衛(wèi)華榮，何興偉，洪碧海，朱維婷，劉陳翔，朱德禹，沈 鵬

（1.麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水323000；2.山西大學(xué)理論物理研究所，山西太原030006）

0 引言

雖然高能碰撞過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間很短，但是環(huán)境溫度極高、密度極大，演化過(guò)程很復(fù)雜[1-3]。通?？赏ㄟ^(guò)分析系統(tǒng)產(chǎn)生的末態(tài)粒子的性質(zhì)和產(chǎn)生機(jī)制來(lái)反推其復(fù)雜的演化過(guò)程。反應(yīng)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)化學(xué)凍結(jié)和動(dòng)力學(xué)凍結(jié)之后，產(chǎn)生的末態(tài)粒子的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)也會(huì)被凍結(jié)，其橫動(dòng)量不再改變[4-5]。通過(guò)分析粒子的橫動(dòng)量分布，可以探索粒子的產(chǎn)生機(jī)制和系統(tǒng)的演化性質(zhì)。唯象模型法是分析粒子橫動(dòng)量分布的一種簡(jiǎn)單而實(shí)用的方法。多源熱模型[6-8]框架下的多組分厄蘭（Erlang）分布[9]不但可以分析碰撞系統(tǒng)的橫向激發(fā)程度、軟硬激發(fā)過(guò)程貢獻(xiàn)份額比，而且還可以提取到反正粒子產(chǎn)額比等信息。

在高能碰撞系統(tǒng)中，粒子的化學(xué)勢(shì)是一個(gè)很重要的物理量，因?yàn)樗鼪Q定著物質(zhì)傳遞的方向和限度，是判斷系統(tǒng)是否經(jīng)歷過(guò)相變、是否達(dá)到相平衡的重要依據(jù)。尤其是重子化學(xué)勢(shì)，結(jié)合化學(xué)凍結(jié)溫度，可以在化學(xué)凍結(jié)溫度-重子化學(xué)勢(shì)平面上研究強(qiáng)子物質(zhì)到夸克物質(zhì)的相變問(wèn)題，進(jìn)而分析QCD相圖[10-11]。不同尺寸的碰撞系統(tǒng)產(chǎn)生的粒子的化學(xué)勢(shì)是不同的。在之前的工作中[12]，我們已經(jīng)分析了金-金、鉛-鉛重離子碰撞系統(tǒng)和質(zhì)子-質(zhì)子輕離子碰撞系統(tǒng)中的粒子化學(xué)勢(shì)，介于以上兩種系統(tǒng)的氘-金（d-Au）系統(tǒng)，其產(chǎn)生的粒子的化學(xué)勢(shì)有什么不同之處，引起了我們強(qiáng)烈的興趣。粒子的化學(xué)勢(shì)可以通過(guò)反正粒子的產(chǎn)額比[13]來(lái)獲得，而反正粒子的產(chǎn)額比可以通過(guò)描述粒子橫動(dòng)量分布過(guò)程中提取的歸一化常數(shù)來(lái)獲得。通過(guò)歸一化常數(shù)獲得產(chǎn)額比的好處在于所考慮的橫動(dòng)量范圍比較廣，因而獲得的產(chǎn)額比的值相對(duì)比較準(zhǔn)確。

本文在多源熱模型框架[6-8]下，利用雙組分厄蘭分布研究了200 GeV能量下d-Au系統(tǒng)中產(chǎn)生的幾種末態(tài)粒子的橫動(dòng)量分布，根據(jù)提取的歸一化常數(shù)得到了3種反正粒子的產(chǎn)額比（kπ、kK和kp），進(jìn)而提取到了幾種輕強(qiáng)子（π、K和p）和輕夸克（u、d和s）的化學(xué)勢(shì)，并分析了化學(xué)勢(shì)對(duì)碰撞中心度的依賴(lài)關(guān)系。

