廣州市教育研究院(510030) 曾辛金

二、2020年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新舊課標(biāo)卷試題簡(jiǎn)析

2020年高考數(shù)學(xué)舊課標(biāo)卷的基礎(chǔ)性內(nèi)容與主干知識(shí)包括必考內(nèi)容的集合、常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)、算法、平面向量、線性規(guī)劃、計(jì)數(shù)原理(理科)、三角、數(shù)列、立體幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等，還包括選考內(nèi)容的坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講等，這些基礎(chǔ)性內(nèi)容和主干知識(shí)在試題中得到全面覆蓋.

高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷的基礎(chǔ)性內(nèi)容與主干知識(shí)在舊課標(biāo)卷的基礎(chǔ)上，刪去了算法、線性規(guī)劃、三視圖等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)刪去了選考內(nèi)容，根據(jù)教育部考試中心的要求，新課標(biāo)新增的內(nèi)容在高考中暫不考查.

1 集合

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)舊課標(biāo)Ⅰ卷文科1 5二次不等式、數(shù)集，交集理科2 5一次與二次不等式、交集舊課標(biāo)Ⅱ卷文科1 5一次絕對(duì)值不等式整數(shù)解，交集理科1 5數(shù)集，并集的補(bǔ)集舊課標(biāo)Ⅲ卷文科1 5數(shù)集，交集的元素個(gè)數(shù)理科1 5點(diǎn)集，交集的元素個(gè)數(shù)

新課標(biāo)Ⅰ卷—1 10不等式，并集5韋恩圖的應(yīng)用新課標(biāo)Ⅱ卷—1 10數(shù)集，交集5同新課標(biāo)Ⅰ卷

(2)試題考查分析

題目1 (舊課標(biāo)Ⅰ卷理科第2 題)設(shè)集合A=B={x|2x+a≤0}，且A ∩B={x|-2 ≤x≤1}，則a=

A.-4 B.-2 C.2 D.4

分析本題主要考查一次不等式與二次不等式的求解、交集的概念與運(yùn)算，借助數(shù)軸可以直觀地解答問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等.

題目2(新課標(biāo)卷第5 題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是

A.62% B.56% C.46% D.42%

分析本題主要考查利用韋恩圖解決數(shù)學(xué)基本問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等.

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，是高頻考查的知識(shí)點(diǎn)之一，主要考查集合的基本概念、元素與集合間的關(guān)系以及集合的簡(jiǎn)單運(yùn)算，主要考查數(shù)集、一次不等式、二次不等式或簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式等的運(yùn)算.

②新舊課標(biāo)在集合考查上沒有差異，重在對(duì)基本概念與基礎(chǔ)知識(shí)的考查.

2 常用邏輯用語(yǔ)

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)舊課標(biāo)Ⅰ卷文科————理科————舊課標(biāo)Ⅱ卷文科16 5立體幾何中相關(guān)命題的真假判斷理科16 5同文科舊課標(biāo)Ⅲ卷文科————理科16 5三角函數(shù)中相關(guān)命題的真假判斷新課標(biāo)Ⅰ卷—————新課標(biāo)Ⅱ卷—————

(2)試題考查分析

題目(舊課標(biāo)Ⅱ卷文理科第16 題)設(shè)有下列四個(gè)命題:

p1: 兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

p2: 過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.

p3: 若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

p4: 若直線l ?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.

則下述命題中所有真命題的序號(hào)是____.1

①p1∧p4②p1∧p2③?p2∨p3④?p3∨?p4

分析本題主要考查空間直線與平面位置關(guān)系的判斷，將立體幾何的問(wèn)題與邏輯命題有機(jī)結(jié)合，多側(cè)面、多層次考查學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，只要依據(jù)立體幾何中的公理、性質(zhì)和定理逐個(gè)予以判斷命題的真假，再確定復(fù)合命題的真假即可，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①常用邏輯用語(yǔ)是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具，是邏輯思維的基本語(yǔ)言.在高考中時(shí)有考查，主要以選擇題或填空題出現(xiàn)，

②新舊課標(biāo)在常用邏輯用語(yǔ)的考查要求上有所不同，在舊課標(biāo)中刪去了“了解命題的逆命題、否命題與逆否命題”和“通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)例，了解‘或’、‘且’、‘非’的含義”，新課標(biāo)中增加了“必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系”“充分條件與判定定理的關(guān)系”“充要條件與定義的關(guān)系”等內(nèi)容.

3 復(fù)數(shù)

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)舊課標(biāo)Ⅰ卷文科2 5復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模理科1 5復(fù)數(shù)模的運(yùn)算舊課標(biāo)Ⅱ卷文科2 5復(fù)數(shù)的運(yùn)算理科15 5復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與幾何運(yùn)算舊課標(biāo)Ⅲ卷文科2 5共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的運(yùn)算理科2 5復(fù)數(shù)的運(yùn)算，虛部的概念新課標(biāo)Ⅰ卷—2 5復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算新課標(biāo)Ⅱ卷—2 5復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

(2)試題考查分析

題目1(新課標(biāo)Ⅰ卷第2 題)=

A.1 B.-1 C.ⅰ D.-ⅰ

分析本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等.

