高 巖

(上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093)

1 引言

傳統(tǒng)能源日益短缺和環(huán)境污染日趨嚴重等問題促使各國大力發(fā)展環(huán)境友好的可再生能源，以減少對傳統(tǒng)能源的依賴和降低環(huán)境污染，確保社會和經(jīng)濟可持續(xù)發(fā)展。電力系統(tǒng)要求供需實時平衡，隨著可再生能源容量快速上升，特別是其隨機波動性并網(wǎng)，對電力系統(tǒng)安全、高效運行帶來了巨大的挑戰(zhàn)。另一方面，相對較短的用電尖峰時刻消耗著較大比例的電力資源和成本，事實上電力成本主要取決于耗電的尖峰時刻，解決這一問題的有效措施是削峰填谷。因此，僅依靠供給側(cè)的調(diào)節(jié)能力很難完全實現(xiàn)供需平衡，由此推動了現(xiàn)代電網(wǎng)環(huán)境下的新型管理問題：需求側(cè)管理(Demand Side Management)。所謂需求側(cè)管理，是指供電側(cè)和需求側(cè)之間相互協(xié)作以調(diào)節(jié)用戶的用電時間和方式，達到削峰填谷，增加用電效率，在保證用電效用前提下減少電力消耗，達到節(jié)約能源的管理活動。需求響應(yīng)是需求側(cè)管理的解決方案之一，是指通過調(diào)整電力價格或者給予補償手段引導(dǎo)用戶依據(jù)價格信號，主動做出的轉(zhuǎn)移或削減負荷行為，最終實現(xiàn)節(jié)約、高效用電的目的，同時對電網(wǎng)的安全可靠和穩(wěn)定運行也起到促進作用。需求響應(yīng)的核心是價格響應(yīng)，近年來電力產(chǎn)品的定價機制受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究[1-6]。實證研究表明，基于需求響應(yīng)的價格機制極大地促進了可再生能源的開發(fā)和利用[7]，有效地保證了電力系統(tǒng)的供需平衡[8]。

基于需求響應(yīng)的電力定價機制主要包括分時電價、關(guān)鍵峰荷電價、自適應(yīng)電價和實時電價(RTP)。供電側(cè)根據(jù)電力供需狀況，制定價格，激勵用戶在低谷時段用電，削減峰值負荷，達到削峰填谷的目的[1-3,5,8]。定價策略研究主要從兩方面進行，一方面是從電力市場化的角度考慮，采用商業(yè)定價機制，利用博弈論和雙層優(yōu)化方法[9-12]。另一方面從公共產(chǎn)品角度考慮，采用追求社會效用最大化的定價機制，解決這類問題的有效方法是社會福利最大化模型，基于影子價格理論，利用對偶優(yōu)化方法[13-20]。

在市場化方法中, 將供電側(cè)作為博弈一方，電力用戶作為博弈的另一方，建立相關(guān)的博弈模型并給出求解方法，從而得到雙方或多方接受的價格。這方面研究工作主要包括：對于一般電力系統(tǒng)建立合理的博弈模型和設(shè)計有效的求解方法[9-11]，對于一些復(fù)雜系統(tǒng)，例如含有可再生能源、含有電力存儲設(shè)備等系統(tǒng)建立有針對性的博弈模型和設(shè)計有針對性的求解方法[12]。

基于政府定價和政府制定指導(dǎo)價格原則，社會福利最大化方法廣泛應(yīng)用于能源、環(huán)境等公共產(chǎn)品的定價，早在上世紀(jì)六十年代就被用于研究電力產(chǎn)品定價[21]。文獻[13]首先建立了智能電網(wǎng)實時定價的社會福利最大化模型，該模型是以用戶用電量為決策變量的凸優(yōu)化，因此可以利用對偶方法求解。之所以要利用對偶方法，因為對偶方法不僅可以求解決策變量本身，同時還可以求解相應(yīng)的拉格朗日乘子，拉格朗日乘子作為電能的影子價格正是我們要計算的價格。

文獻[13]給出的方法能夠?qū)崿F(xiàn)的前提是每個用戶要有明確的效用(utility)函數(shù)，同時所有效用函數(shù)要向供電側(cè)公開。從實際應(yīng)用角度來講，每個用戶，特別是家庭用戶很難給出一個解析形式的用電效用函數(shù)；從保護用戶個人隱私角度講，用戶不一定愿意向供電側(cè)提供其個人用電效用信息。為此，文獻[14]提出了一個在線算法，在在線算法執(zhí)行過程中，不需要公開用戶的具體效用函數(shù)，只需用戶根據(jù)不同的價格實時提供他們的計劃用電量，然后供電側(cè)根據(jù)用戶提供的計劃用電量再給出修正的電力價格，循環(huán)這一過程即得到用戶和供電側(cè)雙方都可接受的價格。在線方法的實現(xiàn)前提是用戶與供電側(cè)之間可以實時信息互換。信息互換的完成在硬件方面由智能電表來完成，在模型方面要求相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)具有可分離性，而社會福利最大化模型恰恰滿足這一性質(zhì)。在線方法的出現(xiàn)，使得社會福利最大化方法具有了真正的可應(yīng)用性。