1 模型和公式

根據(jù)我們的理論，要得到歸一化常數(shù)，首先需要對(duì)末態(tài)粒子的橫動(dòng)量分布進(jìn)行描述。本文采用的模型是基于多源熱模型[6-8]的多組分厄蘭分布[9]。該模型假設(shè)高能碰撞中形成了多個(gè)發(fā)射源，這些發(fā)射源根據(jù)碰撞系統(tǒng)中不同的作用機(jī)制和實(shí)驗(yàn)測(cè)量過(guò)程中不同的樣本條件可以分成多個(gè)組分。假設(shè)每組所有的發(fā)射源具有相同的激發(fā)度并處于共同的平衡或局域平衡態(tài)，則每組所有源貢獻(xiàn)的結(jié)果可以用一組分厄蘭分布進(jìn)行描述。若粒子的末態(tài)分布是由兩組發(fā)射源產(chǎn)生的結(jié)果，則可用雙組分厄蘭分布進(jìn)行描述。

根據(jù)熱力學(xué)理論，每個(gè)發(fā)射源產(chǎn)生的粒子的橫動(dòng)量分布服從指數(shù)分布，即：

其中，ptij表示第j組第i個(gè)發(fā)射源的橫動(dòng)量，〈ptij〉是ptij的平均值。若將第j組發(fā)射源的數(shù)目記為mj，mj個(gè)發(fā)射源產(chǎn)生的粒子的橫動(dòng)量記為pT，則第j組所有發(fā)射源產(chǎn)生的粒子的橫動(dòng)量分布就是每個(gè)發(fā)射源指數(shù)分布函數(shù)的卷積：

這就是歸一化的Erlang分布。所有組發(fā)射源整體貢獻(xiàn)的結(jié)果可以表示為：

其中，kj是指第j組發(fā)射源貢獻(xiàn)的權(quán)重系數(shù)，且滿(mǎn)足歸一化條件，這就是多組分Erlang分布。

事實(shí)上，本文采用的是雙組分的厄蘭分布，第一組分反映的是發(fā)射源的軟激發(fā)過(guò)程，第二組分反映的是發(fā)射源的硬散射過(guò)程。軟激發(fā)過(guò)程對(duì)應(yīng)低橫動(dòng)量區(qū)，硬散射過(guò)程對(duì)應(yīng)高橫動(dòng)量區(qū)。

通過(guò)以上描述可以得到歸一化常數(shù)，基于歸一化常數(shù)可以獲得反粒子-粒子的產(chǎn)額比，根據(jù)反正粒子產(chǎn)額比可以提取到粒子的化學(xué)勢(shì)。需要注意的是，實(shí)驗(yàn)上由于包含頂夸克的粒子的壽命太短而無(wú)法測(cè)量，導(dǎo)致本文采集到的數(shù)據(jù)有限，所以只計(jì)算了一些輕強(qiáng)子（π、K和p）和一些輕夸克（u、d和s）的化學(xué)勢(shì)。提取粒子化學(xué)勢(shì)的原理如下。

根據(jù)熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)模型[13]中關(guān)于化學(xué)勢(shì)和熱力學(xué)平衡的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，可以得到反正粒子產(chǎn)額比和粒子化學(xué)勢(shì)之間的關(guān)系：

其中，kπ、kK和 kp分別表示反粒子 π-、K-、與粒子 π+、K+、p的產(chǎn)額比，μπ、μK和 μp分別表示 π、K 和 p 的化學(xué)勢(shì)，Tch表示反應(yīng)系統(tǒng)的化學(xué)凍結(jié)溫度。根據(jù)服從標(biāo)準(zhǔn)麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)的非相互作用氣體的統(tǒng)計(jì)熱模型[14-15]，該溫度可由以下公式給出：

這里的“極限”溫度Tlim可以取0.164 GeV，質(zhì)心能量的單位為GeV。

假設(shè) μu、μd、μs分別表示 u、d、s夸克的化學(xué)勢(shì)，根據(jù)公式（4）和文獻(xiàn)［16-17］，隨夸克化學(xué)勢(shì)變化的產(chǎn)額比可以表示為：

