李昌官

元指導：基于素養(yǎng)與單元的學習指導范式

李昌官

（浙江省臺州市教育教學研究院，浙江 臺州 318000）

當下許多學習指導或演變?yōu)橹噶睿蛑皇且徽幸皇降闹更c，難以達到發(fā)展思維、提升素養(yǎng)之目的．應以單元為單位，以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為目的，實施具有較強初始性、觀念性、框架性、系統(tǒng)性和激勵性的學習指導，即“元指導”．“元指導”的主要策略與方法是基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與生成機制，基于數(shù)學知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯，基于學生的數(shù)學認知基礎(chǔ)與研究障礙，以數(shù)學問題的提出與解決為重點，強化學習的大背景、大問題、大框架、大策略．最后以集合單元為例，具體闡明如何實施“元指導”．

單元教學；元指導；學習指導范式；數(shù)學學科核心素養(yǎng)

1 “元指導”提出的背景與緣由

當下，為核心素養(yǎng)而教正在成為越來越多數(shù)學教師的共識，但與培育核心素養(yǎng)相適應的學生學習指導范式還遠沒有建立起來．目前的數(shù)學學習指導普遍存在如下四大問題：第一，指導的目的主要是接受教材或教師已有的思維結(jié)果，而不是發(fā)展思維、提升素養(yǎng)；第二，指導的內(nèi)容主要是就事論事的、注重細節(jié)的方法與技巧，而不是解決一般性問題的普適性、原理性強的策略與方法，也不是思維的緣由與依據(jù)；第三，指導的方式主要是單向的、缺乏緣由與依據(jù)的指令，而不是對話、交流與暗示；第四，指導的適用對象主要是課時教學與知識點教學，而不是更利于數(shù)學學科核心素養(yǎng)生成的單元教學和大概念教學．鑒于教師的主要職責是激勵和指導學生學習，并且目前多數(shù)學習指導不利于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展，因此應從學生普遍存在的不足——思維的整體性、連貫性、策略性與創(chuàng)新性弱——入手，反思和尋找教師學習指導存在的問題，進而建立與孕育數(shù)學學科核心素養(yǎng)相適應的學習指導范式．

2 “元指導”的含義與價值

2.1 “元指導”的含義與特征

2.1.1 “元”的含義

中西方對“元”的含義的理解有較大差異，這反映了中西方不同的文化傳統(tǒng)．中國文化背景下的“元”主要有如下5層含義：一是初始的、第一，如，元旦、元月、元年、紀元；二是為首的、居首的，如，元首、元老、元帥、元勛、元兇、狀元；三是主要的、根本的，如，元音、元件、元氣；四是構(gòu)成一個整體的，如，單元；五是元素、要素，如，一元論、二元論[1]．西方文化背景下的“元”源于英文“meta”，有“……之上、之后”和“超越”等意思．它反映了西方文化形而上、理性至上的傳統(tǒng)，意味著一種更高級的邏輯形式．如，“元哲學”“元教育學”“元社會學”“元數(shù)學”等各種“元理論”中的“元”．這里的“元”是指中國文化背景下的“元”．它在時間上先于同類事物，在功能上影響和決定同類事物．

2.1.2 “元指導”的含義

“元指導”是指為了有效地幫助學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，促進他們能力和素養(yǎng)的發(fā)展，從學習的條件、原理、規(guī)律和構(gòu)成要素出發(fā)，對學生的學習與研究進行具有較強觀念性、策略性、框架性的指導．它的主要目的是弄清楚學習與研究的目標、思路、策略與框架，而不是具體的方法和細節(jié)；它的著力點是揭示學習與研究的大背景、大問題、大框架，明晰與解決大問題相適應的大觀念、大思路和大策略．這里的“大背景”是指蘊含著比較大的數(shù)學問題的比較大的情境或背景；“大問題”是指時間上先于其它問題，內(nèi)容上涵蓋其它問題，其它問題由它派生出來，或其它問題的解決是為之服務的具有較強本原性、根本性的學科核心問題，亦即對整個單元學習和研究起統(tǒng)率與引領(lǐng)作用的問題．

