廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 程生根

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)實(shí)施，作為高考數(shù)學(xué)的新貴，高考試題中的統(tǒng)計(jì)概率試題越來越受到關(guān)注.2020年全國卷共有全國Ⅰ、ⅠⅠ、ⅠⅠⅠ文理卷及新高考Ⅰ、ⅠⅠ卷共8 份試題，涉及統(tǒng)計(jì)概率內(nèi)容的試題共有12 題，除全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)試卷(2小1 大)外，其余都是設(shè)置為1 小1 大，具體分布如下表:

題號分 值背景考點(diǎn)分布難 度全國Ⅰ卷文4 5正方形古典概型的計(jì)算易文理5 5發(fā)芽率與溫度關(guān)系散點(diǎn)圖，回歸模型易文17 12復(fù)工復(fù)產(chǎn)，_____________________________________________________產(chǎn)品加工樣本估計(jì)總體(頻率估計(jì)概率，樣本均值估計(jì)總體均值)_________中理19 12體育比賽相互獨(dú)立事件的概率積，互斥事件的概率和難全國ⅠⅠ卷理3 文4 5疫情中物質(zhì)配送概率的意義，估算中文理18 12沙漠治理與野生動(dòng)物保護(hù)樣本估計(jì)總體，相關(guān)系數(shù)，抽樣方法中全國ⅠⅠⅠ卷文3 5直接呈現(xiàn)樣本均值與方差易理3 5直接呈現(xiàn)期望與方差中文理18 12空氣質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)健康數(shù)據(jù)整理、樣本估計(jì)總體(概率估計(jì)，均值估計(jì))，獨(dú)立性實(shí)驗(yàn)中新高考5(山東)5體育運(yùn)動(dòng)和事件的概率公式易9(海南)5復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)圖表信息(多選題)中19 12環(huán)境保護(hù)數(shù)據(jù)整理、樣本估計(jì)總體(概率估計(jì)，均值估計(jì))，獨(dú)立性實(shí)驗(yàn)______中

一、試題特點(diǎn)

1.堅(jiān)持立德樹人，倡導(dǎo)“五育”并舉

試題關(guān)注數(shù)學(xué)文化育人的價(jià)值，發(fā)揮高考試題在深化中學(xué)課程改革上的引導(dǎo)作用.考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的概率和統(tǒng)計(jì)知識對現(xiàn)實(shí)社會中實(shí)際數(shù)據(jù)的分析處理能力，背景豐富，涉及運(yùn)動(dòng)健康、科學(xué)防疫、環(huán)境保護(hù)、改革成果、復(fù)工復(fù)產(chǎn)等，較好地落實(shí)了“五育”并舉.

2.注重基本技能，回歸經(jīng)典核心

試題容量、題型穩(wěn)定，難度降低，刪繁就簡，減少閱讀量，減輕了考生審題負(fù)擔(dān)，運(yùn)算溫和，有利于考生保持心態(tài)、正常發(fā)揮.試題設(shè)置起點(diǎn)低，入口寬，問題描述及設(shè)問都比較直接，背景公平，重點(diǎn)考查統(tǒng)計(jì)概率模塊的應(yīng)知應(yīng)會知識.

3.聚焦關(guān)鍵能力，結(jié)構(gòu)簡潔清爽

(1)試題內(nèi)容純粹，回歸到統(tǒng)計(jì)概率本身的思考體系解決問題，淡化了形式上的交匯(沒有與函數(shù)、數(shù)列、不等式等內(nèi)容交匯的試題)，強(qiáng)化了思維方式上的交匯(邏輯思維能力);(2)加強(qiáng)了數(shù)據(jù)提取能力的考查，比如全國ⅠⅠⅠ卷文理科第18 題與新高考(山東海南卷)第19 題，考生需從材料中給出的數(shù)據(jù)中，依分類變量自覺整理出后續(xù)計(jì)算的相關(guān)數(shù)據(jù)，落實(shí)統(tǒng)計(jì)模塊的關(guān)鍵能力;(3)加強(qiáng)了思維品質(zhì)的考查，減少了運(yùn)算技巧的考查.比如全國Ⅰ卷理科第19 題，實(shí)現(xiàn)了多考怎么想，少考怎么算的命題意圖，這也是新課標(biāo)積極倡導(dǎo)的，未來的高考試題中必會有更多的體現(xiàn).

