華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 陳俊陽(yáng)

一、引言

試題是數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的材料，也是訓(xùn)練、檢測(cè)學(xué)生的重要素材之一.但當(dāng)今部分教師對(duì)考試大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和高考的認(rèn)識(shí)和理解較多受經(jīng)驗(yàn)主義影響，對(duì)其缺乏系統(tǒng)性和整體性的認(rèn)識(shí).此外，由于一線教師日常教學(xué)任務(wù)繁重，從各類教輔資料或模擬卷中選取習(xí)題和考題的現(xiàn)象早已成教學(xué)常態(tài).而把握高考命題趨勢(shì)，挖掘試題背后的數(shù)學(xué)原理和命題策略，有助于教師命制高質(zhì)量的模擬題，發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng).

不少學(xué)者分析了近幾年高考中“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題的命題特點(diǎn)和命題視角，比如，文獻(xiàn)[1-3]，但少有學(xué)者剖析如何構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合高考趨勢(shì)命制導(dǎo)數(shù)題.下文將討論這一問(wèn)題.

二、構(gòu)造函數(shù)

在高考導(dǎo)數(shù)題中，常常出現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)可因式分解的情形，在討論單調(diào)性時(shí)不需過(guò)多地利用復(fù)雜的變形技巧，只需對(duì)每個(gè)因式進(jìn)行討論即可，這有利于考查學(xué)生對(duì)基本思想方法的掌握，同時(shí)也讓導(dǎo)函數(shù)具有“美感”.那么如何才能構(gòu)造出這樣的函數(shù)呢?

(一)理論基礎(chǔ)

定理如果函數(shù)f(x),g(x)具有相同的駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)，包含極值點(diǎn))x=x0，那么由它們線性運(yùn)算生成的函數(shù)F(x)=af(x)+bg(x)也有駐點(diǎn)x=x0.

證 明已知f′(x0)=g′(x0)=0，于是F′(x)=af′(x) +bg′(x)，從而F′(x0)=0，進(jìn) 而x=x0是函數(shù)F(x)=af(x)+bg(x)的駐點(diǎn).

推論如果函數(shù)f1(x),f2(x),··· ,fn(x) 具有相同的駐點(diǎn)x=x0，那么由它們線性運(yùn)算生成的函數(shù)F(x)=a1f1(x)+a2f2(x)+···+anfn(x)也有駐點(diǎn)x=x0.

由此可知，若要構(gòu)造出導(dǎo)函數(shù)具有“美感”的函數(shù)，可以對(duì)兩個(gè)(或以上)具有相同駐點(diǎn)的函數(shù)進(jìn)行線性運(yùn)算.因此，構(gòu)造這樣的函數(shù)需要熟悉一些特殊函數(shù)的駐點(diǎn)(見(jiàn)表1).其中實(shí)數(shù)m/=0,n ＞0,a ＞0,b ∈R.

表1 特殊函數(shù)的駐點(diǎn)

(二)高考實(shí)例

例1(2013年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=x2+4x+2，g(x)=(2x+2)ex.(2)若x≥-2 時(shí)，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

分析f(x)，g(x) 的駐點(diǎn)均為x=-2，于是F(x)=kg(x)- f(x) 的駐點(diǎn)也是x=-2.事實(shí)上，其導(dǎo)函數(shù)為F′(x)=2(x+2)(kex-1)，含因式x+2.

例2(2016年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2.

(1) 求a的取值范圍; (2) 證明x1+x2＜2.

分析f1(x)=(x-2)ex，f2(x)=(x-1)2的駐點(diǎn)均為x=1，于是f(x)=f1(x)+af2(x)的駐點(diǎn)也是x=1.事實(shí)上，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=(x-1)(ex+2a)含因式x-1.

抓住函數(shù)f(x)的特點(diǎn)后，結(jié)合表1，可對(duì)本題推廣:

推廣函數(shù)f(x)=(x-k-1)ex+a(x-k)2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2，常數(shù)k ∈R，實(shí)數(shù)a為參數(shù).(1)求a的取值范圍; (2)證明:x1+x2＜2k.(提示: (1)a ＞0; (2) 構(gòu)造F(x)=f(x)-f(2k-x).)

例3(2014年高考山東理科第21 題) 設(shè)函數(shù)f(x)=(1) 略; (2) 若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍.

分析的駐點(diǎn)均為x=2，于是f(x)=f1(x)-kf2(x)的駐點(diǎn)也是x=2.事實(shí)上，其導(dǎo)函數(shù)為含因式x-2.