2.1.3 “元指導”的特征

有研究指出，教對學的指導應突出多樣性、必要性、整體性、靈活性和合理性[2]．與通常的學習指導相比，“元指導”具有下列特征．

一是初始性．心理學研究表明：預告呈現(xiàn)概念框架和總括地圖、提供認知策略有助于學習者較快較深入地學習[3]；在學習特定的主題或解決特定的問題之前，缺乏基礎(chǔ)性、觀念性思維框架指導的學習與探究是盲目的、低效的、不經(jīng)濟的．“元指導”宜在問題提出和解決之初進行，而不宜在研究過程中和研究之后進行．因為只有這樣，它才能為后續(xù)學習提供觀念、框架和策略的支撐．

二是觀念性．每個學科（包括各數(shù)學分支）都有一些對本學科學習和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數(shù)學思想方法和基本思維策略方法，它們共同組成這個學科的學科觀念．發(fā)展學生的學科觀念，既是學科教學的重要目標，也是學生學好本學科的重要途徑與方式．“元指導”的觀念性主要表現(xiàn)在：（1）它是在信念、策略、原理等方面對學生如何提出問題與解決問題進行指導；（2）它的產(chǎn)生和提出是自然的、合理的，甚至是必然的，它的源頭是普通的數(shù)學常識而不是什么高深的理論；（3）它著眼于形成、完善和發(fā)展解決問題的心智系統(tǒng)，為以后解決同類問題或更具一般性、普遍性的問題做好準備，而不是就事論事地解決眼前問題．

三是框架性．波利亞曾指出：“如果你深入到細節(jié)中去，你就可能在細節(jié)中迷失自我．過多過細的枝節(jié)對思維是一種負擔．它們會阻礙你對要點投入足夠的注意力，甚至會使你全然看不到要點．”[4]“元指導”的框架性是指為了解決大問題，建立一種具有較強結(jié)構(gòu)性、整體性的解決問題的思路與框架．也就是說，“元指導”不針對局部或細節(jié)的問題，也不探討具體的、細枝末節(jié)的技能與技巧，它的目的是形成初步的、框架性解決問題的方案．

四是系統(tǒng)性．“元指導”的系統(tǒng)性有如下3層含義．（1）將待解決的問題作為一個整體、一個系統(tǒng)來看待和處理；（2）從宏觀上、整體上進行指導，形成一個系統(tǒng)的、連貫的、邏輯一致、前后呼應并相互支持的指導體系，因為思維應是“一個持續(xù)的、有步驟的過程；前一步?jīng)Q定后一步的結(jié)果，后一步參照前一步的成因；一步一步，相因而發(fā)生，相輔而成立……相互連貫，持續(xù)地向著一個共同的目標前進”[5]；（3）這種系統(tǒng)性、連貫性是通過揭示數(shù)學知識內(nèi)在的結(jié)構(gòu)、聯(lián)系來實現(xiàn)的，因為思維的中心因素是“一種事物指示或預示另外一種事物”[6]．

五是激勵性．“所有圖式，不管它是什么，都同時是情感的和認知的”[7]；智力只提供方法與技術(shù)，而情感則為行為指定目標、提供能量[8]．“元指導”的激勵性主要表現(xiàn)在如下4個方面．（1）氛圍激勵，即讓學生在良好的氛圍中，以愉悅的心情學習與探究；（2）問題激勵，讓學生在好奇心、好勝心的驅(qū)動下，帶著問題學習與探究；（3）價值激勵，即明確眼前學習與后繼學習的關(guān)系，以及知識在生活中可能的應用；（4）信念引領(lǐng)，即通過彰顯數(shù)學的美和邏輯力量激勵學生．

六是發(fā)展性．智育的本質(zhì)是智力發(fā)展與思維習慣、思維品質(zhì)的優(yōu)化；教育的本質(zhì)是面向未來的．“元指導”不僅關(guān)注學生能否解決眼前面臨的問題，也關(guān)注他們今后能否解決同類問題和相關(guān)問題；不僅期待學生能在教師的指導下解決問題，也期待他們今后能夠獨立地解決問題．

