孫國棟， 劉宇杰， 康國政

(西南交通大學力學與工程學院， 成都 610031)

引 言

裂紋導致的工程構件失效，在現(xiàn)代工業(yè)結構和機械中屢屢發(fā)生。對于含裂紋的工程構件進行斷裂力學評定對于結構的設計和安全評估是非常重要的。自20世紀50年代以來，以線彈性斷裂力學和彈塑性斷裂力學為代表的斷裂力學理論和方法得到了迅速發(fā)展和應用。然而，大多數(shù)的經(jīng)典斷裂力學理論和成熟的設計規(guī)范都是基于二維斷裂理論的。對于斷裂韌性、裂紋擴展速率等材料斷裂特性的標準測試也多基于二維穿透型裂紋來開展試驗的。通常在裂紋擴展問題的斷裂分析中，判斷裂紋進入臨界失穩(wěn)斷裂狀態(tài)的方法是當裂紋尖端附近的應力強度因子值K等于材料試驗測得的斷裂韌性KIC時，認為裂紋將要失穩(wěn)擴展。Coppe等[1]在計算裂紋體的剩余壽命時，判斷停止計算的臨界裂紋尺寸是工程上給定的一個希望修復的裂紋尺寸，同時也指出了一般使用材料的斷裂韌性來計算臨界裂紋尺寸。楊海賓等[2]在計算車體的剩余壽命時，判斷計算停止的條件是應力強度因子值等于材料的斷裂韌性值，即根據(jù)施加載荷的大小和裂紋擴展到某一長度時計算出的應力強度因子值等于臨界應力強度因子值時停止計算剩余壽命。高云等[3]在計算裂紋體的剩余壽命時，停止計算裂紋擴展的條件也是某一裂紋長度計算出的應力強度因子值達到材料斷裂韌性時，裂紋停止擴展。由于幾何和受力的復雜性，大部分實際裂紋問題的裂紋尖端附近的應力場是三維應力場。Yuan和Brocks[4]的研究表明，三維應力下的約束情況對材料的斷裂行為有顯著的影響。在國內，郭萬林院士課題組[5-7]開展了大量的應力約束條件下的三維裂紋斷裂研究，建立了雙參數(shù)K-Tz或J-Tz模型，取得了良好的效果。由于斷裂問題的復雜性，大量的斷裂問題研究還是必須借助有限元分析來開展。最早由美國西北大學的Belytschko和Black[8-9]提出的擴展有限元方法(Extended Finite Element Method, XFEM)是在標準有限元框架下，在不連續(xù)的間斷區(qū)域引入新的能夠反映間斷特性的的位移函數(shù)。擴展有限元方法在處理裂紋問題時，能夠避免繁瑣的裂紋網(wǎng)格重劃分，在相對較為粗糙的裂尖網(wǎng)格下獲得比較精確的數(shù)值解。因此擴展有限元方法在裂紋擴展、動態(tài)斷裂等方面得到越來越多的應用。大量學者[10-12]基于擴展有限元方法開展了大量的斷裂問題研究，取得了良好的效果。

目前利用XFEM開展的斷裂問題模擬，多集中于裂紋擴展分析[13-15]，應力強度因子計算[16-17]等方面，對于結構失穩(wěn)斷裂時極限載荷方面的研究還較少。本文首先對車鉤鑄造E級鋼CT試樣開展了斷裂韌性試驗，獲得了材料的斷裂韌性。然后基于擴展有限元方法，建立三維模型對CT試樣在試驗中的裂紋擴展過程進行了模擬，通過與試驗獲得的載荷-裂紋張開位移曲線的對比，驗證數(shù)值模擬的合理性。進而對帶有橢圓形表面裂紋的不同厚度的平板的斷裂行為進行了模擬，獲得了不同情況下帶表面裂紋平板的拉伸極限載荷，并與通常利用材料斷裂韌性來確定的拉伸極限載荷進行了對比研究。

1 擴展有限元法

擴展有限元法是在傳統(tǒng)有限元方法的基礎上進行重要改進而提出的方法，核心思想是在常規(guī)有限元位移函數(shù)的基礎上，引入一些加強函數(shù)以反映間斷問題的不連續(xù)性。間斷問題分為強間斷(位移不連續(xù))和弱間斷(位移導數(shù)不連續(xù))兩種，在擴展有限元中要采用不同形式的加強函數(shù)。