題目2(舊課標(biāo)Ⅱ卷理科第15 題)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足則|z1-z2|=____.

分析本題主要考查復(fù)數(shù)運(yùn)算，既可從復(fù)數(shù)的幾何意義入手解答，也可從復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算角度解答，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①?gòu)?fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，是高考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，復(fù)數(shù)題主要以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，主要考查復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

②新舊課標(biāo)在復(fù)數(shù)的教學(xué)要求上有一定的差異，新課標(biāo)增加了復(fù)數(shù)的三角形式，但只作為選學(xué)內(nèi)容，所以本部分內(nèi)容重在對(duì)基本概念與基礎(chǔ)知識(shí)的考查.

4 算法

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)_____舊課標(biāo)Ⅰ卷文科9 5程序框圖、數(shù)列_____理科————________舊課標(biāo)Ⅱ卷文科7 5程序框圖，數(shù)值運(yùn)算理科————________舊課標(biāo)Ⅲ卷文科————________理科————________

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅰ卷文科第9 題)執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的n=( )

A.17 B.19 C.21 D.23

分析本題主要考查程序框圖的算法功能的理解，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，依據(jù)程序設(shè)計(jì)逐個(gè)求解，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得到正確結(jié)果，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①算法是舊課標(biāo)的新增知識(shí)點(diǎn)，算法題均以客觀題形式出現(xiàn)，主要考查程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)(順序、條件分支、循環(huán))以及基本算法語(yǔ)句(輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句)，算法試題主要考查考生的閱讀理解能力，是得分較高的考題之一.

②新課標(biāo)刪去了“算法”的內(nèi)容.

5 平面向量

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)舊課標(biāo)Ⅰ卷文科14 5向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積理科14 5平面向量的數(shù)量積運(yùn)算舊課標(biāo)Ⅱ卷文科5 5平面向量的數(shù)量積運(yùn)算理科13 5平面向量的數(shù)量積運(yùn)算舊課標(biāo)Ⅲ卷文科————理科6 5平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、求兩向量角的余弦值新課標(biāo)Ⅰ卷—7 5平面向量的數(shù)量積運(yùn)算新課標(biāo)Ⅱ卷—3 5平面向量的分解

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅰ卷理科第14 題)設(shè)a，b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=____.

分析本題主要考查向量模之間的計(jì)算，既可從幾何的角度思考，也可用代數(shù)的方法處理，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想.

題目2(新課標(biāo)Ⅰ卷第7 題)已知P是邊長(zhǎng)為2 的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是

A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)

分析本題以正六邊形為載體，主要考查平面向量數(shù)量積的取值范圍，可以轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想.

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景.平面向量是高考數(shù)學(xué)常考的內(nèi)容之一，主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算等.由于平面向量是代數(shù)與幾何的有機(jī)結(jié)合體，所以數(shù)形結(jié)合是解決平面向量的有效方法.②新舊課標(biāo)在平面向量考查上基本沒有差異，主要考查數(shù)量積的運(yùn)算.

6 線性規(guī)劃

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)舊課標(biāo)Ⅰ卷文科13 5簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，求最大值理科13 5同文科舊課標(biāo)Ⅱ卷文科15 5簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，求最大值理科————舊課標(biāo)Ⅲ卷文科13 5簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，求最大值理科13 5同文科13 為姊妹題(約束條件同)

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅰ卷文理科第13 題)若x，y滿足約束條件則z=x+7y的最大值為____.

分析本題主要考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，只要正確畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合思想.

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①線性規(guī)劃問(wèn)題主要是能準(zhǔn)確畫出二次一次不等式組表示的平面區(qū)域，并根據(jù)平面區(qū)域確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，一般難度不大.②新課標(biāo)刪去了“線性規(guī)劃”的內(nèi)容.

7 計(jì)數(shù)原理

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)舊課標(biāo)Ⅰ卷理科8 5二項(xiàng)展開式，系數(shù)舊課標(biāo)Ⅱ卷理科14 5排列組合簡(jiǎn)單運(yùn)算舊課標(biāo)Ⅲ卷理科14 5二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)新課標(biāo)Ⅰ卷—3 5排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用新課標(biāo)Ⅱ卷—6 5排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用

(2)試題考查分析

題目1(新課標(biāo)Ⅰ卷第3 題)6 名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1 個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1 名，乙場(chǎng)館安排2 名，丙場(chǎng)館安排3 名，則不同的安排方法共有

A.120 種 B.90 種 C.60 種 D.30 種

分析本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).

題目2(舊課標(biāo)Ⅰ卷理科第8 題)的展開式中x3y3的系數(shù)為

A.5 B.10 C.15 D.20

分析本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等.

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①計(jì)數(shù)原理是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，基本計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最基本、最重要的方法，為人們解決很多實(shí)際問(wèn)題提供了思想和工具.因此，計(jì)數(shù)原理是高考數(shù)學(xué)中考查實(shí)際應(yīng)用能力的一個(gè)重要載體.在高考中主要考查使用二項(xiàng)式定理解決二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)以及簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.②新舊課標(biāo)在計(jì)數(shù)原理部分略有調(diào)整，新課標(biāo)中降低了排列組合的應(yīng)用要求.