為更精確的描述實際問題，一系列研究推廣文獻[13]給出的基本社會福利最大化模型，主要工作包括：對用戶進行分類：分為家庭用戶、工業(yè)用戶、商業(yè)用戶、裝備電力存儲設(shè)備用戶、含有部分可再生能源(例如太陽能等)用戶[15]，不同的用戶可以選取不同類型的效用函數(shù)；對電器進行分類：分為必須按時、按量使用的電器、可調(diào)整使用時間的電器、可調(diào)整使用電量的電器[20]。另外，還有文獻考慮帶有隨機因素，即載荷不確定問題[16]。這些社會福利最大化模型仍然是凸優(yōu)化，同時其拉格朗日函數(shù)具有可分離性，仍然可以以利用在線對偶方法求解。

依據(jù)社會福利最大化模型制定實時電價不僅需要求解優(yōu)化問題本身，同時還要求解相應(yīng)的拉格朗日乘子，特別是其計算過程為在線算法，用戶與供電側(cè)之間實時進行信息互換，在每一個時段內(nèi)都要反復(fù)求解優(yōu)化問題，直至達到精度要求，除計算量巨大以外大，還需要快速計算。為此，近年來許多學(xué)者對社會福利最大化模型算法進行研究，其研究工作應(yīng)然在對偶方法框架下展開。研究工作主要包括：對對偶算法中的次梯度法進行改進[15]；利用光滑函數(shù)逼近對偶問題中的非光滑函數(shù)；借鑒ADMM方法技術(shù)[17]；對不同模型設(shè)計有針對性的算法[15,20]。相關(guān)文獻仿真試驗表明，這些新方法的提出大大改進了社會福利最大化模型的求解速度，具備求解較大規(guī)模的實際問題。

實時電價早期也稱為動態(tài)電價[22]，這種實時電價也包括在較長時段上的價格變化，例如按白天與夜晚，冬季與夏季等劃分時段，每個時段制定不同的電價。這種意義下的實時電價研究有較長的歷史，取得了一系列有意義的研究成果[23]。本文討論的實時電價理論上指每時每刻都可以改變的電價，是近年來在智能電網(wǎng)環(huán)境下，特別是有智能電表等先進計量、通訊工具的支撐，人們關(guān)注的研究問題。不同于其他定價方法，實時電價定價方法的確定需要快速響應(yīng)，因此相關(guān)的算法必須具有很高的計算效率。主要基于兩方面考慮，在每一個時間段需要確定一個電價，如果計算速度不夠充分快，勢必拉長時間段劃分，導(dǎo)致失去實時定價的意義；在每一個時間段內(nèi)電價的確定通過供電側(cè)與用戶信息互換實現(xiàn)，需反復(fù)求解優(yōu)化問題，計算量巨大。

在社會福利最大化模型中將電力作為資源，利用影子價格理論確定其價格。然而，與一般的自然資源不同電力資源本身也需要生產(chǎn)成本，供電側(cè)由于技術(shù)和成本等原因(例如某些發(fā)電機組不可能隨時啟動和關(guān)閉)客觀上存在一個供電量下限(即最小發(fā)電量)?，F(xiàn)有的社會福利最大化方法研究中，有些模型含有供電量下限，將其作為一個約束條件，另外一些模型忽略了供電量下限，減少一個約束條件，相應(yīng)的計算量有所減少。究竟供電量下限在社會福利最大化作用如何，在約束中是否可以去掉？目前在理論上還沒有研究。在社會福利最大化在線對偶算法中，由于要反復(fù)計算相應(yīng)的優(yōu)化問題，整體計算量巨大，因此從計算量角度考慮，對社會福利最大化基本模型的任何簡化、改進使其更加快速、高效對整體計算量的減少無疑都是非常有意義的。本文將在理論上討論供電量下限在社會福利最大化模型中的作用，在符合通常實際情況的假設(shè)下，得到去掉供電量下限的等價模型。同時我們將討論簡化的模型仍然滿足實現(xiàn)在線對偶算法所需條件。

2 影子價格和效用函數(shù)