4.堅(jiān)持靈活設(shè)問，引領(lǐng)課改風(fēng)向

今年仍有試題延續(xù)了開放式設(shè)問的嘗試，鼓勵(lì)考生創(chuàng)造性地解答問題.比如全國ⅠⅠ卷文理科第18 題第(2)問，需考生結(jié)合背景及統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，給出更合理的抽樣方法的建議，答案不唯一，既可是分層抽樣，也可是系統(tǒng)抽樣，關(guān)鍵是要關(guān)注到植被面積與野生動(dòng)物數(shù)量間的相關(guān)關(guān)系;重視利用基本統(tǒng)計(jì)原理為科學(xué)決策提供依據(jù)，比如全國Ⅰ卷文科第17 題第(2)問，利用樣本均值來選擇更合適的加工企業(yè)承接業(yè)務(wù)等，這些試題緊貼新課標(biāo)理念，是高考命題的趨勢.

二、試題賞析

1.統(tǒng)計(jì)圖表

題1 (2020年高考新高考(海南)第9 題)(多選)我國新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化，各地有序推進(jìn)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11 天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)折線圖，則( )

A.這11 天復(fù)工指數(shù)和復(fù)產(chǎn)指數(shù)均逐日增加

B.這11 天期間，復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

C.第3 天和第11 天復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)均增大且都超過80%

D.第9 天至第11 天復(fù)產(chǎn)指數(shù)的增量大于復(fù)工指數(shù)的增量

解析答案為C 和D.復(fù)工復(fù)產(chǎn)指數(shù)都存在減少的情況，故A 不正確;這11 天期間，總體增量與單日增量都存在復(fù)產(chǎn)指數(shù)小于復(fù)工指數(shù)的情形，故B 不正確;可過80%刻度畫一條水平線，第3 日與第11 日指數(shù)均在線上方且增大，故C 正確;第9 天復(fù)產(chǎn)指數(shù)小于復(fù)工指數(shù)，且第11 天兩指數(shù)相等，故D 正確.

賞析統(tǒng)計(jì)圖表的閱讀理解是現(xiàn)代公民的基本素養(yǎng)之一.試題的實(shí)際背景為疫情常態(tài)化后的復(fù)工復(fù)產(chǎn)，體現(xiàn)我國科學(xué)抗疫的信心與成果.考查學(xué)生對統(tǒng)計(jì)圖表中的折線圖中的信息處理能力，由于統(tǒng)計(jì)圖信息豐富，是高考新題型(多選題)命制的理想素材.多選題的規(guī)則為部分選對可得3 分，有錯(cuò)項(xiàng)得0 分，建議不選無把握的選項(xiàng)，提高得分期望.

2.樣本均值與方差

題 目2(2020高考全國ⅠⅠⅠ卷文科第3題) 設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,··· ,xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1,10x2,··· ,10xn的方差為

A.0.01 B.0.1 C.1 D.10

解析直接使用方差關(guān)系公式計(jì)算，若數(shù)據(jù)x1,x2,··· ,xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1,ax2,··· ,axn的方差為a2×s2，故所求數(shù)據(jù)的方差為102×0.01=1，故選C.

賞析本題考查數(shù)據(jù)的倍乘與方差的關(guān)系，數(shù)據(jù)直接呈現(xiàn)，直擊應(yīng)知應(yīng)會知識，減少了學(xué)生的審題負(fù)擔(dān).

3.統(tǒng)計(jì)推斷與決策

題目3(2020年高考全國Ⅰ卷文科第17 題)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位: 件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D 四個(gè)等級.加工業(yè)務(wù)約定: 對于A 級品、B 級品、C 級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90 元，50 元，20 元; 對于D 級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50 元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25 元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20 元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100 件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級，整理如下:

甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A 級品的概率;

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100 件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?

解析(1) 甲分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為A 等品的頻率為估計(jì)甲分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為A 等品的概率為0.4;乙分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為A 等品的頻率為估計(jì)甲分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為A 等品的概率為0.28.

(2)方法一.設(shè)甲、乙兩分廠生產(chǎn)的100 件產(chǎn)品的平均利潤分別為則

因?yàn)?500＞1000，故應(yīng)選擇甲分廠承接此加工業(yè)務(wù).

方法二.設(shè)甲、乙兩分廠生產(chǎn)的1 件產(chǎn)品的平均加工費(fèi)分別為則

則甲分廠生產(chǎn)的1 件產(chǎn)品的平均利潤為40-25=15 元;

則乙分廠生產(chǎn)的1 件產(chǎn)品的平均利潤為30-20=10 元;因?yàn)?5＞10，故應(yīng)選擇甲分廠承接此加工業(yè)務(wù).