8 三角

(1)考點(diǎn)考查概況(注: 下文中，加*的題目為多選題)___

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)___________舊課標(biāo)Ⅰ卷文科7 17三角函數(shù)的圖像，周期性18解三角形(1)求面積;(2)求角_____理科7 10同文科7 9同角三角函數(shù)的運(yùn)算____________舊課標(biāo)Ⅱ卷文科13 17二倍角的運(yùn)算17解三角形(1)求角;(2)證明三角形為直角三角形_____理科2 17三角函數(shù)值的符號(hào)判斷17解三角形(1)求角;(2)求三角形周長(zhǎng)的最大值_______舊課標(biāo)Ⅲ卷文科5 15同角三角函數(shù)的運(yùn)算11解三角形，求角的正切值12三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)__________理科7 15解三角形，求角的余弦值(同文11 為姊妹題)9同角三角函數(shù)的運(yùn)算16與文12 為姊妹題(命題的真假判斷)_______________新課標(biāo)Ⅰ卷—10*20三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(多選題)15解三角形，求面積17解三角形，自選條件解題(新題型)新課標(biāo)Ⅱ卷—11*20同新課標(biāo)Ⅰ卷10 16同新課標(biāo)Ⅰ卷15 17同新課標(biāo)Ⅰ卷17________________

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅲ卷理科第9 題)已知2 tanθ -則tanθ=

A.-2 B.-1 C.1 D.2

分析本題主要考查同角三角函數(shù)的運(yùn)算，利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等.

題目2(新課標(biāo)Ⅰ卷第10 題，Ⅱ卷第11 題(多選題))下圖是函數(shù)y=Asⅰn(ωx+φ) 的部分圖像，則sⅰn(ωx+φ)=

分析本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，本題是2020年新課標(biāo)卷的新題型，采用多選的形式呈現(xiàn)，需要對(duì)選擇支逐一驗(yàn)證，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)，以及等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想.

題目3(新課標(biāo)卷第17 題(結(jié)構(gòu)不良題))在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求c的值;若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題是否存在ΔABC，它的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且

注: 如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

分析本題主要考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，本題是2020年新課標(biāo)卷的新題型，采用“結(jié)構(gòu)不良”的形式呈現(xiàn)，具有較好的開放性，考生在給出的三個(gè)條件中選擇1 個(gè)解答問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想，以及數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)探究等能力.

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①三角包括三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形等三部分內(nèi)容.高考對(duì)這部分內(nèi)容是作為一個(gè)整體來(lái)考慮的，高考中三角試題一般為3 道小題或1 道小題目1 道大題，小題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)與同角三角函數(shù)的關(guān)系，大題主要考查解三角形中的問(wèn)題，基本屬于中等偏易題.

②新舊課標(biāo)在“三角”考查的內(nèi)容上有所變化，新課標(biāo)刪去了舊課標(biāo)中的“三角函數(shù)線(正弦線、余弦線、正切線)”，將舊課標(biāo)中的“三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)”與“三角恒等變換”整合為“三角函數(shù)”，將舊課標(biāo)中的“解三角形”的內(nèi)容作為“平面向量”中的應(yīng)用.

9 數(shù)列

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)舊課標(biāo)Ⅰ卷文科10 10等比數(shù)列的基本運(yùn)算16遞推數(shù)列，已知前16 項(xiàng)和求a1理科17 12等差、等比數(shù)列(1)求公比;(2)裂項(xiàng)求和舊課標(biāo)Ⅱ卷文科3 15鋼琴中大小三和弦個(gè)數(shù)之和6等比數(shù)列前n 項(xiàng)和與第n 項(xiàng)的比值14等差數(shù)列，求前10 項(xiàng)和理科4 15北京天壇，等差數(shù)列求和問(wèn)題6等比數(shù)列，已知和求項(xiàng)數(shù)11周期數(shù)列，新定義舊課標(biāo)Ⅲ卷文科17 12等比數(shù)列(1)求通項(xiàng);(2)等差數(shù)列前n 項(xiàng)和與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系理科17 12遞推數(shù)列(1)計(jì)算并猜通項(xiàng)再證明;(2)裂項(xiàng)求和新課標(biāo)Ⅰ卷—14 17兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)重排后得新數(shù)列，再求和18等比數(shù)列(1)求通項(xiàng);(2)求新構(gòu)造數(shù)列前100 項(xiàng)和新課標(biāo)Ⅱ卷—15 17同新課標(biāo)Ⅰ卷14 18等比數(shù)列(1)求通項(xiàng);(2)求兩項(xiàng)乘積符號(hào)交叉和

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅱ卷理科第4 題)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9 塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9 塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9 塊，向外每環(huán)依次也增加9 塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729 塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)

A.3699 塊 B.3474 塊 C.3402 塊 D.3339 塊

分析本題以北京天壇鋪設(shè)石板為背景，主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

題目2(舊課標(biāo)Ⅰ文卷第16 題)數(shù)列{an}滿足an+2+(-1)nan=3n-1，前16 項(xiàng)和為540，則a1=____.

