陶紅強(qiáng)

小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)分析框架的構(gòu)建

陶紅強(qiáng)

（溧陽(yáng)市湯橋小學(xué)，江蘇 常州 213300）

符號(hào)意識(shí)作為學(xué)生的核心素養(yǎng)，理應(yīng)受到重視．構(gòu)建一個(gè)能從具體行為層面來(lái)分析小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的框架，是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的重中之重．基于國(guó)內(nèi)外有關(guān)符號(hào)意識(shí)操作性定義的分析，結(jié)合相關(guān)理論與實(shí)踐，構(gòu)建了一個(gè)關(guān)于小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)3個(gè)維度（符號(hào)認(rèn)識(shí)、符號(hào)理解、符號(hào)運(yùn)用），15個(gè)具體成分的分析框架．

小學(xué)段；符號(hào)意識(shí)；分析框架；維度

數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)作為小學(xué)生的一個(gè)重要核心素養(yǎng)[1]，理應(yīng)受到數(shù)學(xué)教育的重視．目前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于符號(hào)意識(shí)的研究主要集中在其內(nèi)涵的界定、要素的構(gòu)成和策略的培養(yǎng)3個(gè)方面．而作為一線教師，最為困惑的是不能從操作層面來(lái)有效培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)．究其原因，符號(hào)意識(shí)的內(nèi)隱性導(dǎo)致廣大一線教師不能有效地將抽象的符號(hào)意識(shí)概念具體化到行為層面，繼而不具有可操作性．因此，構(gòu)建一個(gè)能分析小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展水平的分析框架，即構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的行為評(píng)估指標(biāo)，是非常必要而又緊迫的．研究者嘗試在符號(hào)意識(shí)內(nèi)涵（主要從符號(hào)意識(shí)的操作性定義）的分析基礎(chǔ)上，對(duì)小學(xué)階段有關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)內(nèi)容及其符號(hào)意識(shí)的表現(xiàn)形式進(jìn)行梳理，并結(jié)合相關(guān)理論對(duì)教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生表現(xiàn)出的符號(hào)意識(shí)做出分析，最終構(gòu)建出小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的分析框架．

1 對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)

關(guān)于符號(hào)意識(shí)內(nèi)涵的界定，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了大量有價(jià)值的探討，雖然在認(rèn)識(shí)上還不統(tǒng)一，但主要集中在3個(gè)視角：“數(shù)學(xué)學(xué)科、符號(hào)學(xué)和心理學(xué)．”[1]

1.1 數(shù)學(xué)學(xué)科視角下的符號(hào)意識(shí)

“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是概念和符號(hào)，并通過(guò)概念進(jìn)行運(yùn)算和推理．”[2]從數(shù)學(xué)本質(zhì)這一視角出發(fā)，符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)應(yīng)用方面．例如，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵界定為“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性．建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式”[3]．?dāng)?shù)、數(shù)量關(guān)系、規(guī)律都是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示這些抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象，既是發(fā)展符號(hào)意識(shí)的重要途徑又是分析學(xué)生符號(hào)意識(shí)的重要途徑．同樣，對(duì)符號(hào)意識(shí)有可操作性定義的觀點(diǎn)有：“符號(hào)意識(shí)內(nèi)涵包括理解并會(huì)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理．”[4]“能夠理解并運(yùn)用符號(hào)去表示數(shù)學(xué)的意義和結(jié)構(gòu)、運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和思考．”[5]“符號(hào)意識(shí)的要求具體體現(xiàn)在符號(hào)理解、符號(hào)操作、符號(hào)表達(dá)和符號(hào)思考4個(gè)維度．”[6]可見(jiàn)，雖然上述關(guān)于符號(hào)意識(shí)的具體表述不同，但都是從數(shù)學(xué)學(xué)科視角出發(fā)的，且都是針對(duì)符號(hào)意識(shí)的行為層面來(lái)講的，具有操作性．