賞析本題考查樣本估計(jì)總體(頻率估計(jì)概率，樣本均值估計(jì)總體均值)及用均值決策.背景為疫情防控常態(tài)化后的有序復(fù)工復(fù)產(chǎn)，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識科學(xué)決策，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，作為統(tǒng)計(jì)概率基本素養(yǎng)之一，科學(xué)決策是近幾年的高頻考點(diǎn).(筆者認(rèn)為本題存在理解上的歧義，“100 件產(chǎn)品的平均利潤”，是指“100 件產(chǎn)品總利潤平均值”，還是指“100 件產(chǎn)品中的每一件產(chǎn)品的利潤平均值”)

4.回歸分析

題目4(2020 高考全國Ⅰ卷文理科第5 題)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:?C)的關(guān)系，在20 個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,··· ,20)得到下面的散點(diǎn)圖:

由此散點(diǎn)圖，在10?C至40?C之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析根據(jù)散點(diǎn)圖趨勢分析，與對數(shù)型曲線比較切合，故選D.

賞析本題背景貼近生活，取材于學(xué)生實(shí)驗(yàn)，體現(xiàn)勞動(dòng)教育.知識上考查回歸分析中的散點(diǎn)圖的意義及基本初等函數(shù)增長模式的理解，不涉及任何計(jì)算，減少了考生的運(yùn)算負(fù)擔(dān)，突出了回歸分析中的感性認(rèn)知.

題目5(2020年高考全國ⅠⅠ卷文理科第18 題) 某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200 個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20 個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,··· ,20)，其 中xi和yi分別表示 第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位: 公頃) 和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得

(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));

(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,··· ,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附相關(guān)系數(shù)

解析(1)由己知得樣本平均數(shù)從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60×200=12000.

(2)樣本(xi,yi)(i=1,2,··· ,20)的相關(guān)系數(shù)

(3)答案一.宜采用分層抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200 個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣.理由如下: 由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).

答案二.宜采用系統(tǒng)抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對200 個(gè)地塊排序編號1,2,··· ,200，先用簡單隨機(jī)抽樣方法在1-10 號中抽出一個(gè)號，然后每隔10 個(gè)號取一個(gè)，組成容量為20 的樣本.理由如下: 由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用系統(tǒng)抽樣的方法較好地兼顧了不同的植物覆蓋面積的類別，保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).

賞析本題取材為植被面積與野生動(dòng)物數(shù)量的關(guān)系，展示環(huán)境保護(hù)的成果.考查樣本估計(jì)總體、相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)意義及抽樣方法的理解.第(3)問采用開放式設(shè)問，答案不唯一，不同的抽樣方法選擇理由都應(yīng)力扣同一關(guān)鍵信息: 動(dòng)物數(shù)量與面積的相關(guān)性，考查相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義的理解，也體現(xiàn)了個(gè)性與共性的統(tǒng)一.

5.獨(dú)立性檢驗(yàn)

題目6(2020年高考全國ⅠⅠⅠ卷文理科第18 題)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100 天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位: 天):

空氣質(zhì)量等級鍛煉人次[0,200](200,400](400,600]1(優(yōu))2 16 25____2(良)5 10 12____3(輕度污染)6 7 8_____4(中度污染)7 2 0_____

(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4 的概率;

(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);

(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1 或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級為3 或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2 列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?

人次≤400人次＞400_空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好

P(K2 ≥k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828

解析(1)用Ai表示事件該市一天的空氣質(zhì)量等級為i,(i=1,2,3,4)，則P(A1)≈f(A1)==0.43;P(A2)≈f(A2)==0.27;P(A3)≈f(A3)==0.21;P(A4)≈f(A4)==0.09.

(2)將數(shù)據(jù)整理如下表:

頻數(shù)與頻率鍛煉人次[0,200](200,400](400,600]頻數(shù)20 35 45____頻率0.2 0.35 0.45____

則日平均參加鍛煉人數(shù)為: 100×0.2+300×0.35+500×0.45=350(人).

(3)2×2 列聯(lián)表為

人次≤400人次＞400_空氣質(zhì)量好33 37_____空氣質(zhì)量不好22 8______

假設(shè)到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量無關(guān)，則可算得，

K2=≈5.820＞3.841，故有95% 的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

題目7(2020年新高考(山東/海南卷)第19 題)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100 天空氣中的PM2.5 和SO2濃度(單位:μg/m3)，得下表:

PM2.5 SO2[0,50](50,150](150,475][0,35]32 18 4_____(35,75]6 8 12____(75,115]3 7 10____

(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5 濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率;

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2 列聯(lián)表:

_PM2.__________________________5 SO2[0,150](150,475][0,75](75,115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5 濃度與SO2濃度有關(guān)?