分析本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，通過(guò)對(duì)n的奇偶性分類討論，根據(jù)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用a1表示，建立a1的方程求解即可，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)，以及分類討論思想等.

題目3(新課標(biāo)Ⅰ卷第18 題)已知公比大于1 的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3=8.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m ∈N?)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100 項(xiàng)和S100.

分析本題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列等基本量的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)，以及分類討論思想等.第(1)問(wèn)直接求出a1,q，得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; 第(2)問(wèn)通過(guò)尋找數(shù)列{bm}的形成規(guī)律，求得數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和.

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①數(shù)列主要包括等差數(shù)列、等比數(shù)列與簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列等內(nèi)容.在近幾年的高考試題中，數(shù)列部分仍是考查的重點(diǎn)之一，主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系等問(wèn)題，難度以中等難度或中等偏難為主.

②新舊課標(biāo)在“數(shù)列”考查的要求上有所改變，舊課標(biāo)卷中數(shù)列題一般為2-3 道小題或1 道大題，2020年新課標(biāo)卷中數(shù)列題為1 道小題和1 道大題，并且把“數(shù)學(xué)歸納法”調(diào)整到數(shù)列部分.

10 立體幾何

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)舊課標(biāo)Ⅰ卷文科3 22正四棱錐(埃及金字塔)12球，外接圓面積，球的表面積19圓錐與棱錐，(1)證垂直;(2)求體積理科3 27同文科3 10同文科12 16三棱錐的平面展開圖，解三角形18圓錐與棱錐，(1)證垂直;(2)求二面角舊課標(biāo)Ⅱ卷文科11 17球，三角形面積，球的表面積，求點(diǎn)面距20三棱柱(1)證平行與垂直;(2)求四棱錐體積理科7 17多面體的三視圖，點(diǎn)的位置20三棱柱(1)證平行與垂直;(2)求線面角舊課標(biāo)Ⅲ卷文科9 22幾何體的三視圖，求幾何體的表面積16圓錐內(nèi)切球體積的最大值19長(zhǎng)方體(1)證線線垂直;(2)證四點(diǎn)共面8同文科9理科15 22同文科16 19長(zhǎng)方體(1)證四點(diǎn)共面;(2)求二面角正弦值新課標(biāo)Ⅰ卷—4 22日晷測(cè)量，求角度16球與四棱柱側(cè)面的交線長(zhǎng)20四棱錐(1)證線面垂直;(2)求線面角正弦的最大值新課標(biāo)Ⅱ卷—4 22同新課標(biāo)Ⅰ卷14 13三棱錐的體積20四棱錐(1)證線面垂直;(2)求線面角正弦值

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅰ卷文理科第3 題)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為

分析本題以古埃及“金字塔”為背景考查正四棱錐的概念及其相關(guān)計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng).

題目2(新課標(biāo)Ⅰ卷第16 題)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60?.以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為____.

分析本題主要考查直四棱柱與球相關(guān)的結(jié)構(gòu)特征，涉及到扇形中的弧長(zhǎng)公式和立體幾何中的軌跡問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

題目3(舊課標(biāo)Ⅰ卷文科第19題)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，ΔABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，∠APC=90?.

(1)證明: 平面PAB⊥平面PAC;

分析本題主要考查圓錐內(nèi)的三棱錐問(wèn)題，涉及到空間線面位置關(guān)系，錐體的體積等知識(shí)點(diǎn)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).第(1)問(wèn)利用線面垂直則面面垂直的思路，可以找PC(也可找PB)，先證明PC⊥平面PAB，即可證得結(jié)論; 第(2) 問(wèn)求三棱錐P -ABC的體積，既可把ΔPAB作為底面(此時(shí)高為PC，即利用第(1)問(wèn)的結(jié)論)，也可把ΔABC作為底面(此時(shí)高為PO)，兩種思路都可求得結(jié)果，但前者明顯運(yùn)算量要小，所以正確的選擇可以節(jié)省時(shí)間，準(zhǔn)確率也可得到保障.

題目4(新課標(biāo)Ⅰ卷第20題)如圖，四棱錐P -ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.

(1)證明:l⊥平面PDC;

(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

分析本題主要考查四棱錐中的相關(guān)線面位置關(guān)系，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值等知識(shí)點(diǎn)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).第(1)問(wèn)通過(guò)線面垂直的判定定理證得AD⊥平面PDC，再通過(guò)線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，證得AD//l，進(jìn)而得到l⊥平面PDC;第(2)問(wèn)先建立空間直角坐標(biāo)系(本題建系簡(jiǎn)單)，再寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Q(t,0,1)，然后求出平面QCD的法向量以及向量的坐標(biāo)，通過(guò)求的最大值，進(jìn)而得到直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①立體幾何包括立體幾何初步和空間中的向量與立體幾何等內(nèi)容.立體幾何部分側(cè)重考查空間概念、推理論證能力、空間想象能力及運(yùn)算求解能力.立體幾何題一般為2道小題目1 道大題.②新舊課標(biāo)在立體幾何的教學(xué)要求上作了較大的調(diào)整，舊課標(biāo)文理科在立體幾何的要求不同，文科主要考查線面位置關(guān)系，面積與體積的計(jì)算;理科重點(diǎn)考查用空間向量求角的問(wèn)題，證明線面間的平行與垂直關(guān)系等問(wèn)題;新課標(biāo)在舊課標(biāo)理科要求的基礎(chǔ)上，刪去了“三視圖”和“平行投影與中心投影”，增加了“能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題”(根據(jù)“新高考過(guò)渡時(shí)期數(shù)學(xué)學(xué)科考試范圍說(shuō)明”，新增的內(nèi)容在2021年、2022年高考中暫時(shí)不作為考試內(nèi)容).