抓住函數(shù)f(x) 的特點(diǎn)后，結(jié)合表1，可對(duì)本題推廣.設(shè)常數(shù)α ＞1.其導(dǎo)函數(shù)為由此原題可推廣為:

推廣若函數(shù)f(x)在(0,α)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍.

(三)總結(jié)

之所以部分高考導(dǎo)數(shù)題中導(dǎo)函數(shù)可以因式分解，是因?yàn)樵瘮?shù)是由若干個(gè)駐點(diǎn)相同的函數(shù)線性運(yùn)算得到的.認(rèn)清這類函數(shù)構(gòu)造的原理，對(duì)駐點(diǎn)一般化，保持導(dǎo)函數(shù)結(jié)構(gòu)的不變性，即可對(duì)這類高考題進(jìn)行推廣.

三、高考導(dǎo)數(shù)題命題視角

把函數(shù)構(gòu)造出來(lái)后，需要從不同的視角考查學(xué)生.下面主要以近10年高考全國(guó)Ⅰ卷理科導(dǎo)數(shù)解答題(以下不特別說(shuō)明均指全國(guó)Ⅰ卷理科題)為例，分析導(dǎo)數(shù)題的命題視角.

(一)切線問(wèn)題2011、2013、2014 和2015年均考查切線問(wèn)題.命題角度均為已知含參函數(shù)的切線，求參數(shù)的取值范圍.此外，此類題型還可以反向設(shè)問(wèn)，即已知函數(shù)求在某點(diǎn)的切線.這類問(wèn)題屬于簡(jiǎn)單題.

(二)單調(diào)性問(wèn)題2010、2012、2017 和2018年均考查了單調(diào)性問(wèn)題.命題角度有兩個(gè): 已知確定函數(shù)，求單調(diào)性(2010，2012);討論含參函數(shù)的單調(diào)性(2017，2018).

例4(2010年高考新課標(biāo)理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ex -1- x - ax2.(1) 若a=0，求f(x) 的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x≥0 時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍.

(三)恒成立問(wèn)題2010-2013年均考查了恒成立問(wèn)題.命題角度主要是已知函數(shù)恒成立求參數(shù)取值范圍或最值.其通性通法主要是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性從而研究恒成立問(wèn)題(如例4).

(四)不等式證明2014、2016、2018年均考查了不等式證明問(wèn)題.命題角度有兩個(gè): 證明一元不等式;證明二元不等式.其中，2014年(例5)考查了整體與部分的思想，將復(fù)雜函數(shù)整合成兩個(gè)常見(jiàn)函數(shù)并比較最值，較為新穎.2016年(例2)以極值點(diǎn)偏移為背景，研究?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)之和與極值點(diǎn)兩倍的不等關(guān)系.此外，2017年全國(guó)ⅠⅠⅠ卷理科第21 題考查了函數(shù)與數(shù)列不等式的問(wèn)題.

例5(2014年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數(shù)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)證明:f(x)＞1.

例6(2017年高考全國(guó)ⅠⅠⅠ卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值;(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)n，m，求m的最小值.

(五)零點(diǎn)問(wèn)題2015、2016、2017、2019年均考查了零點(diǎn)問(wèn)題.命題角度有兩個(gè): 已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍;討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).事實(shí)上，這兩個(gè)命題角度的本質(zhì)是相仿的.既可以求導(dǎo)結(jié)合單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理解決，又可以數(shù)形結(jié)合解決.

四、命題實(shí)踐

結(jié)合函數(shù)構(gòu)造的策略以及近十年全國(guó)卷理科導(dǎo)數(shù)解答題的命題視角，下文將例談如何命制具有“高考味道”的導(dǎo)數(shù)模擬題.

(一) 步驟1: 構(gòu)造函數(shù)為考查對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，考慮其導(dǎo)函數(shù)為駐點(diǎn)為x=1.再考慮一個(gè)駐點(diǎn)同為x=1 的函數(shù)f2(x)=(x-1)2，加入?yún)?shù)k并將它們線性運(yùn)算得其導(dǎo)函數(shù)為

(二)步驟2: 多視角命制模擬題

視角1: 單調(diào)性及恒成立問(wèn)題

由于恒成立問(wèn)題常常需要借助函數(shù)單調(diào)性來(lái)討論，因此考慮有梯度地進(jìn)行設(shè)問(wèn).

