吳偉蓮

【摘要】新課標指出：有效的數學教學活動不能單純地依賴模仿和記憶，“動手探索”是學生學習數學的一種重要方式，不斷形成解決數學問題的策略，有效培養(yǎng)學生實踐能力與創(chuàng)新精神.本文就如何引導學生在“動手探索”中尋找問題的解題規(guī)律，在“動腦領悟”中掌握數學的學習方法，逐步培養(yǎng)初中學生的“化歸意識”與“化歸思想”的主要方法和途徑等來談談自己的一些見解和具體做法。

【關鍵詞】 例談;幾何教學;化歸思想

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）30-060-02

一、初中幾何教學中“化歸思想”的內涵及意義

“數學化歸思想”就是把數學中待解決或未解決的幾何問題，采用恰當的方法進行變換、轉化，變成已經解決或比較易解決的問題，從而最終能夠解決原問題的一種數學解題思想.在通常情況下表現(xiàn)在：未知與已知之間的轉化;復雜問題與簡單問題之間的轉化;命題之間的轉化;數與形之間的轉化;空間與平面的轉化;高次向低次的轉化;多元向一元的轉化;無限向有限的轉化等等。

在初中幾何教學中，應當結合具體的教學內容，讓學生動手探索解題的途徑與方法，滲透數學“化歸思想”，老師不斷培養(yǎng)學生用這種“數學思想”來解決數學問題，從而讓學生體會和明白：初中幾何的學習與解題的規(guī)律性，是有“法”可依的。

二、初中幾何教學中“化歸思想”培養(yǎng)的主要手段

讓學生“動手探索”是培養(yǎng)化歸思想的主要手段。有的數學教學活動不能單純地依賴模仿與記憶，.新課標下的教材非常重視學生的活動，尤其對學生的探索能力的培養(yǎng)。新教材七年級已把實踐探索納入其中，例如：利用“粉筆盒”，讓學生親自動手探索圖形在“展開與折疊”過程中是怎樣變化的？讓學生去發(fā)現(xiàn)結果的來龍去脈和可靠性，預留學生活動的時間和探索的空間。

三、初中幾何教學中“化歸思想”培養(yǎng)的主要方法

（一）從“作適當的輔助線”的方法——培養(yǎng)學生“橫向化歸”的思想

添輔助線的“化歸思想”就是在對問題作細致觀察的基礎上，通過添加輔助線來展開聯(lián)想，以喚起對有關知識的回憶，開啟思維的大門，通過舊知識、舊經驗來處理新問題.“橫向化歸”就是通過對命題的有關量進行轉換，進行等價變換，通過同構變換等各種手段將很生疏、較復雜、比較困難的幾何問題化歸為我們最熟悉、較簡單、很容易的數學問題來解決。;;

例1： 探究“多邊形的內角和公式”

知識基礎：學生已經學過三角形的內角和

教學基本思路：把幾何中多邊形問題全部“化”為三邊形問題來解決。

設計問題：

問題1 ： 已學過的熟悉“正方形”、“長方形”的內角和是多少？學生答： 360° .

問題2： 四邊形的內角和也是360° 嗎？怎樣得到的，你能找到幾種方法？

問題3 ：通過“添加輔助線”而得到四邊形內角和，類似可求五邊形的內角和嗎？n邊形的內角和呢？

探究：學生動手操作，分組討論、交流，探究方法，并共同進行歸納總結.學生中尋覓出了下列幾種化歸的方法（添輔助線）：

法1：如圖（1）連結AD、AC，五邊形的內角和為：3×180°=540°;

法2：如圖（2）在CD 上任取一點M，連接AM、BM、EM，求得五邊形的內和為： 4×180°-180°=540°;

解題思路的共同點：是通過圖形分割，把五邊形問題化歸為熟悉的三角形問題來解決.再選擇當中的一種化歸的路徑，全部可以求出六邊形、七邊形等多邊形的內角和，從而推導出任意n邊形的內角和公式：180°（n-2）? （n≥3， n為整數）。