11 概率與統(tǒng)計(jì)

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)_______________舊課標(biāo)Ⅰ卷文科4 22古典概型的計(jì)算5回歸方程類型的判斷17產(chǎn)品加工(1)用頻率估計(jì)概率;(2)利潤(rùn)比較_____________________________理科5 17同文科5 19羽毛球比賽，(1)(2)(3)均為求概率__________舊課標(biāo)Ⅱ卷文科4 17新冠肺炎，古典概型問(wèn)題18沙漠治理(1)數(shù)量估計(jì);(2)相關(guān)系數(shù);(3)分層抽樣_____________________________理科3 17同文科4 18同文科18_______________________________舊課標(biāo)Ⅲ卷文科3 17方差的概念與計(jì)算18空氣質(zhì)量(1)用頻率估計(jì)概率;(2)估計(jì)平均值;(3)填寫列聯(lián)表，計(jì)算K2 值并判斷理科3 17樣本的標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較18同文科18_______________________________新課標(biāo)Ⅰ卷—19 12保護(hù)環(huán)境，治理污染(1)用頻率估計(jì)概率;(2)填列聯(lián)表;(3)計(jì)算K2 并判斷________新課標(biāo)Ⅱ卷—9 17折線圖中的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題(多選題)19同新課標(biāo)Ⅰ卷19__________________________

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅰ卷文理科第8 題)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:?C)的關(guān)系，在20 個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,··· ,20)得到下面的散點(diǎn)圖:

由此散點(diǎn)圖，在10?C至40?C之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

分析本題主要考查根據(jù)散點(diǎn)圖觀察函數(shù)模型進(jìn)行選擇，本題無(wú)需具體計(jì)算，只要根據(jù)自己的知識(shí)積累觀察散點(diǎn)圖即可得出結(jié)論，考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)等.

題目2(舊課標(biāo)Ⅱ卷文科第4 題理科第3 題)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200 份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500 份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50 份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者

A.10 名 B.18 名 C.24 名 D.32 名

分析本題以新冠肺炎疫情防控志愿者參與配送貨物為背景考查古典概型問(wèn)題，彰顯正能量，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).

題目3(新課標(biāo)卷第19 題)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100 天空氣中的PM 2.5 和SO2濃度(單位:μg/m3)，得下表:

PM 2.5 SO2[0,50](50,150](150,475][0,35]32 18 4_____(35,75]6 8 12____(75,115]3 7 10____

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM 2.5 濃度不超過(guò)75，且SO2濃度不超過(guò)150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2 列聯(lián)表:

PM 2.5 SO2[0,150](150,475][0,75](75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM 2.5 濃度與SO2濃度有關(guān)?

分析本題主要考查古典概型、獨(dú)立性檢驗(yàn)(2×2 列聯(lián)表)等知識(shí)，考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).第(1)問(wèn)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果;第(2)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得2×2 列聯(lián)表;第(3)問(wèn)計(jì)算出K2，再與6.635 比較可得結(jié)果.本題思維難度不大，運(yùn)算量也較小.

題目4(舊課標(biāo)Ⅰ卷理科第19 題)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下:

累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為

(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;

(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;

(3)求丙最終獲勝的概率.

分析本題主要考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)，考查分類討論思想和理性思維能力.第(1)問(wèn)根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可直接求得結(jié)果;第(2)問(wèn)需要明確賽制，利用對(duì)立事件的概率公式求解較為簡(jiǎn)單，若利用列舉法(分別列舉甲、乙、丙獲勝的概率)求解較為繁瑣;第(3)問(wèn)通過(guò)分析丙獲勝的各種可能，再分別考慮不同可能下的不同情形(相當(dāng)于二次分類)進(jìn)行求解.

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①概率與統(tǒng)計(jì)包括統(tǒng)計(jì)、概率、統(tǒng)計(jì)案例等內(nèi)容.概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，也是新課改后高考?？汲Ｐ碌膬?nèi)容之一，在應(yīng)用題的考查方面，它基本上取代了傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系非常密切，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)內(nèi)容.舊課標(biāo)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題一般為1-2 道小題，1 道大題，小題主要考查古典概型與抽樣方法等，大題更注重應(yīng)用性，考查隨機(jī)事件的分布列與數(shù)學(xué)期望較為頻繁，統(tǒng)計(jì)案例也是高考的常考知識(shí)點(diǎn).2020年新課標(biāo)卷概率與統(tǒng)計(jì)試題只考了1 道大題，且僅考查概率問(wèn)題.