2.2 “元指導”的功能與價值

2.2.1 能滿足大概念教學和單元教學的需要

大概念教學、單元教學的特點是“大”；而通常學習指導的特點是“小”，即注重局部、細節(jié)，重在解決眼前面臨的問題．大概念教學、單元教學的價值取向是更好地發(fā)展學生的能力，提升他們的核心素養(yǎng)；而通常學習指導的價值取向則是更好地傳授知識和訓練技能，提高學生的考試成績．“元指導”的特點決定了它重本源、重根本、重“四大”（即大背景、大問題、大框架、大策略），因此它能滿足大概念教學和單元教學的需要．

2.2.2 為高認知挑戰(zhàn)和深度學習搭建平臺

盡管理論上大家都認可“自主探究式”學習是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的有效途徑與方式，但實際情況往往是“自主探究式”學習既沒有發(fā)展學生的思維能力，也不利于“四基”的落實．究其原因，主要是因為學生沒有掌握相應的普適性強的認知策略與方法，而教師也沒有為學生的探究提供強有力的認知策略支持．因此有效的“自主探究式”學習既需要填平學生獨立探究問題所需要的能力與他們實際能力之間的鴻溝，又不能使教師的教淪落為灌輸．“元指導”就是具有這種功能的教，它為學生的高認知挑戰(zhàn)和深度學習搭建了有效的載體與平臺．

2.2.3 有利于提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)的內(nèi)核是價值、精神與觀念；核心素養(yǎng)的主體是人的思考力與學習力，是主動學習、主動探究的意識與能力．核心素養(yǎng)離不開知識，但知識未必能轉(zhuǎn)化為素養(yǎng)．“元指導”把數(shù)學知識作為學生自主探究和建構(gòu)的對象，從思維的原理與方法出發(fā)對學生的探究進行帶根本性、原理性的指導，著力教給學生“結(jié)構(gòu)更好、層次更高、價值更大的知識”[9]，有利于學生在有意義的學習過程中獲得有意義的結(jié)果，有利于學生知識、技能、思維、品性的協(xié)調(diào)發(fā)展和綜合發(fā)展，有利于學生所學的知識與技能更好地轉(zhuǎn)化為能力與素養(yǎng)．

3 “元指導”的依據(jù)與策略

許多學者從不同視角對數(shù)學學習指導進行了深入的研究．有學者指出，應利用數(shù)學是常識的精微化指導數(shù)學教與學[10]；也有學者提出，應利用數(shù)學方法論[11-12]、認知彈性理論[13]指導數(shù)學教與學．“元指導”的實質(zhì)是從情感與認知兩方面為學生的探究提供先行組織者．它通過明確學習的目標與價值來促進學生形成學習的心理傾向，通過提供認知策略、概念框架和心理地圖提升學生的認知能力．

3.1 數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與生成機制

教學目標影響甚至決定著教學方法與學習方法；反之，教學方法與學習方法也影響甚至決定著教學目標的落實，決定著學生學到知識的類別與認知維度．“元指導”應圍繞核心素養(yǎng)，為更好地培育、提升學生核心素養(yǎng)展開；應基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與孕育機制展開．實施“元指導”時，應既有各學科共同的目標——中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)意識，也有數(shù)學學科核心素養(yǎng)意識；應在充分認識和把握數(shù)學教學目標的整體性與層次性的基礎(chǔ)上，處理好數(shù)學知識、技能、思想方法與核心素養(yǎng)的關(guān)系，既注重“四基”“四能”的落實，又有意識地對“四基”“四能”進行提煉和升華，使之更好地積淀為包含理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等在內(nèi)的科學精神[14]；應更多地關(guān)注思維的緣由、依據(jù)、過程與方法，而不僅僅是思維的結(jié)果；應讓學生更多地在更高水平上參與問題體系的建構(gòu)和問題解決策略的探討，因為素養(yǎng)只能在親身實踐、用心感悟的過程中形成與發(fā)展．

