葉誠理

（福建省福清第一中學(xué)，福建福清 350300）

引言

知識(shí)高度復(fù)合的三角函數(shù)教學(xué)中體現(xiàn)直觀想象能力，應(yīng)以其函數(shù)的主要特征聯(lián)想到包含其他局部知識(shí)點(diǎn)的總括方式，把握住想象的兩大特點(diǎn)：一是整體模型化。在三角函數(shù)題型中涉及范圍領(lǐng)域、發(fā)展運(yùn)動(dòng)領(lǐng)域的知識(shí)點(diǎn)考查中，要對解題答案進(jìn)行全面的預(yù)判，防止在內(nèi)容、方法的選擇上陷入局部思維[1]。二是抽象具體化。在解題過程中，要對題干中三角函數(shù)的主要特點(diǎn)進(jìn)行具象化遷移，使其所考查的知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)出具體表象特征，能通過直接聯(lián)想到可視、可感的形象來厘清解題思路的正確與否。

一、直觀想象能力在三角函數(shù)中的重要性

直觀想象能力本質(zhì)上是一種人的思維產(chǎn)物，在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)為一種整體思維。

例題1：已知α是第二象限角，那么是第幾象限角？

這道題是三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)運(yùn)用，然而此題的錯(cuò)誤率并不低。許多學(xué)生直觀地判斷為“第一象限角”。此題考查學(xué)生的整體性思維：由于，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角，而當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角。

此題考查的是終邊相同角的基本公式α+2kπ（k∈Z）。不少學(xué)生直觀認(rèn)為，貿(mào)然選擇了選項(xiàng)B，應(yīng)用了錯(cuò)誤的三角函數(shù)的周期kπ。

由上述舉例可見，三角函數(shù)中一些簡單易錯(cuò)題型往往是利用局部思維漏洞設(shè)計(jì)的。而許多學(xué)生在發(fā)展自身數(shù)學(xué)思維的同時(shí)，將“第一印象”或“直觀判斷”當(dāng)作直觀想象能力的一部分，從而陷入對直觀想象能力認(rèn)識(shí)不全面的誤區(qū)。教師在解題中，要分析、判斷學(xué)生陷入了哪種思維方式的誤區(qū)，將直觀想象能力“從整體到具體”的原則傳授給學(xué)生，使學(xué)生能夠第一時(shí)間反應(yīng)出題目考查的主要知識(shí)點(diǎn)，認(rèn)清三角函數(shù)問題的本質(zhì)。

二、培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的有效策略

（一）訓(xùn)練學(xué)生畫思維導(dǎo)圖

以人教版數(shù)學(xué)教材為例，每一本教材前面都有章節(jié)目錄，起到了揭示各章之間的內(nèi)部邏輯關(guān)系的作用，可以轉(zhuǎn)化為一張組織關(guān)系思維導(dǎo)圖。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過對章節(jié)目錄進(jìn)行作圖訓(xùn)練，明確教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系與邏輯安排，搭建好知識(shí)之間的“腳手架”，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的能力。

數(shù)學(xué)教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生將知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化應(yīng)用的習(xí)慣，如對知識(shí)點(diǎn)縱向進(jìn)行思維鏈接，與學(xué)生一起回憶各種與直觀想象能力有關(guān)的數(shù)學(xué)思想，通過這種縱向比較，使學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)思想就在身邊[2]。

（二）深挖數(shù)學(xué)知識(shí)背后的生活經(jīng)驗(yàn)

掌握直觀想象能力的前提是擁有解決新問題的思維工具。在三角函數(shù)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想是最重要的思維工具。根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》可知，“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括”。

相較于其他數(shù)學(xué)知識(shí)，三角函數(shù)更抽象與概念化，而非直觀易懂、可操作的圖像。學(xué)生在直觀想象能力“整體性”培育方面，要突破思維不可逆的局限性，掌握公式與圖像之間的轉(zhuǎn)化，認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的形成過程。進(jìn)一步來說，三角函數(shù)是由最基礎(chǔ)的函數(shù)知識(shí)產(chǎn)生并發(fā)展而來的，并不是孤立地通過精神活動(dòng)而被創(chuàng)造出來的。三角函數(shù)的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)實(shí)際上都深度鏈接人們的生活、常識(shí)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、以“三角函數(shù)”教學(xué)為例來看學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)

從“三角函數(shù)”的教學(xué)目標(biāo)來看，“培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力”應(yīng)歸屬于“情感態(tài)度與價(jià)值觀”范疇。基于此，筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)中將“培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、類比歸納的探究問題的能力”納入“情感態(tài)度”目標(biāo)。

由于我國文字不是拼音文字而是會(huì)意文字，學(xué)生在接受以拼音文字為主的符號(hào)語言時(shí)，難以與圖像語言建立思維的聯(lián)系，不容易抓住三角函數(shù)教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)技巧和規(guī)律。例如，在教學(xué)“函數(shù)的圖像”一課時(shí)，一些學(xué)生反映教學(xué)內(nèi)容過于復(fù)雜，難以抓住知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系?；诖?，筆者設(shè)計(jì)了一種由簡到繁、由舊知識(shí)到新知識(shí)的教學(xué)思路，先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)正弦函數(shù)的舊知識(shí)sinyx=及其圖像特點(diǎn)，通過引入Aφω、，使學(xué)生在自己熟悉的圖像上發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，再講解y=sin(2x+1)與y=sin2x之間的圖像變換規(guī)律，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決新問題可用的舊知識(shí)，面對變量的增加，引導(dǎo)學(xué)生通過控制變量的數(shù)量使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)變?yōu)樽约荷瞄L的一般問題，通過教師直觀地“做加法”和學(xué)生直觀地“做減法”，逐步使學(xué)生熟悉復(fù)合函數(shù)，最后讓學(xué)生自主探索，爭取自己解決問題，以提高學(xué)生的直觀想象能力，發(fā)揮學(xué)生的主體作用。