②新舊課標(biāo)在概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要求上作了較大的調(diào)整，舊課標(biāo)文理科在概率與統(tǒng)計(jì)的要求不同，文科要求較低;新課標(biāo)在舊課標(biāo)理科要求的基礎(chǔ)上，刪去了“系統(tǒng)抽樣”和“幾何概型”，增加了“有限樣本空間”、“百分位”、“結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.了解貝葉斯公式”和“成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性”“樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系”(根據(jù)“新高考過(guò)渡時(shí)期數(shù)學(xué)學(xué)科考試范圍說(shuō)明”，新增的內(nèi)容在2021年、2022年高考中暫時(shí)不考).

12 解析幾何

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)_______________舊課標(biāo)Ⅰ卷文科6 22直線與圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)最小11雙曲線，求三角形面積21直線與橢圓(1)求橢圓方程;(2)證直線過(guò)定點(diǎn)_________________________理科4 27直線與拋物線的位置關(guān)系，求p 11直線與圓的位置關(guān)系，求直線方程15求雙曲線的離心率20同文科21_______________________________舊課標(biāo)Ⅱ卷文科8 22直線與圓的位置關(guān)系9直線與雙曲線，求焦距的最小值19直線、橢圓、拋物線(1)求橢圓離心率;(2)求橢圓與拋物線方程___________理科5 22同文科8 8同文科9 19同文科(1)同文科;(2)求橢圓與拋物線方程___________________舊課標(biāo)Ⅲ卷文科6 32與平面向量結(jié)合的軌跡問(wèn)題7直線與拋物線，求拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)8求點(diǎn)到過(guò)定點(diǎn)的直線的距離最小值14雙曲線、漸近線，求離心率21直線與橢圓(1)求橢圓方程;(2)求三角形面積_________________________理科5 27同文科7 10直線與拋物線、圓同時(shí)相切，求切線方程11雙曲線，求實(shí)半軸長(zhǎng)20同文科21_______________________________新課標(biāo)Ⅰ卷—9*22圓錐曲線的類型判斷(多選題)13直線與拋物線相交，求弦長(zhǎng)22橢圓(1)求方程;(2)證明存在定點(diǎn)，線段定長(zhǎng)新課標(biāo)Ⅱ卷—9*22同新課標(biāo)Ⅰ卷9 13同新課標(biāo)Ⅰ卷13 21橢圓(1)求方程;(2)求三角形面積的最大值__

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅲ卷理科第10 題)若直線l與曲線都相切，則l的方程為

分析本題主要考查利于導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)求解直線與圓、直線與拋物線的公切線問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等.

題目2(新課標(biāo)Ⅰ卷第9 題，Ⅱ卷第10 題(多選題))已知曲線C:mx2+ny2=1.

A.若m ＞n ＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若m=n ＞0，則C是圓，其半徑為

C.若mn ＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為

D.若m=0，n ＞0，則C是兩條直線

分析本題主要考查曲線與方程的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)與幾何意義等，由于是多選題，需要對(duì)每個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證并加以判斷，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合思想等.

題目3(舊課標(biāo)Ⅱ卷理科第19 題)已知橢圓C1:的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且

(1)求C1的離心率;

(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析本題主要考查直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合思想等.第(1)問(wèn)分別求出|AB|、|CD|，利用可得出關(guān)于a、c的齊次等式，即可求得橢圓C1的離心率;第(2)問(wèn)關(guān)鍵利用拋物線的定義表示|MF|=5，再根據(jù)第(1)問(wèn)的結(jié)果分別求出C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

題目4(新課標(biāo)Ⅰ卷第22 題)已知橢圓C:1(a ＞b ＞0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)A(2,1).

(1)求C的方程:

(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明: 存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值.

分析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題和平面幾何知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想.第(1)問(wèn)利用橢圓的離心率定義與解方程組等知識(shí)求解;第(2)問(wèn)先需要判斷出直線MN過(guò)定點(diǎn)P，在RtΔADP中利用平面幾何的知識(shí)(直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半)，即可找到定點(diǎn)Q(即AP的中點(diǎn)).

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①解析幾何包括直線、圓錐曲線等內(nèi)容.平面解析幾何側(cè)重于形象思維、推理運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合，綜合了代數(shù)、三角、幾何、向量等知識(shí)，所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)解題能力考查的層次要求較高.基于“多考一點(diǎn)思維，少考一點(diǎn)運(yùn)算”的命題理念，近幾年全國(guó)課標(biāo)卷在解析幾何解答題中加大了思維能力的考查，減少了對(duì)復(fù)雜運(yùn)算的考查.高考中解析幾何題一般為2-3 道小題，1 道大題，小題主要考查圓錐曲線中的基本概念與性質(zhì)，大題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，側(cè)重考查定點(diǎn)定值問(wèn)題與取值范圍問(wèn)題等.

②新課標(biāo)在解析幾何的教學(xué)要求上略微作了調(diào)整，新課標(biāo)刪去了舊課標(biāo)理科中的“曲線與方程”，將舊課標(biāo)的“解析幾何初步”與“圓錐曲線”整合為新課標(biāo)的“平面解析幾何”，這樣把原本分割的知識(shí)放在一起教學(xué).