在使用擴展有限元法分析裂紋問題時，由于裂紋兩側位移被間斷，所以要選用處理強間斷問題的加強函數(shù)，在擴展有限元中經(jīng)過加強的位移模式表示為[8]：

(1)

圖1所示為對裂紋尖端附近的一層節(jié)點進行加強時的節(jié)點分布，其中“○”表示裂紋尖端所處單元的節(jié)點，“□”表示裂紋貫穿單元的節(jié)點，其余均為常規(guī)節(jié)點(圖中沒有標出)。

圖1 XFEM中節(jié)點分布

式(1)中等號右邊：第一項代表沒有被裂紋影響到的單元區(qū)域，和傳統(tǒng)有限元方法的形函數(shù)完全一致；第二項代表被裂紋貫穿的單元區(qū)域；第三項代表裂紋尖端所處的單元區(qū)域，其中，α=1,2,3,4，裂紋尖端漸進位移場的附加函數(shù)φα(x)的具體表達形式為[9]：

(2)

式(2)中：(r,θ)表示裂尖的極坐標系，r為節(jié)點到裂尖的距離，θ表示節(jié)點和裂尖之間連線的角度，裂尖切線方向θ為0°。

2 車鉤鑄造E級鋼斷裂韌性試驗及模擬

2.1斷裂韌性試驗

根據(jù)GB/T 21143-2014《金屬材料準靜態(tài)斷裂韌度的統(tǒng)一試驗方法》，采用如圖2所示的帶有側槽的CT試樣進行斷裂韌性試驗。在進行斷裂韌性試驗前，在低載荷下進行了疲勞預制裂紋，保證裂紋前緣的尖銳，疲勞預制裂紋時的裂紋擴展量約為2 mm。在疲勞預制裂紋完成后以0.01 mm/s的位移速率控制加載直至斷裂，得到如圖3所示的載荷-裂紋張開位移曲線。對試驗數(shù)據(jù)進行處理，若用K因子來表征該材料的斷裂韌性值，其大小為5045 MPa*mm1/2。

圖2 帶有側槽的CT試樣幾何尺寸

圖3 斷裂韌性試驗中的載荷-裂紋張開位移曲線寸

2.2擴展有限元模擬

在ABAQUS軟件中根據(jù)圖2所示的CT試樣尺寸建立如圖4所示的有限元模型。試驗中通過穿過上下兩個孔的銷釘施加位移載荷，建立了兩個設置為剛體的圓棒狀的銷釘，建立兩個參考點分別和兩個銷釘耦合，以便施加位移載荷和獲取載荷數(shù)據(jù)，銷釘表面和CT試件圓孔之間設置面面接觸，使其接觸時可以滑動，使有限元模擬更加接近試驗時的真實情況。

圖4 CT試樣的有限元模型

在材料屬性中設置彈性模量為206915 MPa，泊松比為0.3，屈服強度值為640 MPa，抗拉強度值為805 MPa，這些材料參數(shù)均通過對圓棒試樣的拉伸試驗獲得。裂紋設置為XFEM裂紋類型，裂紋的長度設置為疲勞預制裂紋后的長度30 mm，裂紋面和CT試件之間設置為切向無接觸，法向硬接觸的接觸屬性。損傷演化采取最大主應力準則，最大主應力設置為805 MPa，即為材料的抗拉強度值，裂紋擴展所需能量設置為1220 N/m。網(wǎng)格劃分采用C3D8H單元，在裂紋附近采用結構化網(wǎng)格，在孔周圍采用自由網(wǎng)格，并在裂紋附近進行網(wǎng)格加密。加載邊界條件設置為在上端參考點RP-3上施加位移載荷，下參考點RP-1固定。待計算完畢后提取加載點的載荷和缺口處的位移，形成載荷-裂紋張開位移曲線和試驗數(shù)據(jù)進行對比。擴展有限元模擬得到的載荷-裂紋張開位移曲線和試驗結果對比如圖5所示。