3.2 數(shù)學知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯

每門學科的發(fā)展都有其內(nèi)在的邏輯．數(shù)學及其各分支的發(fā)展通常都遵循“大三步曲”——源于生活、高于生活、服務于生活．數(shù)學發(fā)展的基本途徑與方式是舍棄物質(zhì)的一切非數(shù)學屬性，從數(shù)與形兩方面對現(xiàn)實世界進行歸納、抽象、建模，是借助直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算思考和解決問題．數(shù)學先是通過抽象化、理想化、符號化把現(xiàn)實世界的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題、數(shù)學模型，再通過公理化、結(jié)構(gòu)化、形式化對數(shù)學材料進行組織、整理和拓展，建構(gòu)特定的數(shù)學知識體系[15]．數(shù)學學科中，解決問題的基本思維方法是建立概念，明晰概念與概念之間的聯(lián)系——定理，再從概念、定理出發(fā)，進行運算或推理．數(shù)學概念的建立、數(shù)學定理的確認都有其內(nèi)在的標準與要求．數(shù)學不僅建構(gòu)了具有統(tǒng)一性、簡約性、結(jié)構(gòu)性與和諧性的知識大廈，而且還提供了能夠有效地解決各種現(xiàn)實問題的數(shù)學技術(shù)與工具，形成了“逢山開路、遇水架橋”、追根溯源、嚴謹求實、崇尚理性的數(shù)學文化與數(shù)學精神．

3.3 學生的數(shù)學認知基礎(chǔ)與研究障礙

由于“學習在很大程度上依賴于個體和與之發(fā)生相互作用的環(huán)境事件”[16]，并且“每一種新的性能的學習都有不同的先前學習的起點并且很可能也要求不同的外部情境”，教學“首先必須注意存在于學習者內(nèi)部的性能，其次要注意學習者外部的刺激情境”[16]．因此“元指導”應幫助學生在數(shù)學問題的提出和解決與他們認知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)觀念、相關(guān)經(jīng)驗之間建立起清晰的、實質(zhì)性的聯(lián)系，以便更好地克服研究的困難與障礙．也就是說，只有基于學生的認知基礎(chǔ)、認知潛能，搞清楚哪些問題學生能夠自主解決，哪些問題學生可能會遇到障礙，以及為克服這些障礙需要教師指導什么、指導到何種程度，“元指導”才能取得好的效果．

3.4 以數(shù)學問題的提出和解決為重點

數(shù)學的核心是問題與解，“為全體學生的中小學數(shù)學，其核心應放在人類數(shù)學問題的提出和解決上”[17]，因此數(shù)學學習的核心是如何從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題．這既是數(shù)學課程的重要目標，也是提高學生“四能”的重要途徑與方式，是發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要手段．鑒于發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題具有十分重要的教育價值，并且學生在這方面的意識與能力又十分薄弱，因此數(shù)學教學應加強發(fā)現(xiàn)和提出問題策略的指導．鑒于學生自主建構(gòu)數(shù)學概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理法則、解決數(shù)學產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的問題的能力也十分薄弱，并且數(shù)學教學又不能降格為灌輸和機械模仿，因此數(shù)學教學應加強學生自主建構(gòu)知識和解決問題策略的指導．由于抓住了數(shù)學問題及其解決策略的指導，就抓住了數(shù)學教學的核心與關(guān)鍵，因此“元指導”的重點應放在數(shù)學問題的提出與解決上，放在數(shù)學問題提出與解決的原則、策略與方法上．應通過“元指導”，幫助學生形成以大問題為核心、具有思維導圖與研究的技術(shù)路線圖性質(zhì)的數(shù)學問題體系，形成既能解決當前問題又具有較強遷移功能的解決問題的策略與方法體系．

3.5 強化學習與研究的“四大”

“元指導”尤其適宜于單元起始教學，它與通常的學習指導有明顯的區(qū)別．這種區(qū)別主要表現(xiàn)在：第一，“元指導”突出和強化“四大”，即大背景、大問題、大框架、大策略，它更加重視從宏觀上、整體上為解決一般問題提供普適性強的思路與策略，更加重視學科的一般觀念與解決問題的基本思路；第二，“元指導”要求形成“心智引領(lǐng)”（即統(tǒng)領(lǐng)性、原理性強的解決問題的思路）、“支架引領(lǐng)”（即整體性、結(jié)構(gòu)性強的解決問題的具體方案）、“技術(shù)引領(lǐng)”（即突破難點的技術(shù)與方法）三位一體，完整的、層次分明的指導體系；第三，“元指導”反對就知識論知識、就技能論技能，它要求揭示數(shù)學知識、數(shù)學技能背后所蘊含的數(shù)學思維與問題解決策略，它追求的是知識、技能、思維、策略、情感等要素的相互融合與相互促進[9]．