根據(jù)公式（4）和（6），強(qiáng)子和夸克的化學(xué)勢(shì)可以分別表達(dá)為：

和

2 結(jié)果分析和討論

圖1顯示的是d-Au系統(tǒng)在質(zhì)心能量200 GeV下不同中心度區(qū) （0%～20%、20%～40%、40%～60%和60%～88%）碰撞產(chǎn)生的（a）（d）π±、（b）（e）K±、（c）p 和（f）的橫動(dòng)量分布。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是由PHENIX合作組[18]測(cè)量的。不同中心度區(qū)的數(shù)據(jù)用不同形狀的符號(hào)表示在圖中。為了更清晰地區(qū)分出不同中心度區(qū)的數(shù)據(jù)，各組數(shù)據(jù)根據(jù)圖中標(biāo)識(shí)的倍數(shù)被相應(yīng)縮小了。圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)上的誤差棒包含了統(tǒng)計(jì)和系統(tǒng)誤差。實(shí)驗(yàn)點(diǎn)上面的實(shí)線(xiàn)是根據(jù)雙組分厄蘭分布擬合的結(jié)果，對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的自由參數(shù)（m1、〈pti1〉、k1、m2、〈pti2〉），歸一化常數(shù)（N0）和χ2每自由度（χ2/dof）的取值列在了表1中?？梢钥闯?，雙組分的厄蘭分布可以很好地描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。不同粒子對(duì)應(yīng)的發(fā)射源的軟激發(fā)度權(quán)重系數(shù)k1均大于60%，表明軟激發(fā)是主要的激發(fā)過(guò)程。對(duì)于質(zhì)子和反質(zhì)子，由于其產(chǎn)生過(guò)程方式很多，導(dǎo)致提取的軟激發(fā)的貢獻(xiàn)份額偏低，但是跟硬散射過(guò)程相比，其依然是主要的貢獻(xiàn)者。對(duì)應(yīng)低橫動(dòng)量區(qū)的第一組分的源數(shù)m1的值是2或5，表明低橫動(dòng)量的粒子來(lái)自2個(gè)或5個(gè)?？淇撕湍z子之間的相互作用；對(duì)應(yīng)高橫動(dòng)量區(qū)的第二組分的源數(shù)m2的值都是2，表明高橫動(dòng)量的粒子來(lái)自?xún)蓚€(gè)價(jià)夸克之間更猛烈的迎頭碰撞。

圖1 質(zhì)心能量200 GeV下d-Au系統(tǒng)在不同中心度區(qū)（0%～20%、20%～40%、40%～60%和60%～88%）碰撞產(chǎn)生的（a）（d）π±、（b）（e）K±、（c）p 和（f）的橫動(dòng)量譜。圖中不同形狀的符號(hào)表示的是PHENIX合作組測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。為了看起來(lái)圖像更清晰，不同中心度區(qū)的數(shù)據(jù)根據(jù)圖中的倍數(shù)被相應(yīng)縮小了。數(shù)據(jù)點(diǎn)上的誤差棒包含了統(tǒng)計(jì)和系統(tǒng)誤差。曲線(xiàn)是根據(jù)雙組分厄蘭分布計(jì)算的結(jié)果

表1 圖1中雙組分厄蘭分布曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的自由參數(shù)、歸一化常數(shù)和χ2/dof的值

根據(jù)以上描述和提取到的歸一化常數(shù)，我們提取到了橫動(dòng)量和中心度依賴(lài)的反正粒子的產(chǎn)額比（kπ、kK和kp），其結(jié)果分別顯示在圖2和圖3中。圖2中的實(shí)線(xiàn)、虛線(xiàn)、點(diǎn)線(xiàn)和虛點(diǎn)線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)中心度區(qū)0%～20%、20%～40%、40%～60%和60%～88%的結(jié)果?？梢钥闯?，3種粒子產(chǎn)額比隨橫動(dòng)量的變化在較小范圍內(nèi)波動(dòng)，但無(wú)一致性的規(guī)律。換句話(huà)說(shuō)，在誤差范圍內(nèi)，3種輕粒子的產(chǎn)額比對(duì)橫動(dòng)量沒(méi)有明顯的依賴(lài)關(guān)系。對(duì)同一種粒子產(chǎn)額比，不同中心度區(qū)的產(chǎn)額比曲線(xiàn)也沒(méi)有表現(xiàn)出明顯的大小關(guān)系，說(shuō)明橫動(dòng)量依賴(lài)的產(chǎn)額比對(duì)中心度的依賴(lài)性也不明顯。圖3顯示的是3種粒子產(chǎn)額比對(duì)中心度的依賴(lài)關(guān)系。作為參考，圖中分別給出了3種粒子產(chǎn)額比的平均值，kπ、kK和kp的平均值分別為0.966、0.937和0.775，并用3條虛線(xiàn)顯示在了圖中?？梢钥闯?種粒子產(chǎn)額比隨中心度區(qū)的增加有微小的增長(zhǎng)趨勢(shì)，但增長(zhǎng)幅度不大，嚴(yán)格來(lái)講，也可以認(rèn)為，在誤差范圍內(nèi)，3種產(chǎn)額比對(duì)中心度無(wú)明顯的依賴(lài)關(guān)系。

