宋百慶

◆摘 ?要：構(gòu)造法指在題解過(guò)程中通過(guò)構(gòu)造一個(gè)合適的中介來(lái)找到解決問(wèn)題的方法，它是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種基本方法，可以簡(jiǎn)化圓錐曲線問(wèn)題，降低解題難度?；诖耍疚木唧w分析了高中圓錐曲線解題過(guò)程中構(gòu)造法的運(yùn)用方法。

◆關(guān)鍵詞：圓錐曲線;構(gòu)造法;解題思路

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中的一種基本思想方法，指在題解過(guò)程中通過(guò)構(gòu)造一個(gè)合適的中介來(lái)找到解決問(wèn)題的方法。圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)，學(xué)生需要在解題過(guò)程中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，尋找更加高效的解題方法與解題思路。構(gòu)造法是圓錐曲線中常見(jiàn)的一種解題方式，甚至在解題過(guò)程中起到了十分關(guān)鍵的作用，下面我們將具體分析構(gòu)造法在高中圓錐曲線解題過(guò)程中的使用方法。

一、構(gòu)造命題

當(dāng)所需要解決的圓錐曲線問(wèn)題已知條件中并沒(méi)有給出明確的依據(jù)，需要學(xué)生自己通過(guò)推導(dǎo)或總結(jié)相關(guān)命題，從而解決問(wèn)題的構(gòu)造方法就叫做構(gòu)造命題法。構(gòu)造命題的正確性是構(gòu)造命題法在解決圓錐曲線中的最關(guān)鍵因素，需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中深入掌握相關(guān)命題。為了讓學(xué)生在構(gòu)造命題法的應(yīng)用中更加靈活，一方面教師要在圓錐曲線中融入大量構(gòu)造命題的案例分析，讓學(xué)生掌握解決圓錐曲線問(wèn)題的方法，獲得更多的思考與解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)。另一方面，教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生使用構(gòu)造命題解決問(wèn)題的意識(shí)，幫助他們養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

例1：設(shè)橢圓方程為[（x-2t）29+（y+t2）29=1]，試求其中心軌跡關(guān)于M（-1，1）對(duì)稱圖形軌跡方程式。

分析：在解決這道問(wèn)題時(shí)，我們就需要采用構(gòu)造命題法，首先要引用命題，從題目已知中可知方程f（x，y）關(guān)于點(diǎn)M（[x0，y0]）對(duì)稱曲線方程為[2x0-x，2y0-y=0]。設(shè)橢圓的中心為（x，y），根據(jù)題目的已知我們可知，x=2t，y=[t2]，將其帶入到方程中我們可得橢圓中心軌跡方程為f（x，y）=[x2+4y=0]，由此可得（-2-x）2+4（2-y）=0，因此其軌跡方程為（x+2）2=4（2-y）。該題目已知條件中并沒(méi)有明確告訴我們曲線方程中關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的方程式，此時(shí)采用構(gòu)造命題的方式可以快速幫助我們找到解題的關(guān)鍵，進(jìn)而獲得有效的解題思路。

二、構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)是高中階段學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在面對(duì)函數(shù)問(wèn)題時(shí)也不會(huì)陌生。在解決圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，我們可以充分利用函數(shù)的特點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式來(lái)解決最大值、最小值的問(wèn)題。因此，構(gòu)造函數(shù)也是構(gòu)造法在圓錐曲線中常見(jiàn)的應(yīng)用方法。幫助學(xué)生掌握構(gòu)造函數(shù)的方法需要教師注重日常教學(xué)中對(duì)圓錐曲線常用函數(shù)進(jìn)行詳細(xì)的講解，幫助學(xué)生掌握函數(shù)構(gòu)造的方法。[2]同時(shí)，還要加強(qiáng)對(duì)例題的講解，引導(dǎo)學(xué)生快速找到解決問(wèn)題的突破口。

例2：已知圓[C1：x2+（y-2）2=1]，直線l：y=-1，有一動(dòng)圓C與C1外切，且與直線l相切。

1.求動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程

2.直線l與軌跡M在第一象限相切，其切點(diǎn)為p，直線l的斜率為k，過(guò)點(diǎn)作直線l的垂線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，6），并與軌跡M相交于點(diǎn)Q（P與Q不重合），設(shè)S為[?POQ]（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積，求S值為多少。