13 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)_____________舊課標(biāo)Ⅰ卷文科8 22指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，換底公式15求對(duì)數(shù)函數(shù)的切線方程20指數(shù)與一次函數(shù)組合(1)討論單調(diào)性;(2)有兩個(gè)零點(diǎn)下求參數(shù)范圍__________理科6 22求四次函數(shù)的切線方程12指數(shù)與對(duì)數(shù)組合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用21指數(shù)與而次函數(shù)組合(1)討論單調(diào)性;(2)不等關(guān)系下求參數(shù)范圍____________舊課標(biāo)Ⅱ卷文科10 22冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性12復(fù)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，對(duì)數(shù)運(yùn)算21對(duì)數(shù)函數(shù)(1)不等關(guān)系求參數(shù)范圍;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性________________理科9 22對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性11同文科12 21三角函數(shù)組合(1)討論單調(diào)性;(2)利用均值不等式證明不等關(guān)系;(3)利用(2)的結(jié)論證明不等關(guān)系_________________舊課標(biāo)Ⅲ卷文科4 27新冠肺炎的函數(shù)模型，求值10函數(shù)值的大小比較15函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算20含參三次函數(shù)(1)討論單調(diào)性;(2)有三個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍________理科4 22同文科4 12函數(shù)值的大小比較21三次函數(shù)(1)求值;(2)證明零點(diǎn)范圍___新課標(biāo)Ⅰ卷—6 32新冠肺炎的指數(shù)函數(shù)模型，相關(guān)運(yùn)算8利用抽象函數(shù)的性質(zhì)解不等式11*條件不等式的關(guān)系(多選題)12*隨機(jī)變量，新定義(信息熵)(多選題)21指數(shù)、對(duì)數(shù)組合函數(shù)(1)求切線、圍成三角形面積;(2)不等關(guān)系下求參數(shù)的取值范圍_____________________________新課標(biāo)Ⅱ卷—7*27對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題8同新課標(biāo)Ⅰ卷8 12*同新課標(biāo)Ⅰ卷11 22同新課標(biāo)Ⅰ卷21_____________________

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅰ卷理科第12 題)若2a+log2a=4b+2log4b，則

A.a ＞2bB.a ＜2bC.a ＞b2D.a ＜b2

分析本題主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的混合運(yùn)算，需要通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

題目2(新課標(biāo)Ⅰ卷第12 題(多選題))信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1，2，···，n，且P(X=i)=pi ＞0，(i=1,2,··· ,n)，定義X的信息熵

A.若n=1，則H(X)=0

B.若n=2，則H(X)隨著p1的增大而增大

D.若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,··· ,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j，(j=1,2,··· ,m)，則H(X)≤H(Y)

分析本題主要考查對(duì)新定義“信息熵”的理解和運(yùn)用，側(cè)重考查函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，由于是多選題，需要對(duì)每個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證并加以判斷，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

題目3(舊課標(biāo)Ⅰ卷文科第20 題)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).

(1)當(dāng)a=1 時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，以及等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想.第(1)問(wèn)是在a=1 時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，屬于常規(guī)問(wèn)題;第(2)問(wèn)是在f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)的條件下，求參數(shù)的取值范圍，雖然“分類討論”，“分離參數(shù)”或“分離函數(shù)”等思路是屬于通性通法的解答，但每種解法都有難以逾越的障礙，需要較強(qiáng)的解題智慧.

題目4(新課標(biāo)Ⅰ卷第21 題，Ⅱ卷第22 題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)有曲線的切線、不等式恒成立等，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，以及等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想.第(1)問(wèn)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再求出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出三角形面積，屬于常規(guī)問(wèn)題;第(2)問(wèn)是在不等式成立的條件下，求參數(shù)的取值范圍，由于參數(shù)不能分離，所以只好通過(guò)求函數(shù)f(x)的最小值的方法來(lái)解決，由于本題的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)組合的函數(shù)，所以適當(dāng)放縮可能是一種不錯(cuò)的選擇，當(dāng)然放縮的尺寸把握是難點(diǎn).

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí)，是高考考查的重中之重，涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題已成為經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)，常考常新.考題既有選擇題和填空題，又有解答題，難度既有容易題、中檔題，也有壓軸的難題.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一般為2-3 道小題(2020年新課標(biāo)卷考了4 道小題，其中2 道多選題)，1 道大題，小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)值(分段函數(shù))的計(jì)算，導(dǎo)數(shù)的基本概念等;大題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等)，且常與不等式等知識(shí)融合在一起，思維要求較高.

②新舊課標(biāo)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的教學(xué)要求上作了一定的調(diào)整，舊課標(biāo)文理科在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的要求不同，文科沒有定積分等內(nèi)容; 新課標(biāo)在舊課標(biāo)理科要求的基礎(chǔ)上，刪去了“映射”“生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例”“定積分的概念”“微積分基本定理”和“定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用”等，增加了“函數(shù)概念的形成與發(fā)展”“對(duì)數(shù)概念的形成和發(fā)展”等.

