牛光光， 楊翊仁

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院， 成都 610031)

引 言

圓柱殼是核電、航空航天等工程領(lǐng)域廣泛采用的一種結(jié)構(gòu)形式，如核反應(yīng)堆吊籃、潛艇、大型儲油罐和火箭燃料室等大都采用圓柱殼結(jié)構(gòu)。圓柱殼與流體構(gòu)成典型的流固耦合系統(tǒng)，流體對結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性影響較大，因此很多學(xué)者對圓柱殼流固耦合系統(tǒng)的動態(tài)特性進行研究[1-15]。例如，馬建中等人[1]從圓柱殼的運動微分方程和流體的N-S方程出發(fā)，基于流體不可壓縮假設(shè)導(dǎo)出了作用在圓柱殼結(jié)構(gòu)上的流體附加質(zhì)量和附加阻尼，再結(jié)合有限元方法對耦合系統(tǒng)的振動特性進行了研究。Zhang[2-4]采用波傳播方法對有限長浸水圓柱殼的振動特性進行了研究，通過與有限單元法的計算結(jié)果對比，驗證了波傳播方法的準確性。梁斌等人[5]采用波傳播方法研究了不同條件下環(huán)肋功能梯度圓柱殼在靜水壓力下的耦合振動特性。董宇[6]基于聲固耦合理論，采用Ansys軟件中的Fluid30單元對含環(huán)形間隙流體的同軸圓柱殼進行了研究，結(jié)果表明隨著靜水間隙的減小，固有頻率隨之下降。徐建航[7]對Ansys中Fluid30單元計算小間隙流體的適用性問題進行了研究。Moreno-García[8]詳細回顧了梁和板的自由振動和屈曲計算中瑞利-里茲法所采用的幾種試函數(shù)，并針對固支矩形板的自由振動問題，研究了6種試函數(shù)的數(shù)值穩(wěn)定性、收斂性及計算時長。Lee等人[9]采用瑞利-里茲法研究了圓柱殼的自由振動問題，給出了圓柱殼質(zhì)量陣、剛度陣的顯式表達式，并研究了不同邊界條件和不同假設(shè)下圓柱殼的固有特性。Askari等人[10]采用半解析的方法研究了圓形容器中浸水懸臂圓柱殼的耦合振動問題，通過瑞利-里茲法計算耦合系統(tǒng)的固有頻率，利用有限單元法驗證了該方法的準確性。張德春[11]采用能量的方法研究了懸臂同軸圓柱殼結(jié)構(gòu)在水中的振動特性，討論了流體間隙對同軸圓柱殼固有頻率的影響。Kwak[12-13]采用能量的方法研究了無限大流域內(nèi)、部分浸水懸臂圓柱殼的振動特性,給出了殼體質(zhì)量陣、剛度陣和流體附加質(zhì)量陣的顯式表達式，通過求解特征值問題給出了圓柱殼的固有頻率。Wu[14]采用實驗和數(shù)值求解的方法研究了液位對圓柱殼儲液罐動態(tài)特性的影響。研究發(fā)現(xiàn)，隨著液位的升高耦合系統(tǒng)的膨脹頻率出現(xiàn)了下降的趨勢。

綜上所述，目前主要有兩類方法計算圓柱殼流固耦合振動問題，分別是波傳播法和能量法。前者直接從圓柱殼的運動微分方程出發(fā)，基于波動理論迭代求解。后者先計算結(jié)構(gòu)和流體的能量，通過拉格朗日方程獲得耦合系統(tǒng)的運動微分方程，最后通過求解特征值獲得耦合系統(tǒng)的振動頻率。很多學(xué)者對無限大域流體內(nèi)的圓柱殼耦合系統(tǒng)進行了研究，但鮮有基于能量的方法對有限環(huán)形域內(nèi)圓柱殼方面的研究報道。鑒于此，本文基于能量的方法對有限環(huán)形域內(nèi)浸水懸臂圓柱殼的振動特性進行了研究，同時研究了不同液面高度和不同環(huán)形間隙的流體對圓柱殼固有頻率的影響規(guī)律。

1 圓柱殼耦合系統(tǒng)模型及能量分析

1.1圓柱殼結(jié)構(gòu)動能

考慮圖1所示柱坐標系下的圓柱殼結(jié)構(gòu)，圓柱殼中面半徑為R、厚度為h、長度為L，u、v和w分別是x、θ和z三個方向的位移分量。圓柱殼的動能為：

(1)

式中：ρ為圓柱殼的密度。對三個方向的位移分量進行模態(tài)展開，則圓柱殼的動能疊加形式：

(2)

計算可得圓柱殼動能：

(3)

式中：Ms為圓柱殼質(zhì)量陣：

(4)

圖1 柱坐標系下圓柱殼模型

1.2圓柱殼結(jié)構(gòu)勢能

圓柱殼的勢能為其彈性應(yīng)變能，其勢能表達式如下：

(5)

代入滿足胡克定律的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式，并對應(yīng)變分量進行模態(tài)展開，則圓柱殼總的勢能V可以寫成n個勢能疊加的形式：

(6)

(7)

式中：KnF為圓柱殼的剛度陣。

(8)

1.3流體動能

圖2 圓柱殼流固耦合模型

(1)外部流體勢

(9)

式中：上標e表示外部流體域Ⅱ。流體勢滿足柱坐標系下的拉普拉斯方程：

(10)