第一問(wèn)考查求已知函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題.令k=1 將含參函數(shù)轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)，降低題目難度，為第二問(wèn)的解答提供思路.

第二問(wèn)考查恒成立問(wèn)題.由f′(x) 知，當(dāng)k≥0 時(shí)f(x) ≥f(1)=1; 當(dāng)k ＜0 時(shí)，結(jié)合單調(diào)性可知f(x) ≥1不恒成立.還可以利用極限思想，k ＜0 時(shí)，當(dāng)x →+∞時(shí)，f(x)→-∞.由此可得類似2010年全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題(見(jiàn)例4)的模擬題:

模擬題1已知函數(shù)(1) 當(dāng)k=1 時(shí)，求函數(shù)f(x) 的單調(diào)性; (2) 當(dāng)x ＞0 時(shí)，f(x)≥1 恒成立，求k的取值范圍.

視角2:零點(diǎn)問(wèn)題及不等式證明

為命制類似2016年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題(見(jiàn)例2)的模擬題，第一問(wèn)考查零點(diǎn)問(wèn)題并求參數(shù)取值范圍，在此基礎(chǔ)上第二問(wèn)考查關(guān)于零點(diǎn)與極值點(diǎn)的不等式證明，即極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.命題時(shí)可以先結(jié)合圖象特征，再嚴(yán)格證明.

圖1

當(dāng)k≥0 時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，且最小值為f(1)=1.結(jié)合函數(shù)圖象知，a ＞1時(shí)，y=f(x) 與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)x1,x2，極值點(diǎn)左偏，x1+x2＞2.

第一問(wèn)通過(guò)討論單調(diào)性或分離參數(shù)即可解決;第二問(wèn)需構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(2-x).由此可得:

模擬題2已知函數(shù)關(guān)于x的方程f(x)=a有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解x1,x2.其中實(shí)數(shù)a為參數(shù).(1)求a的取值范圍;(2)證明:x1+x2＞2.

視角3: 函數(shù)不等式證明

2014年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題(見(jiàn)例5) 考查了整體和部分的思想，將指數(shù)和對(duì)數(shù)分離從而證明不等式.為命制類似題目，考慮f(x) 先減后增且最小值為f(1)=1，于是添加一個(gè)含對(duì)數(shù)的函數(shù)，并且是先增后減最大值不大于1，因此考慮，求導(dǎo)得g′(x)=于是g(x)在(-∞,n-a)上單調(diào)遞增，在(n-a,+∞)上單調(diào)遞減，最大值為g(n-a).下面提供兩個(gè)命題嘗試:

(1)令n=1，若讓g(x)max=g(1-a)=e1-a≤1，則可取a=1，于是得

(2) 令n=2，要讓g(x)max=g(2- a)=由于e1.5≈4.48＞4，故可取于 是 得g(x)=但此時(shí)需要給出一些數(shù)的近似值.再通過(guò)簡(jiǎn)單變形可得:

模擬題3已知函數(shù)(1) 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間; (2) (簡(jiǎn)單版) 證明: 當(dāng)x ＞0時(shí)，exf(x)＞x+1; 或(2) 證明: 當(dāng)x ＞0 時(shí)，exf(x)＞((參考數(shù)據(jù): e0.5≈1.65,e ≈2.72,e1.5≈4.48)

注記欲考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，還可設(shè)問(wèn): 證明: 當(dāng)x ＞0 時(shí)，函數(shù)y=exf(x) 的圖象恒在拋物線上方.

視角4: 數(shù)列不等式證明

2017年高考全國(guó)ⅠⅠⅠ卷理科第21 題(見(jiàn)例6)考查了函數(shù)與數(shù)列不等式問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題.其命題思路是第一問(wèn)可得不等式，為第二問(wèn)解決數(shù)列問(wèn)題提供工具.

k≥0 時(shí)，恒成立，令k=0 有，于是

模擬題4已知證明:f(x)≥1;(2) 證明: 對(duì)任意正整數(shù)n，不等式成立.

五、結(jié)語(yǔ)

以同一個(gè)函數(shù)為主體，切合高考命題視角，命制多道導(dǎo)數(shù)模擬題，覆蓋近10年高考導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)，有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)高考題考查的思想方法的掌握，讓學(xué)生體會(huì)到高考題萬(wàn)變不離其宗，換湯不換藥.換的是“函數(shù)”，不變的是基本思想方法.