解析(1) 用A 表示事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”，則100 天中，事件A 發(fā)生的頻率f(A)==0.64，則P(A)≈f(A)=0.64;

(2)2×2 列聯(lián)表為:

PM2.5 SO2[0,150](150,475][0,75]64 16____(75,115]10 10____

(3)假設(shè)該市一天空氣中PM2.5 濃度與SO2濃度無關(guān)，則可算得，K2=≈7.484＞6.635，故有99% 的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5 濃度與SO2濃度有關(guān).

賞析題目6 與題目7 實(shí)為姊妹題，背景略有不同，題目6 比題目7 多設(shè)置了一個(gè)考點(diǎn)(樣本均值的估計(jì));共同的考點(diǎn)是頻率估計(jì)概率及獨(dú)立性檢驗(yàn).兩題考查的關(guān)鍵能力一致，即學(xué)生整理和分析數(shù)據(jù)的能力，都需對材料中的數(shù)據(jù)進(jìn)行提取與加工，也是未來高考的命題熱點(diǎn)之一.

6 概率的意義與古典概型

題目8(2020年高考全國ⅠⅠ卷理科第3 題(文科第4 題))在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200 份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500 份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600 份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50 份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者

A.10 名 B.18 名 C.24 名 D.32 名

解析因第2 天新訂單數(shù)不大于1600 的概率為1-0.05=0.95，所以第2 天招募的志愿者需完成訂單1600+500-1200=900 份，大約需志愿者900÷50=18人，故選B.

賞析本題的實(shí)際背景是疫情期間的物質(zhì)配送與志愿者服務(wù)，倡導(dǎo)無私奉獻(xiàn)，共克時(shí)艱.數(shù)學(xué)背景是概率的意義，合理估算，達(dá)到優(yōu)化資源配置目的.既然是估算題，筆者認(rèn)為設(shè)問“至少需要志愿者”改為“建議招募志愿者”更為合理.

題目9(2020年新高考(山東)第5 題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是( )

A.62% B.56% C.46% D.42%

解析方法一.假設(shè)共有100 個(gè)學(xué)生，則有96 個(gè)學(xué)生喜歡足球或游泳，60 個(gè)學(xué)生喜歡足球，82 個(gè)學(xué)生喜歡游泳，由集合知識知card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)，計(jì)算得有46 個(gè)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳，故既喜歡足球又喜歡游泳人學(xué)生比例為46%，故選C.

方法二.類比集合中并集元素個(gè)數(shù)計(jì)算公式，可得和事件的概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，則有P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=60%+82%-96%=46%，故選C.

賞析本題實(shí)際背景為體育運(yùn)動(dòng)，在考查概率知識的同時(shí)兼顧體育與健康，數(shù)學(xué)背景是和事件(非互斥關(guān)系)的概率加法公式，揭示了概率事件與集合的關(guān)系.

題目10 (2020年高考全國Ⅰ卷文科第4 題)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任選3 點(diǎn)，則取到三點(diǎn)共線的概率為

解析5 點(diǎn)中選擇3 點(diǎn)不同組合共有10 種:ABC、ABD、ABO、ACD、ACO、ADO、BCD、BCO、BDO、OCD，其中3 點(diǎn)共線有2 種:ACO、BDO，故三點(diǎn)共線的概率為，故選A.

賞析本題以幾何基本圖形正方形為載體，考查古典概型的概率計(jì)算，可列舉出所有的基本事件，再從數(shù)出滿足條件的基本事件個(gè)數(shù).未來高考不分文理卷，此類試題將會涉及排列組合公式的簡單應(yīng)用.

7.離散型隨機(jī)變量分布列的期望與方差

題目11(2020年高考全國ⅠⅠⅠ卷理科第3 題) 在一組樣本數(shù)據(jù)中，1,2,3,4 出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是

A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1

C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2

解析方法一.注意到概率對稱p1=p4,p2=p3，取值1,2,3,4 等差，故“偏離”抵消，均值即為算術(shù)均值2.5，再由標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計(jì)意義，感知B 組分布與期望值2.5 的偏離程度大，故B 組分布的標(biāo)準(zhǔn)差最大.

方法二.先建立四組分布列，分別直接計(jì)算A、B、C、D各組的期望，都是2.5，再計(jì)算A、B、C、D 各組的方差依次為:0.65、1.85、1.05、1.45.故B 組標(biāo)準(zhǔn)差最大.

賞析數(shù)據(jù)直接呈現(xiàn)，減少了考生的閱讀負(fù)擔(dān)，直擊概念理解.本題考查隨機(jī)變量分布列的期望與方差的感知能力，命題意圖是期望與方差的直觀理解.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的平衡與對稱美.