4 一個案例——集合單元的“元指導”

4.1 集合單元“元指導”的基礎(chǔ)與依據(jù)

4.1.1 知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯

集合是高中數(shù)學的起始課，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言，集合思想是現(xiàn)代數(shù)學的基本思想方法．集合概念不僅是刻畫具有“類”特征的研究對象的需要，更是從數(shù)學視角對它們進行簡捷、準確處理的需要，即運算的需要．集合單元面臨的主要問題有兩個：一是如何用準確無誤的數(shù)學概念來界定數(shù)學研究對象的范圍；二是如何建立關(guān)于這些研究對象的運算及其運算法則．由于準確無誤的運算需要建立在嚴謹?shù)摹⑶逦?、毫無歧義的概念的基礎(chǔ)上，因此集合概念、集合間的關(guān)系、集合運算是一個前后一致、邏輯連貫的整體．集合概念是集合運算的基礎(chǔ)，同時也正是集合運算的需要，決定了集合元素應具有確定性、互異性與無序性．構(gòu)建集合概念只解決了如何刻畫作為研究對象的“類”的問題，是集合研究的第一步；研究集合間的關(guān)系既是深化對集合認識的需要，也是為集合運算鋪平道路的需要，是集合研究的第二步；研究集合的第三步亦即其深層次目的，是要建立集合運算，進而使集合作為思想與工具具有更大的威力與價值．

4.1.2 學生認知基礎(chǔ)與研究障礙

數(shù)學知識、數(shù)學經(jīng)驗方面，學生已經(jīng)在小學、初中接觸過整數(shù)集、解集、有理數(shù)集等，也有“物以類聚，人以群分”的生活經(jīng)驗，但他們對集合概念及其表示法等缺乏清晰的、系統(tǒng)的認識；他們有數(shù)的大小比較、數(shù)的運算方面的經(jīng)驗，但由于集合與數(shù)存在較大的差異，他們往往難以類比和遷移．思維策略與數(shù)學能力方面，學生解決現(xiàn)成的、有固定模式的數(shù)學習題能力較強，而建構(gòu)數(shù)學概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理方面的能力非常薄弱．學習習慣、學習方式方面，學生習慣于接受現(xiàn)成的、成熟的知識，而不習慣于自主探究、自我建構(gòu)知識．

集合單元學習，學生會遇到如下4個難點．一是集合概念的建構(gòu)，因為學生往往不理解集合概念的產(chǎn)生背景與目標指向，并且他們也缺乏建構(gòu)類似概念的經(jīng)驗；二是集合表示方法的探索與建構(gòu)，因為學生不會自覺地根據(jù)嚴謹、簡潔、準確的原則探索集合的表示方法，并且他們往往從形式上而非本質(zhì)上理解集合的表示方法；三是集合思想的形成與集合語言的運用，因為它們不僅與學生原來的思維習慣和語言習慣有較大的差異，而且都需要較長時間的實踐才能真正形成和發(fā)展；四是類比數(shù)的運算，建立集合的基本運算法則，并據(jù)此進行相關(guān)運算．

4.1.3 核心素養(yǎng)的生成機制

集合單元教學，如果學生以“聽講接受”的方式獲取知識，那么他們將失去一個發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的機會；如果學生以“自主探究”的方式獲取知識，那么他們將面臨自身認知基礎(chǔ)與能力的不足，實際效果也將不如人意．因此基于發(fā)展核心素養(yǎng)的需要，對學生進行“元指導”是解決“聽講接受”與“自主探究”矛盾的最好途徑與方式．