外部流體邊界條件：

(11)

式中：wn(x,θ,t)為圓柱殼的徑向位移分量。根據(jù)文獻[13]的方法，流體勢可寫成：

(12)

通過分離變量的方法，引入邊界條件，對拉普拉斯方程求解可得流體勢表達式：

(13)

(2)內(nèi)部流體勢

同理，對于內(nèi)部流體勢求解與外部流體有相同的求解方法。內(nèi)部流體邊界條件如下：

(14)

式中上標示i表示部流體域I。內(nèi)部流體和外部流體的求解區(qū)別在于對不同邊界條件的處理，對于內(nèi)部流體需要利用Bessel函數(shù)的性質(zhì)，即當內(nèi)部流體在r→0時，Kn(λkr)趨向于無窮大。內(nèi)部流體勢表達式為：

(15)

(3)耦合系統(tǒng)總動能

耦合系統(tǒng)總的動能為圓柱殼動能與流體動能之和：

(16)

式中：

其中Mfe=-(PnλInλ(R)+

2 特征值問題

求得耦合系統(tǒng)的動能和勢能，代入拉格朗日方程：

(17)

式中：Ln=Tn-Vsn。則耦合系統(tǒng)的運動微分方程如下：

(18)

(19)

3 算例討論

圓柱殼采用懸臂約束，對于懸臂圓柱殼模型，一端固支一端自由，其滿足如下邊界條件：

(20)

式中：u,v,w為位移，M和N分別為彎矩和剪力。

對于上述邊界條件，圓柱殼試函數(shù)采用懸臂梁的模態(tài)振型，懸臂梁試函數(shù)φi：

(21)

試函數(shù)代入質(zhì)量陣和剛度陣的表達式，通過求解特征值問題即可計算出圓柱殼的固有頻率。為了驗證能量法計算圓柱殼固有頻率的準確性，采用有限元軟件Ansys的結(jié)果進行對比驗證。分別計算兩種工況：(1)真空中圓柱殼的固有頻率；(2)耦合系統(tǒng)中圓柱殼的固有頻率。計算所需要的模型參數(shù)如下：內(nèi)部圓柱殼中面半徑R=4 m，壁厚h=0.04 m，長度L=20 m，楊氏模量E=2e11 Pa，泊松比ν=0.3，密度ρ=8000 kg/m3；流體為水，密度ρf=1000 kg/m3，聲速c=1400 m/s，液面高度H=L；外部圓柱殼內(nèi)徑R1=10 m。有限元建模中，圓柱殼采用SOLSH190單元，流體采用FLUID30單元。真空中圓柱殼的模態(tài)提取采用BlockLanczos方法，耦合系統(tǒng)中圓柱殼的模態(tài)提取采用Unsymmetric方法。本文提取前七階頻率進行對比驗證，真空和耦合系統(tǒng)中圓柱殼頻率對比結(jié)果分別見表1和表2。從表1中可以看出，基于能量法的真空中圓柱殼固有頻率計算結(jié)果和有限元法的計算結(jié)果有較好的吻合，表2也有相同的趨勢。有限元法的計算結(jié)果驗證了能量法的可行性及準確性。對比表1和表2發(fā)現(xiàn)，靜水中的圓柱殼頻率顯著低于空氣中的頻率。

表1真空中圓柱殼頻率對比

表2耦合系統(tǒng)圓柱殼頻率對比

(1)液面高度H對圓柱殼頻率的影響：一階梁(m=1,n=1)頻率隨液面高度變化如圖3所示。從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，當液面高度在圓柱殼1/2高度以下時，圓柱殼的頻率隨液面高度變化顯著，說明在這個高度范圍內(nèi)，圓柱殼的頻率對液面高度變化較為敏感；隨著液面高度的增加，圓柱殼的頻率變化趨于穩(wěn)定。圓柱殼頻率的變化是由于耦合系統(tǒng)中流體附加質(zhì)量的作用，流體液面升高使得流體附加質(zhì)量增加，導(dǎo)致圓柱殼頻率降低。

圖3 一階梁(m=1,n=1)頻率隨液面高度變化

(2)流體環(huán)形間隙對圓柱殼頻率的影響：圓柱殼各階頻率隨環(huán)形間隙大小變化如圖4所示。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，隨著環(huán)形間隙的不斷縮小，圓柱殼的頻率迅速下降；當間隙趨于零時，圓柱殼的頻率趨于無窮小。這是由于間隙很小時，附加質(zhì)量會趨于無窮大[11]。

圖4 圓柱殼頻率隨流體間隙變化

4 結(jié)束語

基于能量的方法對浸水懸臂圓柱殼的振動特性進行了研究。利用Ansys程序驗證了該方法的可行性及準確性，該方法直接給出了耦合系統(tǒng)中質(zhì)量陣、剛度陣和流體附加質(zhì)量陣的顯式表達式。通過對液面高度和環(huán)形間隙的研究發(fā)現(xiàn)：圓柱殼的頻率隨著液面高度的升高而降低，隨著環(huán)形間隙的減小而降低。運用本方法，還可以計算不同邊界條件和不同圓柱殼理論的流固耦合振動問題，通過改變試函數(shù)和應(yīng)變的假設(shè)，可以求解不同邊界和不同圓柱殼理論的流固耦合振動問題。