基本問題的能力——從復(fù)雜問題中挖掘出基本模型圖，并運(yùn)用所選的基本模型圖的性質(zhì)、判定等知識(shí)及方法去解決問題。學(xué)會(huì)用基本模型圖的相關(guān)知識(shí)去解決問題，不僅能提高解題的效率，又能進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的理解，構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系，逐步構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，在七年級(jí)下冊(cè)第二章《相交線與平行線》的教學(xué)中，緊扣相交線和平行的基本模型圖，強(qiáng)調(diào)解題中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用;在八年級(jí)下冊(cè)第一章第3節(jié)、第4節(jié)《線段的垂直平分線》、《角平分線》的教學(xué)中，強(qiáng)化垂直平分線和角平分線性質(zhì)的基本模型圖及模型思想，降低起點(diǎn)，根據(jù)我們學(xué)生的實(shí)際學(xué)情——基礎(chǔ)差，圖形分析能力差，確定這樣的出發(fā)點(diǎn)是很適合的，避免了學(xué)生在幾何解題方面無(wú)從下手的尷尬局面。平行線、垂直平分線、角平分線的性質(zhì)是幾何學(xué)習(xí)里面很重要的基本性質(zhì)，是后面學(xué)習(xí)全等三角形、平行四邊形、相似三角形、圓等幾何知識(shí)的重要基礎(chǔ)。

本文將簡(jiǎn)單總結(jié)關(guān)于《相交線與平行線》、《垂直平分線》、《角平分線》這三課的課堂教學(xué)指導(dǎo)。

二、基本模型圖的相關(guān)知識(shí)

筆者認(rèn)為文獻(xiàn)中對(duì)基本圖形的相關(guān)知識(shí)的總結(jié)比較全面。

圖形作為幾何學(xué)科的研究對(duì)象，無(wú)論多么復(fù)雜，都是由一個(gè)或者若干個(gè)最簡(jiǎn)單的、最基本的圖形組合而成，找到這些基本圖形往往也就找到了解決問題的突破口。那什么是基本圖形呢？筆者參考了以下幾種理解：

1. 基本圖形的幾種看法

（1）埃及人把正方形、矩形、三角形和梯形作為基本圖形;

（2）認(rèn)為基本圖形是課本上一些重要的定理或者重要練習(xí)所對(duì)應(yīng)的圖形（如切割線定理、割線定理和射影定理等圖形）;

（3）認(rèn)為現(xiàn)行初中幾何課本中的概念、性質(zhì)、例題、習(xí)題所對(duì)應(yīng)的圖形可視為平面幾何基本圖形;

（4）認(rèn)為現(xiàn)行初中幾何課本中一些具有廣泛應(yīng)用的、有代表性和典型性的圖形可稱為基本圖形;

（5）認(rèn)為凡是與幾何定理相關(guān)的圖形都是基本圖形;

（6）認(rèn)為現(xiàn)行中學(xué)平面幾何課本中概念、定理、公理所對(duì)應(yīng)的圖形都稱為基本圖形，它們可分為第一類和第二類基本圖形。所謂第一類基本圖形，是指點(diǎn)、直線、射線、線段、角、相交線、平行線、三角形、四邊形、多邊形和圓等，其余的則稱為第二類基本圖形。

參考以上幾種看法，我認(rèn)為，基本圖形，就是在幾何問題中，組成一個(gè)幾何問題的最簡(jiǎn)單的、最基本的，但又最重要的，且具有特定性質(zhì)的，或者可以獨(dú)立形成概念的，能明確闡明應(yīng)用條件和應(yīng)用方法的圖形。

2.基本圖形的分類

基于不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，基本圖形也有許多不同的分類方法：

第一類，現(xiàn)行教材中概念、公理、定理以及推論所對(duì)應(yīng)的圖形（如點(diǎn)、直線、射線、線段、角、相交直線、平行線、三角形、四邊形、多邊形和圓等）;

第二類，教材中具有一定典型性的例題、習(xí)題所對(duì)應(yīng)的圖形，也可以說是若干個(gè)第一類基本圖形的組合（如“X”型，“A”型，“三線八角”， 直角三角形及其斜邊上的高，三角形及其角平分線，平行四邊形及其對(duì)角線，垂徑定理及其推論，圓內(nèi)接四邊形及其對(duì)角線，圓及其切割線，圓的相切或相交等）， 在實(shí)際教學(xué)中教會(huì)學(xué)生挖掘這些基本圖形的結(jié)構(gòu)性質(zhì)并運(yùn)用其性質(zhì)解決問題具有重要的實(shí)踐性意義。