圖5 CT試樣有限元模擬結果

從圖5可以看出，有限元模擬得到的軸向載荷-裂紋張開位移曲線和試驗曲線的趨勢一致，有限元模擬曲線略高于試驗曲線。原因可能在于，在有限元模擬中下參考點RP-1采用了固定約束，而在實際中，由于試驗機夾具不可能是無限大，與加載銷釘關聯(lián)的下參考點并不能保持完全固定。因此模擬曲線的剛度比試驗曲線略高。從最大載荷的數(shù)值上看，有限元模擬的最大載荷為65.154 kN，試驗中最大載荷為63.112 kN，兩者僅相差3.1%，由此驗證了本文有限元模擬的準確性。

3 受拉伸的帶表面裂紋平板的擴展有限元模擬

3.1有限元模型與計算流程

在ABAQUS中建立如圖6所示的平板有限元模型，初始裂紋形狀設置為半橢圓表面裂紋，位于平板側邊中部。平板的厚度(B)分別為：2 mm，4 mm，8 mm，16 mm，32 mm，64 mm，寬度62.5 mm,高60 mm。裂紋尺寸為2a/B=0.5,c/a=0.6，其中2a代表裂紋長度，c代表裂紋深度。在平板的上下頂面施加位移，對帶表面裂紋的平板受到拉伸載荷作用時的斷裂行為進行模擬。在裂紋擴展區(qū)域對網(wǎng)格進行加密，單元類型設置為C3D8H。在平板上下表面外，分別設置兩個參考點和上下表面的全部節(jié)點進行耦合，在兩個參考點上施加與裂紋面垂直方向的位移載荷，在后處理結果中提取參考點的載荷-位移曲線。材料參數(shù)與裂紋屬性設置與2.2節(jié)中設置一致。

圖6 帶表面裂紋的平板的有限元模型

在ABAQUS軟件的后處理模塊中，可以輸出每一分析步對應的裂紋尺寸和拉伸載荷值，直接得到裂紋擴展過程中的載荷-位移曲線，并得到最大極限載荷。但是并不能動態(tài)輸出應力強度因子K的數(shù)值。為獲得應力強度因子K達到材料斷裂韌性時對應的極限載荷，還需要進行靜態(tài)應力強度因子的計算。在進行靜態(tài)應力強度因子計算時，將裂紋設置為不能擴展，并在結果文件中輸出對應裂紋的K因子值，每一次計算只能得到固定裂紋尺寸的應力強度因子的值。為得到應力強度因子隨裂紋尺寸的變化，就需建立不同裂紋尺寸的幾何模型來得到相應的應力強度因子。當計算出的K因子達到試驗獲得的材料斷裂韌性時，輸出此時的載荷，并與按照擴展有限元能量準則計算出的擴展過程中的最大載荷進行對比。

3.2模擬結果與討論

圖7給出了擴展有限元模擬得到的厚度為16 mm的帶表面裂紋平板的載荷-位移曲線，這里的位移選取為上下表面參考點的相對位移。整個曲線大致可分為三個階段：第一階段，當位移較小時，載荷和位移之間幾乎呈線性關系，載荷和位移成比例增大；第二階段，載荷隨位移緩慢增加，裂紋穩(wěn)定擴展；第三階段，載荷隨位移的增大而下降，進入裂紋失穩(wěn)擴展階段，直至完全斷裂。 在圖7給出的16 mm厚平板的擴展有限元模擬載荷-位移曲線中，最大載荷為779.96 kN。在常規(guī)有限元計算中，帶裂紋結構能承受的最大載荷使用強度因子準則來確定, 即將裂紋尖端最大應力強度因子K達到斷裂韌性KIC時對應的載荷作為結構能承受的最大載荷值。若采用強度因子準則，對于本節(jié)計算的16 mm厚帶表面裂紋平板能承受的最大載荷為599.21 kN，這比用擴展有限元法的能量準則計算出的最大載荷要低23.2%。這說明按照傳統(tǒng)的平面斷裂準則得到的極限載荷比按照三維裂紋準則得到的極限載荷要低，采用傳統(tǒng)的平面斷裂準則在三維裂紋情況下偏保守。