為了更好地促進核心素養(yǎng)的生成，數(shù)學探究應是在明確的數(shù)學問題驅(qū)動下，在明確的思維策略引導下的理性的、有條理的、合乎邏輯的思考與探究，而不是小白鼠走迷宮式的偶然發(fā)現(xiàn)，不是“摸著石頭過河”和“瞎子摸象”式的探究．就單元教學而言，這種探究不應一開始就陷入局部的細節(jié)問題，而應先探索解決問題的總體思路與框架．相應地，基于單元、指向核心素養(yǎng)的“元指導”應建構(gòu)學習與探究的技術(shù)路線圖，促進學生自主、有效地建構(gòu)數(shù)學知識，促進他們知識、技能、思維與品性的協(xié)調(diào)發(fā)展；應盡可能在學生學習本單元內(nèi)容之初進行，以便為后續(xù)學習提供先行組織者．如果難以一次性完成，或?qū)W生一時無法理解與消化，也可安排部分“元指導”在學習過程中進行．需要注意的是，“元指導”并不是教師的“獨角戲”，應盡可能多地讓學生參與討論與建構(gòu)．

4.1.4 集合單元的學習目標

根據(jù)學習內(nèi)容的特點及其所蘊含的教育價值，基于學生的認知基礎(chǔ)與認知潛能，制定集合單元的學習目標如下．

（1）通過實例，理解集合的含義，理解集合與元素的關(guān)系、集合元素的特征；理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集、真子集；理解并集、交集、補集的含義，能求兩個集合的并集、交集和給定全集的子集的補集．

（2）能體會、感受和欣賞集合語言的簡潔性與準確性，能分別用自然語言、圖形語言和符號語言刻畫集合，表達集合的基本關(guān)系與基本運算．

（3）經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出、分析與解決相關(guān)數(shù)學問題的過程，能感受和體會集合概念、集合基本關(guān)系、集合基本運算的建構(gòu)思路與方法，能感受和體會集合知識形成與發(fā)展過程中所蘊含的數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算等思想與方法．

4.2 集合單元“元指導”的步驟與方法

4.2.1 揭示大背景 提出大問題

鑒于任何問題的產(chǎn)生都有其背景、緣由與目標指向，并且明確這些對學生理解知識的來龍去脈、學會發(fā)現(xiàn)與提出問題具有重要的意義，因此“元指導”應揭示數(shù)學問題產(chǎn)生的背景與緣由．

學生學習集合的大背景是數(shù)學的學科特點與功能——“數(shù)學是刻畫現(xiàn)實世界的語言與工具，是運算和推理、表達和交流的語言與工具”；“物以類聚，人以群分”是一種常見的自然和社會現(xiàn)象，人們往往需要以“類”為單位對事物進行研究，搞清楚同“類”事物的共同屬性，“類”與“類”之間的關(guān)系，以及“類”與“類”之間的運算．根據(jù)這個大背景，提出如下大問題：如何從數(shù)學角度刻畫某些具有“類”特征的研究對象，進而明確它們之間的關(guān)系，建立它們之間的運算？

4.2.2 建立大框架 明確大思路

天下大事作于細，天下難事作于易．解決大問題，需要把它分解為一系列“子問題”“孫問題”，建立相應的大框架，明確相應的大思路．“元指導”盡最大可能建構(gòu)清晰完整的、以大問題為核心的問題體系，形成解決大問題的大框架與大思路（見表1）．

表1 解決集合單元大問題的大框架與大思路

建立大框架、明確大思路時，需要注意如下幾點．第一，盡可能多地讓學生參與討論和建立，盡可能讓學生明白每一個問題提出的背景與緣由．如，子問題1提出的背景與緣由是數(shù)學是基于概念的，數(shù)學概念是數(shù)學思維的出發(fā)點，界定概念、表征概念是數(shù)學研究的基礎(chǔ)；子問題2提出的背景與緣由是數(shù)學是研究關(guān)系的科學，搞清楚集合與集合之間的關(guān)系是建立集合運算的前提和基礎(chǔ)；子問題3提出的背景與緣由是數(shù)學是關(guān)于算子與算法的科學，運算是數(shù)學的威力之所在，通過運算高效、便捷地處理研究對象是數(shù)學研究問題的基本方式，建立集合運算法則，研究集合運算律是集合知識發(fā)展的邏輯必然．第二，問題的價值在于引發(fā)學生思考、促進學生學習，因此不必過于在意學生能否解決這些問題，尤其不能要求或希望學生在單元起始課就能解決．有些問題可由教師自問自答，有些問題可讓學生合作討論，有些問題可只解決其中部分環(huán)節(jié)．第三，根據(jù)學習與研究的需要，可對分解所得子問題繼續(xù)進行分解，盡可能形成清晰的、層次分明的問題體系．

