四川成都七中(610041) 楊 力 康 盛

在文章[1]中，給出了過(guò)圓錐曲線上任意一點(diǎn)作切線的方法.本文從中受到啟發(fā)，先證明切線與過(guò)拋物線頂點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線的交點(diǎn)有一特殊性質(zhì)，然后利用這一性質(zhì)，給出過(guò)拋物線外任意一點(diǎn)作切線的方法，并予以證明.

一、先證明一個(gè)與拋物線有關(guān)的命題

命題1過(guò)拋物線y2=2px外一點(diǎn)P(x0,y0)，作拋物線的切線l，l與y軸相交于點(diǎn)M，則過(guò)M且與l垂直的直線必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

證明先求過(guò)點(diǎn)P的切線方程.如圖1，設(shè)切點(diǎn)T(x1,y1)，方程y2=2px(p ＞0) 兩邊對(duì)x求導(dǎo)，2yy′=2p，即:y′=所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，過(guò)點(diǎn)T的切線的斜率所以過(guò)點(diǎn)T的切線方程為:

圖1

再求切線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).當(dāng)x=0 時(shí)，

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為所以過(guò)M且與l垂直的直線方程為:(x-0)，當(dāng)y=0，x=則與x軸的交點(diǎn)為命題得證.

二、過(guò)拋物線外任意一點(diǎn)作切線的方法

已知切線上一點(diǎn)P，若再能確定一點(diǎn)即可作出切線.由命題1 可知，切線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P，拋物線的焦點(diǎn)，三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形.利用這個(gè)直角三角形，就可作出切線.

設(shè)P為拋物線外任意一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與拋物線相切的直線作法如下:

第一步: 作以PF為直徑的圓，與過(guò)拋物線頂點(diǎn)且與其對(duì)稱軸垂直的直線分別交于M與N兩點(diǎn).

第二步: 連接PM,PN，則直線PM,PN就是過(guò)點(diǎn)P且與拋物線相切的直線.

證明如圖2，以拋物線的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，其對(duì)稱軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拋物線方程為y2=2px(p ＞0)，點(diǎn)P(x0,y0).以PF為直徑的圓交y軸于點(diǎn)M，則有FM⊥PM，由命題1 可知，點(diǎn)M必在過(guò)點(diǎn)P且與拋物線相切的直線，則PM為拋物線的切線.同理可知，PN也為拋物線的切線.

圖2

本文提供了一種解決過(guò)拋物線外任意一點(diǎn)作切線問(wèn)題的方法.但這種方法還需要拋物線的焦點(diǎn)位置，能不能找到一種不需要焦點(diǎn)參與的作法? 過(guò)橢圓與雙曲線外一點(diǎn)，如何作切線呢?