（二）? 從“立體”到“平面”的方法——培養(yǎng)學生“縱向化歸”的思想

“縱向化歸”思想就是把學生碰到的幾何新問題，通過“維降”等手段化為簡單、熟悉的數學問題來解決.類似很多問題在長方體、圓柱體、圓錐體的側面展開圖中有較為廣泛的應用.其基本的解題（化歸）思想是：立體問題平面化。

例2：? 如圖5，有一座山，大致呈圓錐，山底呈圓形，且半徑OB為6千米，山高OS為415 千米.在山坡SA 的中點C有一聯(lián)絡站，要從山底A修一條盤山路，繞著山坡轉一周將物資運到山坡AS的中點C，這條公路的最短路程為多少？;;;;;;;

對這個問題學生感到難以下手，可以要求學生制作簡單模型，觀察實驗，可引導學生畫出圖形，就能把這個問題轉化為在圖6 中求線段AC′的長。

（三）從“特殊”到“一般”的方法——培養(yǎng)學生的“同向化歸”的思想

“同向化歸”就是對新面臨的問題進行命題分割或分解，化為某個可簡捷處理的子問題來進行處理，而這種“化歸”在同一層次上是“平行”進行的。

例3 ：? 自主探究《圓心角、弧 和 弦三者之間的關系》？

設計問題：

（1）圓是中心對稱圖形嗎？它的對稱中心是什么？

（2）什么叫圓心角？什么叫弦心距？

（3）學生事先準備好的兩個等圓形紙片，并在兩個等圓中分別畫出兩個相等的圓心角。

問題探究：在⊙O中，當圓心角∠AOB=∠A'OB'時，它們所對的弧AB和A'B'，弦AB和A'B'，弦心距OM和O'M'是否也相等呢？ （動手制作，實驗探究，總結定理。）

（4）由探究得到的定理及結論是什么？（三個定理）

定理一：在同圓或等圓中，相等圓心角所對弧? 相等 ;，所對弦 也相等? 。

定理二：略（學生自己歸納完成）

定理三：略（學生自己歸納完成）

（5）在圓心角定理中，為什么強調“同圓或等圓”？可不可以刪掉？

設計意圖：調動學生學習的積極性，改變教師“填鴨式”教法，培養(yǎng)學生數學思維能力，在“實驗與化歸”中得到很好鍛煉，數學知識技能也在潛移默化中得到很大提高，從而掌握了行之有效的學習方法。

（四） 從“用反證法”或“畫反例圖”的方法——培養(yǎng)學生“逆向化歸”的思想

“逆向化歸”思想是在解決數學問題時，出現(xiàn)較難入手，就按照習慣，如反證、舉反例等采取正難則反的措施的數學思想。

例4：? 求證：過在同一條直線上三點不可以作出一個圓。

可引導反設：設過A、B、C 三點能作⊙Q ;;;;;;;;;;

設計問題：（教師提問，學生思考回答：）

問題1 ： 點Q 到A、B、C 三點的距離有什么關系？

問題2 ： 作線段AB、BC 的垂直平分線L1、L2，則L1、L2 的交點在何處？

解題思路：引導學生自己畫圖，因為三個點都在同一直線上，學生極易想到：過點Q有兩條直線垂直于同一直線，卻與所學的“垂線公理”相矛盾，從而假設不成立，而原命題成立.當然，通常為了說明命題不成立，還可以舉一個反例或畫反例圖來加以說明。

設計意圖：既訓練學生“逆向化歸”思想，又為幾何的證明開辟了新方法.事實證明，學習任何數學知識的最佳途徑：是讓學生大膽發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。

【結束語】

加強幾何“化歸思想”的教與學，對于學生落實雙基，培養(yǎng)學生的解題能力，鍛煉學生思維，培養(yǎng)數學素養(yǎng)具有非常重要的作用，同時，也是學生形成幾何認知結構的重要紐帶，對數學知識轉化為數學能力起到很好的橋梁作用。

【參考文獻】

[1]羅增儒，數學思想方法的教學[J].中學數學教研，2015.

[2]郭立昌，淺談加強數學思想方法教學的途徑[J].數學通報，2016.

[3]沈文選，進行數學思想方法教學應注意的問題[J].中學數學，2017.