4.2.3 形成大策略 尋求大方法

如果說建立解決問題的大框架應重在遵循數(shù)學知識發(fā)展的內(nèi)在邏輯，那么形成解決大策略應重在遵循學生思維發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律．

策略方法1：歸納、抽象、建模．歸納、抽象、建模是建構(gòu)數(shù)學概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理法則最常用的思維策略與思維方法．集合單元教學中，無論是集合的概念、表示法，還是集合間的基本關(guān)系與基本運算，都應通過歸納、抽象、建模得到．教師應讓學生親身經(jīng)歷完整的抽象與建模的過程——感知與識別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化，不斷豐富他們的歸納、抽象、建模經(jīng)驗，提高他們的歸納、抽象、建模能力[15]．

策略方法2：回歸現(xiàn)實，尋求啟示．數(shù)學源于現(xiàn)實，高于現(xiàn)實；數(shù)學定理法則與客觀現(xiàn)實具有高度的一致性．回歸現(xiàn)實，從現(xiàn)實中尋找啟發(fā)、啟示是解決數(shù)學問題的基本策略與方法之一．集合單元教學，不僅應通過考察現(xiàn)實世界中的具體研究對象建構(gòu)集合概念，而且還應該通過回歸現(xiàn)實、考察現(xiàn)實世界中研究對象的基本關(guān)系和“基本運算”來探索、建構(gòu)集合的基本關(guān)系和基本運算．

策略方法3：類比實數(shù)大小關(guān)系和實數(shù)運算．任何問題的解決總是或多或少地基于原有的相關(guān)經(jīng)驗，基于待解決問題與已解決問題之間的相似性，因此應尋找已有的相關(guān)經(jīng)驗，尋找與待解決問題具有相似性的已經(jīng)解決的問題．類比是一個偉大的引路人．研究集合的基本關(guān)系與基本運算宜類比實數(shù)．因為“實數(shù)系是一切具有運算的體系的標兵，讓任意運算的對象和數(shù)類比，讓任意對象的運算和數(shù)的運算對比，不僅能使我們獲得需要的研究問題，而且能使我們產(chǎn)生研究方法的靈感”[18]．

策略方法4：從概念和定理出發(fā)思考問題．數(shù)學概念是清晰的、準確的，數(shù)學定理是嚴謹?shù)?、毫無疑義的．數(shù)學大廈是基于概念和定理建構(gòu)的，數(shù)學概念和定理是數(shù)學思維的出發(fā)點．從概念和定理出發(fā)思考問題是常用的數(shù)學思維策略與方法．因此應基于集合概念探索集合的表示方法、基本關(guān)系、基本運算，應基于集合的基本關(guān)系探索集合的基本運算．

策略方法5：尋找集合關(guān)系與集合運算的幾何直觀．由于數(shù)學大廈是通過舍棄物質(zhì)的一切非數(shù)學屬性，從數(shù)與形兩方面對現(xiàn)實世界進行抽象建構(gòu)的，因此從數(shù)與形兩方面入手是分析數(shù)學問題、解決數(shù)學問題的基本策略與方法．由于“圖形不僅是幾何題目的對象，而且對任何一開始跟幾何沒有關(guān)系的題目，圖形也是一個重要的幫手”[4]，因此應“把遇到的數(shù)量關(guān)系設法用幾何圖形表示出來”[18]．就集合單元教學而言，不僅應充分利用韋恩圖來形象地說明集合的基本關(guān)系與基本運算，而且還應注意圖形語言、文字語言與符號語言之間的相互轉(zhuǎn)換．

5 結(jié)束語

“元指導”是一個新的有待深入研究的課題．應加強對“元指導”的研究，開展對學習指導的指導，使“元指導”更好地服務于數(shù)學課程改革和教學改革，更好地促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展．