三、相交線與平行線的“基本模型圖”的教學(xué)思路

在七年級(jí)下冊(cè)第二章《相交線與平行線》的基本模型圖，是以平面中直線的兩種位置關(guān)系來展開討論的：相交線的基本模型圖（一般的相交、特殊的相交即垂直），平行線的基本模型圖（“三線八角”、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）。直線的這兩種位置關(guān)系的基本模型圖，是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更是幾何解題的重要基本模型，對(duì)于系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何，培養(yǎng)圖形分析能力、邏輯推理能力、深化模型思想的理解及運(yùn)用都有重要的啟發(fā)作用。

下面，筆者將展示這兩種基本圖形，以及如何進(jìn)行清晰有效的教學(xué)引導(dǎo)。

1.兩直線相交的基本模型圖的教學(xué)思路

（1）相交線的定義：若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，稱這兩條直線為相交線。

（2）根據(jù)這個(gè)定義，就可以畫出相交線的基本模型圖如下：;;

（3）研究相交線，形成基本概念、掌握性質(zhì)：

①在這個(gè)基本的幾何模型中，基本的幾何元素（圖形）有：一個(gè)交點(diǎn)（點(diǎn)O）;兩條直線（直線AB，CD）;四個(gè)角（∠AOD;∠AOC;∠BOD;∠BOC）;

②位置關(guān)系：直線AB與直線CD相交;

③相關(guān)性質(zhì)：四個(gè)角的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的探討：引出對(duì)頂角的概念（對(duì)頂角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系）、余角和補(bǔ)角的概念以及性質(zhì);通過對(duì)這些角進(jìn)行定性和定量的探索，深刻了解兩直線相交的性質(zhì)并得到鞏固。

④由抽象到具體：特殊的直線相交關(guān)系：互相垂直。用具體的特殊角（90度角）這一數(shù)量研究?jī)芍本€互相垂直的性質(zhì)。再把兩直線互相垂直應(yīng)用到實(shí)際問題中：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直;通過垂直來定義：點(diǎn)到線之間的距離。（圖形語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言可參考北師大版數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)下冊(cè)第二章）

（4）解題中基本模型圖的應(yīng)用：從幾何圖形中提煉出相交線的基本圖形，再利用對(duì)頂角相等或者余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，解決全等或者相似的相關(guān)問題;用垂直的基本圖形的性質(zhì)解決幾何問題和實(shí)際問題。構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

2. 兩直線平行的基本模型圖的教學(xué)思路

（1）平行線的定義：若兩條直線沒有公共點(diǎn)，稱這兩條直線互為平行線。

（2）根據(jù)這個(gè)定義，就可以畫出相交線的基本模型圖如下：（口頭上我們稱它“三線八角”：其中，所成的夾角之間的關(guān)系有：Z型中互為內(nèi)錯(cuò)角，F(xiàn)型中互為同位角，U型中互為同旁內(nèi)角）

（3）研究平行線，形成基本概念、掌握性質(zhì)：

①在這個(gè)基本的幾何模型中，基本的幾何元素（圖形）有：三條直線，兩個(gè)交點(diǎn)，八個(gè)夾角;

②直線之間的位置關(guān)系：一組直線互相平行;兩組直線相交;;

直線相交的關(guān)系在上面已經(jīng)學(xué)習(xí)過，故進(jìn)行下面的教學(xué)引導(dǎo)：

③兩條平行線之間的位置關(guān)系的探討：兩直線平行這種位置關(guān)系的性質(zhì)太抽象，需要通過定量來研究平行這一性質(zhì)，因此引出第三條直線與原來兩條直線形成相交關(guān)系，構(gòu)造角這個(gè)具體的量，通過研究所成的角之間的數(shù)量關(guān)系來體現(xiàn)原兩條直線的位置關(guān)系;反過來，兩直線的平行關(guān)系這一性質(zhì)又可以推理出各類角之間的數(shù)量關(guān)系。這就是平行的性質(zhì)與判定。（圖形語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言可參考北師大版數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)下冊(cè)第二章）

這是研究幾何性質(zhì)的重要方法：量的關(guān)系體現(xiàn)性質(zhì)的關(guān)系，即量變促成質(zhì)變;反過來，性質(zhì)可以推理出量的關(guān)系。

（4）解題中基本模型圖的應(yīng)用

教學(xué)手段：引導(dǎo)學(xué)生在幾何圖形中，能用鉛筆描繪（識(shí)別并提煉出）平行線“三線八角”的基本模型圖，進(jìn)一步分析角與角之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系（Z型中互為內(nèi)錯(cuò)角？F型中互為同位角？U型中互為同旁內(nèi)角？），從而解決與直線性質(zhì)或者角的數(shù)量有關(guān)的問題。

四、垂直平分線與角平分線的“基本模型圖”的教學(xué)思路

1.線段的垂直平分線

（1）基本模型圖：

（2）定義：與線段垂直并平分該線段的直線;

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

（3）線段垂直平分線基本模型圖的補(bǔ)充推論：

①全等三角形的提煉與運(yùn)用：ΔMAO≌ΔMBO;

