何東林， 樊 亮

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院， 甘肅 隴南 742500)

引 言

Gorenstein同調(diào)理論是相對(duì)同調(diào)代數(shù)的研究熱點(diǎn)之一，許多學(xué)者先后對(duì)其進(jìn)行了研究和推廣。特別地，Holm和J?rgensen[1]在交換Noether環(huán)上引入了C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein內(nèi)射模的概念，并研究了與其相關(guān)的投射模類。White[2]進(jìn)一步討論了一般交換環(huán)上的C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein內(nèi)射模，并稱之為GC-Gorenstein投射模和GC-Gorenstein內(nèi)射模。Gillespie[3]介紹了Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模。Ding-投射模與強(qiáng)Gorenstein平坦模[4]是一致的，而Ding-內(nèi)射模與Gorenstein FP-內(nèi)射模是一致的。為了研究Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模的可數(shù)部分及相關(guān)的投射和內(nèi)射模類，Zhang等[5]引入了DC-投射模和DC-內(nèi)射模。f-投射模[7]是投射模的一個(gè)重要推廣，每個(gè)投射模都是f-投射模，每個(gè)f-投射模都是平坦模，但反之不真。C-Gorenstein投射模與C-投射模[8]密切相關(guān)，DC-投射模與C-平坦模[8]密切相關(guān)。Mao[9]引入的關(guān)于半對(duì)偶模C的C-f-投射模是介于C-投射模與C-平坦模之間的一類模。因而，可考慮與C-f-投射模密切相關(guān)的模類。本文主要研究關(guān)于半對(duì)偶模C的弱Ding-投射模(即弱DC-投射模)，并討論弱DC-投射模與DC-投射模及C-Gorenstein投射模之間的關(guān)系，以及弱DC-投射模的若干性質(zhì)和等價(jià)刻畫。

1 定義和引理

引理2[9]設(shè)M是R-模，則

(2)M是C-f-投射模當(dāng)且僅當(dāng)HomR(C,M)是f-投射模。

其中Pi(i∈Ζ)是投射R-模，使得M?Coker(P1→P0)。用wDPC(R)表示所有弱DC-投射模組成的類。

引理3以下說法成立：

(1)DPC(R)?wDPC(R)?GPC(R)。

(2)當(dāng)R是Noether環(huán)時(shí)，弱DC-投射模與DC-投射模一致，從而DPC(R)=wDPC(R)。

引理4[8]設(shè)0→X′→X→X″→0是R-模正合列。若X′和X″是C-投射模，則該正合列可裂且X也是C-投射模。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)M是R-模，則以下條件等價(jià)：

(1)M是弱DC-投射模。

(1)

…→P1→P0→M→0，

(2)

(3)

0→HomR(M,Q)→HomR(P0,Q)→HomR(P1,Q)→…

(4)

其中Pi(i<0)是投射R-模。不妨取M的投射分解

…→P1→P0→M→0，

(5)

其中Pi(i∈Ζ)是投射R-模，使得M?Coker(P1→P0)。因此M是弱DC-投射模。

定理2設(shè)M是弱DC-投射模，如果存在正合列

定理3設(shè)P是有限生成投射模且M是弱DC-投射模，則HomR(P,M)是弱DC-投射模。

(6)

其中Pi(i∈Ζ)是投射R-模，使得M?Coker?1。因?yàn)镻是有限生成投射模，所以用函子HomR(P,-)作用于序列(6)后仍正合，即序列

正合，且HomR(P,M)?Coker(HomR(P,?1))。因?yàn)镻是有限生成投射模且R為交換環(huán)，根據(jù)文獻(xiàn)[14]中命題20.10可得，對(duì)任意整數(shù)i<0，有同構(gòu)

由文獻(xiàn)[15]中P14stability中第6條可得，HomR(P,Pi)(i∈Ζ)是投射模。從而有正合列

(7)

綜上所述，HomR(P,M)是弱DC-投射模。

證明證明過程與定理3對(duì)偶。

定理5設(shè)M是任意R-模，則存在正合列…→W1→W0→M→0，其中Wi(i≥0)是弱DC-投射模。

證明設(shè)M是任意R-模，由文獻(xiàn)[6]中命題1.8可得，M具有DC-投射分解，即存在正合列

…→W1→W0→M→0

其中Wi(i≥0)是DC-投射模。又由引理3知，DPC(R)?wDPC(R)，所以Wi(i≥0)是弱DC-投射模。

定理6弱DC-投射模類wDPC(R)關(guān)于任意擴(kuò)張封閉。

圖1 正合交換圖

定理7弱DC-投射模類wDPC(R)關(guān)于任意滿同態(tài)的核封閉。

證明由定理1和Ext函子的性質(zhì)可證。

定理8弱DC-投射模類wDPC(R)關(guān)于任意滿同態(tài)的核封閉。

定理9弱DC-投射模類wDPC(R)是投射可解的且關(guān)于任意直和因子封閉。

證明由引理3及文獻(xiàn)[6]中命題1.8知，wDPC(R)包含所有投射模。根據(jù)定理6和定理8可得，wDPC(R)關(guān)于任意擴(kuò)張和滿同態(tài)的核封閉。從而弱DC-投射模類wDPC(R)是投射可解的。又因?yàn)閣DPC(R)關(guān)于任意直和封閉，由文獻(xiàn)[16]中命題1.4可得，wDPC(R)關(guān)于任意直和因子封閉。

3 結(jié)束語

利用環(huán)模理論和同調(diào)代數(shù)的方法，討論了弱DC-投射模與DC-投射模及C-Gorenstein投射模之間的關(guān)系。研究了弱DC-投射模的若干性質(zhì)和等價(jià)刻畫。結(jié)果表明：所有弱DC-投射R-模組成的類是投射可解的且關(guān)于任意直和因子封閉。從而補(bǔ)充了Gorenstein同調(diào)代數(shù)中的相關(guān)理論，并進(jìn)一步完善了對(duì)Gorenstein模類及其維數(shù)后續(xù)問題的研究，具有一定的理論價(jià)值。