[1] 辭海編輯委員會．辭海（第六版縮印本）[M]．上海：上海辭書出版社，2010：2?337．

[2] 羅萍萍．教學指導方式多樣化策略的實證研究[J]．數(shù)學教育學報，2012，21（4）：48–51．

[3] E·詹森．基于腦的學習[M]．梁平，譯．上海：華東師范大學出版社，2008：69–73．

[4] G·波利亞．怎樣解題[M]．涂泓，馮承天，譯．上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?002：77，105．

[5] 約翰·杜威．思維的本質(zhì)[M]．孟憲承，俞慶棠，譯．北京：臺海出版社，2018：4–5．

[6] 約翰·杜威．我們怎樣思維 經(jīng)驗與教育[M]．伍中友，譯．北京：人民教育出版社，2005：17．

[7] 克努茲·伊列雷斯．我們?nèi)绾螌W習[M]．孫玖璐，譯．北京：教育科學出版社，2010：83．

[8] 皮亞杰．智力心理學[M]．嚴和來，姜余，譯．北京：商務印書館，2016：23．

[9] 李昌官．布盧姆認知目標新分類指導下的數(shù)學教學設計[J]．數(shù)學教育學報，2012，21（3）：67–71．

[10] 寧連華，涂榮豹．利用數(shù)學是常識的精微化指導數(shù)學教與學[J]．數(shù)學教育學報，2001，10（1）：25–27．

[11] 張玉峰，芮文娟，周圣武．用數(shù)學方法論指導大學數(shù)學教學[J]．數(shù)學教育學報，2014，23（5）：76–78．

[12] 常瑞玲．用數(shù)學方法論指導極限概念教學的嘗試[J]．數(shù)學教育學報，2000，9（1）：78–80．

[13] 李明振，龐坤，宋乃慶．認知彈性理論指導下的高師數(shù)學建模教學[J]．數(shù)學教育學報，2007，16（1）：96–99．

[14] 核心素養(yǎng)研究課題組．中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)[J]．中國教育學刊，2016（10）：1–3．

[15] 李昌官．數(shù)學抽象及其教學[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（4）：61–64．

[16] ?R·M·加涅．學習的條件與教學論[M]．皮連生，王映學，鄭葳，等譯．上海：華東師范大學出版社，1999：2，20．

[17] ?ERNEST P．數(shù)學教育哲學[M]．齊建華，張松枝，譯．上海：上海教育出版社，1998：335．

[18] 人民教育出版社．普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修1教師教學用書[M]．北京：人民教育出版社，2004：4．

Metacognitive Instruction: A Learning Instruction Model Based on Literacies and Learning Units

LI Chang-guan

(Taizhou Institute of Education and Instruction, Zhejiang Taizhou 318000, China)

Nowadays, most learning instructions are either rigid instructions or point-by-point teaching, which have limitations in fulfilling the goals of improving students’ thinking and literacy in mathematics. To achieve the teaching goals in curriculum standards, teachers should instruct students with primary ideas, systematic approaches, and positive incentives, which are termed metacognitive instructions, to develop students’ mathematical literacies through “Curriculum Content Unit” as a basic unit. The approaches and strategies of metacognitive instructions are developed based on the connotations and formation mechanism of mathematical literacies, the inner logic of the development of mathematics, and students’ cognition and obstacles. Metacognitive instruction focuses on students’ problem posing and solving and their learning background, big ideas, big framework, and big strategies they use. Finally, we show a way of using metacognitive instruction to teach students by the unit of “set.”

unit-based teaching; metacognitive instruction; instruction model; mathematical literacies

G40–032

A

1004–9894（2020）05–0064–05

李昌官．元指導：基于素養(yǎng)與單元的學習指導范式[J]．數(shù)學教育學報，2020，29（5）：64-68．

2020–04–10

浙江省教研課題——高中數(shù)學研究型教學實踐與探索（10455）

李昌官（1964—），男，浙江臨海人，正高級教師，特級教師，博士，教育部國培專家，主要從事中學數(shù)學課程與教學研究．

[責任編校：周學智、張楠]