8.互斥事件與相互獨(dú)立事件

題目12(2020年高考全國Ⅰ卷理科第19 題)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下: 累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為

(1)求甲連勝四場的概率;

(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率;

(3)求丙最終獲勝的概率.

解析根據(jù)規(guī)則，3 場比賽至多會淘汰1 個(gè)隊(duì)，不可能結(jié)束比賽，至少比賽4 場(各負(fù)兩場的兩隊(duì)被淘汰，另一隊(duì)全勝勝出)，至多比賽5 場(各負(fù)兩場的兩隊(duì)淘汰，只負(fù)一場的隊(duì)勝出)，分別用Ai,Bi,Ci表示事件甲，乙，丙第i場比賽獲勝.i=1,2,3,4,5.

(1) 事件A1,A2,A3,A4相互獨(dú)立，每場比賽雙方獲勝的概率都為四連勝只會發(fā)生在前4場中，故有P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=

(2) 設(shè)用D表示事件“需要進(jìn)行第五場比賽”，考慮D的對立事件由規(guī)則知，僅比賽三場不會結(jié)束比賽，則為比賽四場結(jié)束比賽，即甲連勝四場(最終甲勝出)或乙連勝四場(最終乙勝出)或丙連勝三場(最終丙勝出)，即A1A2A3A4+B1B2B3B4+C2C3C4，根據(jù)事件的互斥性與獨(dú)立性知=P(A1A2A3A4+B1B2B3B4+C2C3C4)=則

(3) 用E表示事件“丙最終獲勝”，則根據(jù)規(guī)則，對于丙參加的比賽，要么丙全勝，要么丙僅負(fù)1 場，根據(jù)丙的負(fù)場情形，分為四類，即根據(jù)事件的互斥性與獨(dú)立性，有

賞析本題實(shí)際背景是體育競賽，倡導(dǎo)公平精神;數(shù)學(xué)背景是概率乘法公式及概率加法公式的應(yīng)用，需根據(jù)實(shí)際背景抽象出數(shù)學(xué)模型，屬于難題.重在考查學(xué)生的邏輯思維能力，對事件進(jìn)行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力，以及對概率的基礎(chǔ)知識特別是古典概率模型、事件的關(guān)系和運(yùn)算、事件獨(dú)立性等內(nèi)容的掌握.難點(diǎn)在于規(guī)則的解讀與重構(gòu)，因?yàn)槔塾?jì)負(fù)兩場則出局，最后勝出者至多輸一局，關(guān)注參賽者負(fù)的場數(shù)，可避免紛雜的分類.試題還對概率語言表達(dá)能力有較高的考查要求.較好達(dá)成了多考想、少考算、入口寬、多層次、高落差的設(shè)計(jì)意圖，區(qū)分度好.

三、教學(xué)啟示

高考試題歷來都是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考的風(fēng)向標(biāo).2020年的高考中的統(tǒng)計(jì)概率試題注重基礎(chǔ)，聚焦能力，回歸本原，受到一線教師的普遍歡迎，高考試題所釋放出的信號，指導(dǎo)著一線教師的教學(xué)與備考方向:

1.教學(xué)中應(yīng)講透必備知識及主線核心內(nèi)容.讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過程，養(yǎng)成對數(shù)據(jù)的提取加工的意識，學(xué)會讓數(shù)據(jù)說話;培養(yǎng)學(xué)生正確認(rèn)知生活中的隨機(jī)現(xiàn)象，強(qiáng)化概率模型的學(xué)習(xí)，體會用概率揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)概率的規(guī)律性與隨機(jī)性的統(tǒng)一.

2.教學(xué)中應(yīng)回歸統(tǒng)計(jì)概率本原.著眼數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)獨(dú)特的思維方式，傳授相關(guān)必備知識，不刻意追求與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)板塊的交匯.

3.教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀的指導(dǎo).高考中對數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的考查多以統(tǒng)計(jì)概率試題為載體，越來越重視對數(shù)學(xué)閱讀能力的考查.理解數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)閱讀的核心問題，建議加強(qiáng)三種類型的數(shù)學(xué)閱讀的指導(dǎo): 一是圖表類型;二是生活語言文字類型;三是復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系類型.

未來高考數(shù)學(xué)不分文理卷，而且逐步實(shí)現(xiàn)全國同卷，希望未來高考試題能夠延續(xù)2020年風(fēng)向，進(jìn)一步明確中學(xué)統(tǒng)計(jì)概率模塊的教學(xué)與備考要求，給一線教師一顆定心丸.