（二）授課中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力

以常見的學(xué)生使用直觀想象能力產(chǎn)生錯(cuò)誤的情況試舉一例：把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，在不改變縱坐標(biāo)的情況下，在原來的基礎(chǔ)上縮短所得圖像各個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到相應(yīng)的解析式。在這個(gè)過程中，許多學(xué)生對平移的變換對象產(chǎn)生了錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，在思維導(dǎo)向中產(chǎn)生了如下過程：把原函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的，得。筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的解題速度很快，但并沒有結(jié)合圖像對題目做出正確理解。這是一種“直線性思維”而非“直觀想象能力”。由于在解題過程中并沒有第一時(shí)間在頭腦中構(gòu)建空間模型，學(xué)生對該題目考查的空間向量沒有產(chǎn)生理解性認(rèn)識(shí)。

還有部分學(xué)生在解題過程中的思維路線如下：向右平移原函數(shù)圖像個(gè)單位，得橫坐標(biāo)縮短為原來的，得。這個(gè)現(xiàn)象顯示出學(xué)生的思維脫離了整體性，把當(dāng)成了變換對象，而沒有考慮整體變化。

實(shí)際上，學(xué)生對三角函數(shù)平移關(guān)系的規(guī)律還沒有掌握，即“左加右減、上加下減”，沒有經(jīng)過自身的實(shí)踐、經(jīng)驗(yàn)觀察，只停留在表面認(rèn)識(shí)上，導(dǎo)致直觀想象能力的培養(yǎng)缺少了物質(zhì)基礎(chǔ)。左右平移只針對變量x，上加下減只針對變量y，在三角函數(shù)圖像平移方面，直觀想象能力的基礎(chǔ)表現(xiàn)是抓住變換對象，而不是將其他因素一并代入，使解題過程總體上偏離知識(shí)考查的目的。

（三）在習(xí)題課后回顧中總結(jié)直觀想象能力的體現(xiàn)

在三角函數(shù)習(xí)題課后回顧中，筆者對學(xué)生做了簡單的問卷調(diào)查：“通過本節(jié)課習(xí)題的學(xué)習(xí)，你最大的體驗(yàn)是什么？是否真正掌握了直觀想象能力的運(yùn)用方法？”習(xí)題設(shè)計(jì)意圖是培養(yǎng)學(xué)生對直觀想象能力的正確運(yùn)用。而根據(jù)學(xué)生反饋，其主要發(fā)生的錯(cuò)誤現(xiàn)象是找不準(zhǔn)習(xí)題的研究目標(biāo)。例如，“復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性”習(xí)題課中有這樣一題：的單調(diào)遞增區(qū)間是？部分學(xué)生的思維立刻被正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間主導(dǎo)。解題過程如下：令，即；因?yàn)閥=sint在區(qū)間上是遞增關(guān)系，所以，最終得出，但如果就此解答就陷入了一個(gè)誤區(qū)：正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)被該部分學(xué)生混為一談了。該題干中x前的系數(shù)是負(fù)數(shù)，因此題干中函數(shù)實(shí)質(zhì)就是與一次函數(shù)形成的復(fù)合函數(shù)。這道題的考點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。學(xué)生要利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)進(jìn)行解答。在此，教師可以利用對比演示法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己使用直觀想象能力的錯(cuò)誤之處：先入為主，意識(shí)到第一眼印象不是直觀想象能力的表現(xiàn)形式。此外，教師還可以根據(jù)直觀比較后梳理正弦函數(shù)和復(fù)合函數(shù)之間的內(nèi)容聯(lián)系，并引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧自己知識(shí)使用的錯(cuò)誤之處。

結(jié)語

直觀想象能力的培養(yǎng)不是一步到位的，它是從三角函數(shù)基本圖像所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想出發(fā)的。判斷一種三角函數(shù)題目的直觀想象能力體現(xiàn)應(yīng)是第一眼發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)，不能采用直接判斷、遂下定論的解題思路。出題者與考生兩者之間類似于一種智力游戲關(guān)系。學(xué)生運(yùn)用直觀想象能力應(yīng)敏銳地察覺出題者考查知識(shí)點(diǎn)的用意，而不能以表面形式進(jìn)行判斷，一頭鉆進(jìn)題海套路中?？傊?，直觀想象能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，需要教師在日常的教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行滲透，不是過分訓(xùn)練學(xué)生的解題速度，而是善于運(yùn)用教學(xué)智慧引導(dǎo)學(xué)生通過直觀想象發(fā)現(xiàn)題目中所考查的知識(shí)內(nèi)容并領(lǐng)悟所用到的數(shù)學(xué)思想方法，從而全方位提升學(xué)生的核心素養(yǎng)[3]。