圖7 16 mm帶裂紋平板載荷-位移曲線計算結果

在ABAQUS擴展有限元模塊中可以輸出場變量PHILSM(Signed distance function to describe the crack surface)來描述裂紋面。圖8給出了裂紋擴展過程中的PHILSM的變化，圖中藍色部分表示裂紋面。圖8(a)為初始裂紋形狀，圖8(b)為裂紋沿深度擴展1 mm之后的裂紋形狀，裂紋沿寬度也同樣擴展了1 mm，圖8(c)為裂紋沿深度擴展2 mm之后的裂紋形狀，此時裂紋沿寬度方向擴展不足2 mm，圖8(d)為裂紋沿深度擴展3 mm之后的裂紋形狀，也是計算KIC時的裂紋尺寸，因為裂紋形狀不是十分規(guī)則，計算KIC時將其近似為一個規(guī)則圓弧進行計算。圖8(e)～圖8(j)分別為裂紋沿深度擴展4 mm，6 mm，8 mm，10 mm，12 mm，14 mm時的裂紋形狀。這些圖中可見，裂紋在深度方向上的擴展量是大大高于寬度方向上的擴展量。隨著裂紋的擴展，表面裂紋逐步加深加寬，最終穿透厚度方向成為穿透型裂紋。

圖8 裂紋形狀變化

為了討論厚度對包含表面裂紋平板極限載荷的影響，本文計算了平板的厚度(B)分別為：2 mm，4 mm，8 mm，16 mm，32 mm，64 mm，寬度為62.5 mm，高為60 mm，裂紋尺寸為2a/B=0.5,c/a=0.6，共6種厚度情況下含表面裂紋平板的拉伸裂紋擴展情況。圖9給出了6種厚度下帶表面裂紋平板在拉伸情況下的載荷-位移曲線。

圖9 不同厚度平板的載荷-位移曲線

從載荷-位移曲線的變化趨勢上看，厚度影響不大，不同厚度帶表面裂紋平板的載荷-位移曲線的趨勢基本一致，呈現(xiàn)前述的三階段的特點。隨著厚度的增加，帶表面裂紋平板的極限載荷在增加，同時達到極限載荷時對應的臨界位移在降低。這表明隨著平板厚度的增加，斷裂模式從韌性斷裂向脆性斷裂轉變。

表1給出了不同平板厚度的情況下，分別用擴展有限元能量準則得到的極限載荷和用常規(guī)應力強度因子準則得到的極限載荷。

表1XFEM求得極限載荷值和KIC對應極限載荷值對比

由表1可見，按照傳統(tǒng)的KIC平面斷裂準則計算得到的極限載荷在三維裂紋情況下偏保守。兩種方法計算得到的極限載荷之間的差異隨著板厚度的增加而增大。

為了進一步揭示平板厚度對極限載荷的影響，對當裂紋前緣應力強度因子達到KIC時裂紋前緣的塑性區(qū)情況進行了分析。圖10給出了在計算KIC的有限元模型中提取裂紋前緣等效塑性應變(PEEQ)云圖。

圖10 應力強度因子達到KIC時的塑性區(qū)

從圖10可以看出，在平板厚度較小時，塑性區(qū)的面積比較大，隨著平板厚度的增加，裂紋前緣的塑性區(qū)逐步減小。在平板厚度較小時(如2 mm厚，4 mm厚)，裂紋前緣附近均發(fā)生塑性變形，這與穿透型裂紋達到臨界擴展時塑性區(qū)的分布相似，故兩種方法計算出的極限載荷更加接近。而在厚板的情況下，由于有較強的約束，導致應力強度因子達到KIC時，裂紋尖端塑性區(qū)很小，這與達到臨界擴展時裂尖塑性區(qū)比較大的狀態(tài)有較大區(qū)別，故按照KIC計算出的極限載荷比擴展有限元計算的結果要低很多。

4 結 論

(1)利用ABAQUS的擴展有限元模塊，設置合理參數(shù)對車鉤E級鑄鋼CT試樣的斷裂行為進行較為準確的模擬，得出載荷-裂紋張開位移曲線和試驗結果吻合得很好。

(2)對不同厚度的帶表面裂紋平板拉伸情況下的斷裂行為模擬發(fā)現(xiàn)，按照材料斷裂韌性KIC計算出的極限載荷在三維裂紋情況下偏保守。材料斷裂韌性對應的最大載荷和擴展有限元方法計算得出的最大載荷值之間的差異隨著板厚度的增加而增大。在計算表面裂紋厚板的斷裂極限載荷時必須考慮裂紋的三維約束效應。