14 極坐標(biāo)與參數(shù)方程

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)_________舊課標(biāo)Ⅰ卷文理科22 10參數(shù)與極坐標(biāo)方程(1)化直角_________________________________________________________________________________________坐標(biāo)方程;(2)求交點(diǎn)坐標(biāo)舊課標(biāo)Ⅱ卷文理科22 10兩參數(shù)方程(1)化為普通方程;___________________________________________________________________________________________(2)求圓的極坐標(biāo)方程舊課標(biāo)Ⅲ卷文理科22 10直線參數(shù)方程(1)求兩點(diǎn)距離;__________________________________________________________________________________________(2)求直線的極坐標(biāo)方程

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅰ卷文理科第22 題)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4ρcosθ-16ρsⅰnθ+3=0.

(1)當(dāng)k=1 時(shí)，C1是什么曲線?

(2)當(dāng)k=4 時(shí)，求C1與C2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo).

分析本題主要考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想.第(1)問(wèn)只要運(yùn)用sⅰn2x+cos2x=1 即可將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，屬于送分題;第(2)問(wèn)要求將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo).

題目2(舊課標(biāo)Ⅱ卷文理科第22 題)已知曲線C1，C2的參數(shù)方程分別為C1:(t為參數(shù)) ，(t為參數(shù)).

(1)將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程;

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)C1，C2的交點(diǎn)為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.

分析本題主要考查參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想.第(1)問(wèn)中將兩個(gè)參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程都不算難，但要注意x，y的范圍限制;第(2)問(wèn)是求已知圓心的動(dòng)態(tài)位置且經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的圓的方程，只要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)題意，難度也不是太大.

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①極坐標(biāo)與參數(shù)方程包括極坐標(biāo)和參數(shù)方程的基本概念，曲線的多種表現(xiàn)形式.極坐標(biāo)與參數(shù)方程是兩道“選考題”中的第一題，且文理試題相同，每年的試題都是2 個(gè)小問(wèn)(每問(wèn)各5 分)，主要考查直線與圓錐曲線的參數(shù)方程形式，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查數(shù)形結(jié)合的思想、坐標(biāo)系思想和參數(shù)方程思想，主要考查參數(shù)方程，當(dāng)涉及到極坐標(biāo)問(wèn)題時(shí)，則主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.

②新課標(biāo)刪去了“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的選考內(nèi)容.

15 不等式選講

(1)考點(diǎn)考查概況

卷類科類題號(hào)分?jǐn)?shù)涉及知識(shí)點(diǎn)舊課標(biāo)Ⅰ卷文理科23 10絕對(duì)值函數(shù)(1)畫圖像;_____________________________________________________________________________________________(2)求不等式解集舊課標(biāo)Ⅱ卷文理科23 10含參絕對(duì)值函數(shù)(1)解不等式;__________________________________________________________________________________________(2)不等關(guān)系求參數(shù)范圍舊課標(biāo)Ⅲ卷文理科23 10等式條件(1)證明不等關(guān)系;____________________________________________________________________________________________(2)證明最大值關(guān)系

(2)試題考查分析

題目1(舊課標(biāo)Ⅰ卷文理科第23 題)已知函數(shù)f(x)=|3x+1|+2|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖象;

(2)求不等式f(x)＞f(x+1)的解集.

分析本題主要考查絕對(duì)值函數(shù)圖像的畫法和絕對(duì)值不等式的解法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想.第(1)問(wèn)利用分界點(diǎn)分段得到分段函數(shù)，再分段畫圖;第(2)問(wèn)利用(1)中f(x)的圖像向左平移1 個(gè)單位得到f(x+1)的圖像，比較兩個(gè)圖像中符合條件的解集，也可利用分段函數(shù)討論來(lái)求解.

題目2(舊課標(biāo)Ⅲ卷文理科第23 題)設(shè)a，b，c ∈R，a+b+c=0，abc=1.

(1)證明:ab+bc+ca ＜0;

(2) 用max{a,b,c}表 示a，b，c的最大值，證明:

分析本題主要考查條件不等式的證明，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想.第(1)問(wèn)利用(a+b+c)2=0 即可證得結(jié)論;第(2)問(wèn)根據(jù)條件的輪換對(duì)稱性和已知條件，可以假設(shè)，利用反證法證明.

(3)考點(diǎn)考查說(shuō)明

①不等式選講主要是理解絕對(duì)值的幾何意義，重點(diǎn)掌握含絕對(duì)值不等式的應(yīng)用、解含絕對(duì)值的不等式.不等式選講是兩道“選考題”中的第二題，且文理試題相同，每年的試題都是2 個(gè)小問(wèn)，主要以含絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題為背景，具體考查絕對(duì)值不等式的解法和求參數(shù)的取值范圍等，偶爾考查重要不等式的應(yīng)用與證明.

②新課標(biāo)刪去了“不等式選講”的選考內(nèi)容.

以上對(duì)2020年全國(guó)高考數(shù)學(xué)新舊課標(biāo)卷的命題特點(diǎn)與試題作了簡(jiǎn)單的分析，對(duì)試題詳細(xì)的精彩分析見本期其他作者的文章.