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：全等的判定與性質(zhì)等;

②等腰三角形的提煉與運(yùn)用：等腰三角形ΔMAB;

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形三線合一等;

③直角三角形的提煉與運(yùn)用：RtΔMOA等;

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：直角三角形角的性質(zhì);勾股定理;三角函數(shù)等;

（4）解題中基本模型圖的應(yīng)用

教學(xué)手段：幾何問題中遇到線段垂直平分線，首先能快速識(shí)別基本模型圖，熟練運(yùn)用其定義、性質(zhì)解決問題;第二是能夠利用基本模型圖的補(bǔ)充推論去解決更加綜合的幾何問題;第三，在提高題中，能夠由此啟發(fā)添加輔助線構(gòu)出此模型圖，從而運(yùn)用性質(zhì)和推論解決問題。

2.角的平分線

（1）基本模型圖：;

（2）定義：平分一個(gè)角的射線;

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

（3）角平分線基本模型圖的補(bǔ)充推論：

①全等三角形的提煉與運(yùn)用：ΔDEO≌ΔDFO;

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：全等的判定與性質(zhì)等;

②點(diǎn)到線之間的距離的提煉與運(yùn)用;

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：距離的概念;

③直角三角形的提煉與運(yùn)用：RtΔMOA等;

相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：直角三角形角的性質(zhì);勾股定理;三角函數(shù)等;

（4）解題中基本模型圖的應(yīng)用

教學(xué)手段：幾何問題中遇到角平分線，首先能快速識(shí)別基本模型圖，熟練運(yùn)用其定義、性質(zhì)解決問題;第二是能夠利用基本模型圖的補(bǔ)充推論去解決更加綜合的幾何問題;第三，在提高題中，能夠由此啟發(fā)添加輔助線構(gòu)出此模型圖，從而運(yùn)用性質(zhì)和推論解決問題。

關(guān)于線段垂直平分線和角平分線的教學(xué)指導(dǎo)：

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，從一個(gè)簡(jiǎn)單的定義、性質(zhì)及其圖形開始，通過對(duì)圖形的分析，把幾何中相關(guān)的知識(shí)聯(lián)系起來，在這樣的學(xué)習(xí)過程中，知識(shí)之間的聯(lián)系逐漸清晰;幾何的知識(shí)系統(tǒng)逐漸完善，在往后幾何學(xué)習(xí)、解題中對(duì)知識(shí)和方法的理解會(huì)越來越深刻、提煉知識(shí)也會(huì)越來越快。因此，筆者認(rèn)為這是幾何教學(xué)中有效的指導(dǎo)方法。

綜上所述，在數(shù)學(xué)幾何模塊的學(xué)習(xí)中，由基本圖形構(gòu)成的基本模型圖是學(xué)習(xí)幾何的重要部分，對(duì)于基礎(chǔ)比較差的學(xué)生，階梯式學(xué)好基本模型圖（由最簡(jiǎn)單的幾何圖形以及最簡(jiǎn)單的圖形之間的關(guān)系圖開始，逐漸過渡到重要性質(zhì)的典型基本圖形，逐步把幾何知識(shí)聯(lián)系起來，形成一個(gè)逐漸完整的幾何知識(shí)體系，以整體的思維看待幾何知識(shí)、幾何問題），可以更好地理解幾何性質(zhì)和啟發(fā)解題思路，進(jìn)一步而言，有助于學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善以及問題解決中知識(shí)和方法的提煉，也就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

另外，基本模型圖的熟練掌握，對(duì)于數(shù)學(xué)的提高也是非常關(guān)鍵：基本模型圖是一個(gè)整體，審題有了分析基本模型圖的習(xí)慣，就提高了對(duì)數(shù)學(xué)解題的整體思想的理解，這是數(shù)學(xué)的重要思想;對(duì)于難度比較大的幾何題，需要作輔助線的時(shí)候，往往可以從基本模型圖出發(fā)去分析、構(gòu)造，得到啟發(fā)，從而可以很快做出有效的輔助線構(gòu)圖，解決問題。

初中階段平面幾何的基本模型圖不止以上幾種，在課堂學(xué)習(xí)的過程中，從新知的理解到知識(shí)的運(yùn)用，我們都要教會(huì)學(xué)生懂得以整體的角度去看待、理解、運(yùn)用基本模型圖;善于自己去總結(jié)、積累并且可以做到變式創(chuàng)新提高，從更高的角度去滲透每個(gè)基本模型圖，提高幾何解題能力及自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。由基本模型圖散發(fā)開去，最后又離不開幾何知識(shí)系統(tǒng)這個(gè)整體。

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作者單位

（廣東省佛山市南海區(qū)桂城街道映月中學(xué);廣東;佛山;528000）