分析：該例題的第一問(wèn)主要通過(guò)判斷圓C的位置來(lái)確定y+1>0，第二問(wèn)則利用了構(gòu)建導(dǎo)函數(shù)的方式來(lái)得出直線方程，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)。

三、構(gòu)造圖形

構(gòu)造圖形法是指在解決數(shù)學(xué)題目時(shí)通過(guò)題目已知條件來(lái)構(gòu)造出聯(lián)系已知和所求內(nèi)容的圖形來(lái)解決問(wèn)題的方法。構(gòu)造圖形法的使用對(duì)學(xué)生幾何思維水平要求較高，需要充分利用圖形的最直觀特點(diǎn)，融合邏輯思維與形象思維。

例3：已知[F1]、[F2]是橢圓上的兩個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上存在一點(diǎn)P使[∠F1PF2=90°]，求離心率e的范圍。

分析：解決該問(wèn)題我們可以采用兩種方法

通過(guò)對(duì)比這兩種解題方法我們可以看出，第一種方式就是我們所說(shuō)的構(gòu)造圖形的方法，這種方式從幾何的角度去進(jìn)行問(wèn)題的分析，與第二種方法相比大大降低了運(yùn)算量，省去了許多不需要進(jìn)行計(jì)算的步驟，更加適合與計(jì)算能力較差的學(xué)生，同時(shí)也可以提高學(xué)生在解題過(guò)程中的效率。

四、構(gòu)造方程

構(gòu)造方程實(shí)際上就是要通過(guò)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量關(guān)系來(lái)發(fā)掘出其中所包含的已知和位置因素，從而巧妙解決圓錐曲線問(wèn)題。[3]在使用構(gòu)造方程的方法時(shí)，我們需要對(duì)題目的已知進(jìn)行充分的分析，掌握已知條件中所給出的數(shù)量關(guān)系，然后在根據(jù)方程思想、方程根的定義等方程知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。

五、構(gòu)造不等式

不等式學(xué)習(xí)一直都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段中的重難點(diǎn)，其涉及的知識(shí)內(nèi)容較多，且解題過(guò)程相對(duì)來(lái)說(shuō)比較復(fù)雜。在圓錐曲線的問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)求取值范圍的案例，此時(shí)融入不等式的知識(shí)內(nèi)容將會(huì)起到事半功倍的效果。例5：已知橢圓C的方程為，O為原點(diǎn)。橢圓上存在一點(diǎn)B。若直線y=2上存在一點(diǎn)A，且OA垂直與OB，求橢圓C的離心率以及AB的最小值。

分析：這道例題共兩問(wèn)，第一問(wèn)橢圓C的離心率可以根據(jù)已知中的橢圓方程直接求得。因此本題的難點(diǎn)主要在第二問(wèn)上。因?yàn)轭}目已知中所給出的A點(diǎn)坐標(biāo)比較特別，且B點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，所以我們可以根據(jù)兩條直線之間的垂直關(guān)系來(lái)找到兩個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后在根據(jù)直線長(zhǎng)度坐標(biāo)計(jì)算方法進(jìn)行化解，構(gòu)造出不等式關(guān)系，通過(guò)求解不等式來(lái)求得AB之間的最小值。

六、結(jié)論

構(gòu)造法是解決圓錐曲線問(wèn)題時(shí)常用的一種方法，熟練掌握構(gòu)造法將對(duì)提高解題質(zhì)量與解題效率起到積極的作用。但同時(shí)，對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)想要真正的做到牢固掌握和靈活運(yùn)用并不容易。特別是圓錐曲線問(wèn)題本身難度就大，構(gòu)造法的應(yīng)用更是對(duì)高中生的一項(xiàng)挑戰(zhàn)。為了讓學(xué)生更好的掌握構(gòu)造法的使用方法，教師必須要加強(qiáng)對(duì)這一解題方法的重視程度，有意識(shí)的在學(xué)生解題過(guò)程中培養(yǎng)他們的解題能力。

參考文獻(xiàn)

[1]林春花.探討高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題中構(gòu)造法的應(yīng)用[J].黑河教育，2020（04）：24-26.

[2]王競(jìng).構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用方法[J].課程教育研究，2018（48）：146.

[3]洪云松.高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題中構(gòu)造法的使用[J].農(nóng)家參謀，2017（13）：160.