2.1 影子價格和拉格朗日乘子

影子價格是指當(dāng)社會經(jīng)濟處于某種最優(yōu)狀態(tài)時，能夠反映社會勞動的消耗、資源的稀缺程度和最終產(chǎn)品需求情況的價格[24]，因此影子價格是較交換價格更為合理的價格。從定價原則來看，影子價格能更好地反映產(chǎn)品的價值；從反映市場供求狀況方面，影子價格反映資源稀缺程度；從價格產(chǎn)出的效果來看，影子價格能使資源配置向優(yōu)化的方向發(fā)展。從最優(yōu)化度來講，影子價格是相關(guān)優(yōu)化問題的拉格朗日乘子[25,26]。

考慮下述優(yōu)化問題：

(P) maxf(x)

s.t.gi(x)≤bi,i=1,…,m

其中f(x)，gi(x),i=1,…,m為Rn上的連續(xù)可微函數(shù)，bi,i=1,…,m為常數(shù)。如果x*為優(yōu)化問題(P)的最優(yōu)解，在一定條件下，例如-f(x)，gi(x),i=1,…,m為凸函數(shù)及滿足Slater約束品性，則存在一組不全為零的常數(shù)λ1,…,λm≥0，使得

(2.1)

λigi(x*)=0,i=1,…,m

(2.2)

其中λ1,…,λm稱為拉格朗日乘子[25,26]。

在問題(P)中如果目標(biāo)函數(shù)f(x)代表收益(效用)，約束函數(shù)gi(x)代表第i種資源消耗，常數(shù)bi代表第i種資源總量限制，變量x代表資源使用的數(shù)量，則此時拉格朗日乘子λi為第i種資源的影子價格[25]。

對偶方法是最優(yōu)化中一個重要方法，它不僅可以求解優(yōu)化問題的決策變量，同時還可以求解拉格朗日乘子[26]。因此，關(guān)于影子價格的計算一般利用對偶方法，如果直接求解KKT系統(tǒng)(2.1)和(2.2)也可以利用非光滑方程組的牛頓法[27]。

2.2 效用函數(shù)

效用函數(shù)U(x)表示消費者在消費過程中所獲得的效用與所消費的商品數(shù)量x之間的關(guān)系，其目的是衡量消費者從消費既定商品中所獲得的滿足程度。在經(jīng)濟學(xué)中通?？紤]效用函數(shù)U(x)滿足如下兩個基本假設(shè)[24]：

在現(xiàn)有的實時定價模型中，電力用戶的效用函數(shù)主要采用如下的二次函數(shù)：

(2.3)

其中x代表用戶的用電量，α和ω為常數(shù)，ω稱為用電彈性系數(shù)；電力成本函數(shù)C(L)為嚴格單增的凸函數(shù)，其中L為供電量，目前成本函數(shù)普遍采用二次函數(shù)：

C(L)=aL2+bL+c

其中a,b,c給定的常數(shù)[6,13,16]。

2.3 社會福利最大化模型

文獻[13]以所有用戶的效用之和與電能成本差的最大化建立如下優(yōu)化模型：

(2.4)

優(yōu)化問題(2.4)中目標(biāo)函數(shù)為全社會總福利，約束條件為全部用戶用電量不超過供電能力，其含義是如何用電使全社會福利最大化，稱為社會福利最大化模型。由于各個時段是相互獨立的，問題(2.4)可以等價地轉(zhuǎn)化為對每個時段k求下面的優(yōu)化問題：

(2.5)

共需要求解K個優(yōu)化問題。這說明求解優(yōu)化問題(2.4)本質(zhì)上是分布式方法。優(yōu)化問題(2.5)的含義是在時段k上的全社會福利最大化。

另一方面，現(xiàn)有的一些文獻在模型(2.5)中沒有考慮最小供電量約束，即討論下述模型[6]：

(2.6)

在問題(2.6)中，Lk稱為發(fā)電能力，事實上相當(dāng)于問題(2.5)中的最大供電量。

3 最小供電量

為敘述簡便，在優(yōu)化問題(2.5)中省略時段指標(biāo)，記為如下形式：

(3.1)

在優(yōu)化問題(3.1)中x=(x1,…,xN)T∈Rn和L∈R1為變量。

為了簡化問題(3.1)的約束條件，考慮下述優(yōu)化問題：

(3.2)

定理3.1如果(x*,L*)，其中x*∈Rn，L*∈R1，為優(yōu)化問題(3.1)的最優(yōu)解，則x*為優(yōu)化問題(3.2)的最優(yōu)解；如果x*為優(yōu)化問題(3.2)的最優(yōu)解，則存在L*滿足Lmin≤L*≤Lmax，使得(x*,L*)為優(yōu)化問題(3.1)的最優(yōu)解。