基于以上粒子產(chǎn)額比和公式（7）（8），可以提取到中心度依賴(lài)的3種輕強(qiáng)子和3種輕夸克的化學(xué)勢(shì)，其結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?，在200 GeV能量下的d-Au系統(tǒng)中，6種粒子的化學(xué)勢(shì)隨中心度的變化較小，也可以說(shuō)，在誤差范圍內(nèi)，6種化學(xué)勢(shì)對(duì)中心度沒(méi)有明顯的依賴(lài)關(guān)系。3種輕強(qiáng)子的化學(xué)勢(shì)多數(shù)在20 MeV以下，3種夸克的化學(xué)勢(shì)更小些，都在10 MeV以下，有些中心碰撞區(qū)的化學(xué)勢(shì)甚至接近于0，這與之前的研究結(jié)果是一致的。另外，還可以看出，μp＞μK＞μπ、μu≈μd＞μs，這是由于粒子的質(zhì)量不同所造成的。

圖2 3種粒子產(chǎn)額比對(duì)橫動(dòng)量的依賴(lài)關(guān)系

圖3 3種粒子產(chǎn)額比對(duì)中心度（C）的依賴(lài)關(guān)系

圖4 3種輕強(qiáng)子和3種輕夸克的化學(xué)勢(shì)對(duì)中心度（C）的依賴(lài)關(guān)系

3 結(jié)論

綜上討論，可得出以下幾點(diǎn)主要結(jié)論：

（1）通過(guò)利用多源熱模型框架下的雙組分厄蘭分布分析質(zhì)心能量200 GeV下d-Au系統(tǒng)碰撞產(chǎn)生的π±、K±、p 和的橫動(dòng)量分布，可以看出，雙組分厄蘭分布可以很好地描述PHENIX合作組測(cè)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從擬合參數(shù)可以看出，末態(tài)粒子的橫動(dòng)量譜可以認(rèn)為是由低橫動(dòng)量區(qū)和高橫動(dòng)量區(qū)兩部分構(gòu)成的，低橫動(dòng)量區(qū)粒子來(lái)自碰撞過(guò)程中幾個(gè)?？淇撕湍z子之間相互作用引起的軟激發(fā)過(guò)程，而高橫動(dòng)量區(qū)粒子則來(lái)自?xún)蓚€(gè)價(jià)夸克之間更加猛烈的迎頭碰撞引起的硬散射過(guò)程。從權(quán)重比例看，軟激發(fā)過(guò)程產(chǎn)生的粒子占比在60%以上，表明碰撞系統(tǒng)的橫向激發(fā)程度主要由軟激發(fā)過(guò)程貢獻(xiàn)。

（2）根據(jù)擬合結(jié)果和擬合得到的歸一化常數(shù)，可以提取到橫動(dòng)量和中心度依賴(lài)的3種輕強(qiáng)子（π、K和p）的反正粒子產(chǎn)額比。研究表明，200 GeV能量下d-Au碰撞系統(tǒng)中產(chǎn)生3種輕強(qiáng)子的產(chǎn)額比隨橫動(dòng)量的增加變化較小，且沒(méi)有一致性的規(guī)律，隨中心度區(qū)的增加而輕微增加，但增加幅度較小。因此，也可以認(rèn)為，在誤差范圍內(nèi)，這3種產(chǎn)額比都沒(méi)有表現(xiàn)出對(duì)橫動(dòng)量和中心度明顯的依賴(lài)關(guān)系?；谝陨戏凑Ｗ赢a(chǎn)額比，可以提取到隨中心度變化的3種輕強(qiáng)子（π、K、p）和3種輕夸克（u、d、s）的化學(xué)勢(shì)。研究表明，d-Au系統(tǒng)在200 GeV能量下碰撞產(chǎn)生的輕強(qiáng)子和夸克的化學(xué)勢(shì)都比較小，隨中心度區(qū)的增加變化幅度也比較小，也可以認(rèn)為，在誤差范圍內(nèi)，這6種化學(xué)勢(shì)對(duì)中心度的依賴(lài)關(guān)系不明顯。