證明設(shè)(x*,L*)為優(yōu)化問題(3.1)的最優(yōu)解，則對任何滿足：

(3.3)

的(x,L)，有：

(3.4)

(3.5)

這說明x*為優(yōu)化問題(3.2)的解。

設(shè)x*為優(yōu)化問題(3.2)的解，則對任何滿足

(3.6)

的(x1,…,xN)T，有

(3.7)

(3.8)

定理3.2優(yōu)化問題(3.2)與優(yōu)化問題(3.8)等價。

即在可行域內(nèi)問題(3.2)與問題(3.8)的目標(biāo)函數(shù)相同，故優(yōu)化問題(3.2)與優(yōu)化問題(3.8)等價。定理得證。

根據(jù)定理3.1和定理3.2，社會福利最大化模型(3.1)等價于優(yōu)化問題(3.8)，以下基于優(yōu)化問題(3.8)討論去掉最少用電量Lmin是否對社會福利最大化模型產(chǎn)生影響?？紤]下述優(yōu)化問題：

(3.9)

為建立優(yōu)化問題(3.8)與優(yōu)化問題(3.9)的等價性，需要引入下面符合實際背景的一個假設(shè)。

定理3.3如果假設(shè)3.1成立，則優(yōu)化問題(3.8)與優(yōu)化問題(3.9)等價。

在假設(shè)3.1成立前提下，根據(jù)定理3.1，定理3.2，定理3.3社會福利最大化模型(3.1)可等價地轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題(3.9)，此時求解社會福利最大化問題(2.5)可等價地轉(zhuǎn)化為求解優(yōu)化問題(3.9)。與優(yōu)化問題(2.5)比較，優(yōu)化問題(3.9)減少了一個區(qū)間約束和一個變量。

假設(shè)3.1不成立說明對于用電系統(tǒng)即使最小供電量也有剩余，這時優(yōu)化問題(3.9)的最優(yōu)解x*在小于最小供電量Lmin處達到，此時如果用戶再增加用電量其效用也不增加，按照影子價格體現(xiàn)資源的稀缺性特性，此時電量的影子價格為零。當(dāng)然，影子價格只作為實際定價的參考，此時價格如何具體確定屬社會管理問題不在本文討論范圍。求解優(yōu)化問題(3.9)有如下兩種情況：如果問題(3.9)的最優(yōu)解x*

4 簡化模型在線算法可實現(xiàn)的討論

前面的討論說明社會福利最大化問題(3.1)可等價地轉(zhuǎn)化為求解優(yōu)化問題(3.9)，優(yōu)化問題(3.9)在每一個時段定價過程中反復(fù)出現(xiàn)，因此對整體計算量的降低起到一定作用，當(dāng)然前提是(3.9)仍然可以利用在線對偶優(yōu)化方法求解。下面我們說明優(yōu)化問題(3.9)仍然滿足在線對偶算法所需條件，于是可以利用在線對偶優(yōu)化方法求解。

圖1 效用函數(shù)

圖2 成本函數(shù)

在求解優(yōu)化問題(3.9)對偶方法中，首先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

(4.1)

其中λ為拉格朗日乘子。然后，求解下述極小極大問題:

綜上討論，用優(yōu)化問題(3.9)代替社會福利最大化模型，不僅減少了計算量，同時滿足在線對偶算法的條件，仍然可以使用對偶在線算法。

5 結(jié)語

在智能電網(wǎng)實時電價的社會福利最大化方法中，現(xiàn)有的模型一種同時含有最小供電量和最大供電量約束，另一種模型出于簡化目的只含有最大供電量約束。本文在理論上對最小供電量約束在模型中的作用進行了討論。通過引入有效成本函數(shù)，在一個符合實際應(yīng)用的假設(shè)下證明了同時含有最小供電量和最大供電量約束模型與只含有最大供電量約束在求解影子價格意義下的等價性。從而在社會福利最大化模型中去掉了最小供電量約束，與同時含有最小供電量和最大供電量模型比較，這一模型減少了一個區(qū)間約束和一個變量，降低了問題規(guī)模。同時，這一模型仍然滿足在線對偶優(yōu)化方法所需條件，可以利用在線對偶方法求解。本文的研究針對基本的社會福利最大化模型，事實上改進、推廣的社會福利最大化模型本質(zhì)上是在優(yōu)化問題(2.5)基礎(chǔ)上增加一些輔助約束和對目標(biāo)函數(shù)進行改進，從論證過程易見本文所獲得的結(jié)論完全可推廣到各種改進、推廣的社會福利最大化模型。