1.2 符號(hào)學(xué)視角下的符號(hào)意識(shí)

黃玉順教授認(rèn)為“西方符號(hào)學(xué)有3大系統(tǒng)，即索緒爾開(kāi)創(chuàng)的語(yǔ)言學(xué)系統(tǒng)、皮爾士的分析哲學(xué)系統(tǒng)與胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)符號(hào)系統(tǒng)”[7]．語(yǔ)言學(xué)研究的是符號(hào)系統(tǒng)，其關(guān)注的是“符號(hào)承載知識(shí)和信息的功能”[7]．例如，索緒爾指出符號(hào)概念：“當(dāng)事物A可以作為事物B的替代而代表事物B時(shí)，事物A就是事物B的符號(hào)．”[1]同時(shí)指出，一個(gè)符號(hào)由“能指”和“所指”組成．符號(hào)學(xué)研究的是符號(hào)本體，“探討的是符號(hào)的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)的是符號(hào)自身的特性”[7]．例如，皮爾士指出：“符號(hào)包含符號(hào)、對(duì)象和解釋3個(gè)主題，對(duì)象可以是現(xiàn)實(shí)事物或另一個(gè)再現(xiàn)符號(hào)，而符號(hào)在與對(duì)象的聯(lián)系中，在符號(hào)使用者的頭腦中便產(chǎn)生了解釋?zhuān)盵8]同樣也比較注重解釋的是胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)，其研究的符號(hào)強(qiáng)調(diào)的是對(duì)符號(hào)文本意義的解釋?zhuān)?/p>

以上符號(hào)學(xué)的3大系統(tǒng)雖然代表3種不同的視角，但都強(qiáng)調(diào)了符號(hào)的功能性和符號(hào)理解的重要性．這可以提示研究者可從符號(hào)的功能方面和學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解水平方面來(lái)設(shè)計(jì)具體行為指標(biāo)，進(jìn)而分析學(xué)生的符號(hào)意識(shí)．

1.3 心理學(xué)視角下的符號(hào)意識(shí)

從心理學(xué)的視角界定符號(hào)意識(shí)，主要是從意識(shí)出發(fā)進(jìn)行相關(guān)定義．意識(shí)是“包括感知覺(jué)在內(nèi)的一種最高級(jí)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，思維在其中起著決定性的作用，具有自覺(jué)性、能動(dòng)性、創(chuàng)造性等特點(diǎn)”[8]．可見(jiàn)，符號(hào)意識(shí)要注重人的能動(dòng)性，從操作性層面來(lái)講主要體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)與理解的主動(dòng)性．鄭毓信教授認(rèn)為：“會(huì)進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換與能選擇適當(dāng)?shù)闹刃蚝头椒ń鉀Q用符號(hào)所表達(dá)的問(wèn)題而言，主要地都應(yīng)看成一種自覺(jué)的努力．”[9]其所指的“自覺(jué)的努力”就是一種主動(dòng)性的體現(xiàn)．

基于對(duì)以上數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的三維視角（數(shù)學(xué)學(xué)科、符號(hào)學(xué)、心理學(xué)）的分析，研究者認(rèn)為小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的分析框架的構(gòu)建應(yīng)具備以下幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：第一，要關(guān)注學(xué)生的主觀能動(dòng)性，因?yàn)榉?hào)意識(shí)強(qiáng)調(diào)人的一種感悟；第二，注重?cái)?shù)學(xué)的功能性特征，既包括符號(hào)的內(nèi)在功能性又包括符號(hào)的外在功能性．本著這一指導(dǎo)方向，對(duì)6個(gè)年級(jí)的數(shù)學(xué)符號(hào)內(nèi)容進(jìn)行梳理，并對(duì)符號(hào)意識(shí)的表現(xiàn)形式做了具體的分析．

1.4 小學(xué)段數(shù)學(xué)符號(hào)類(lèi)型及其符號(hào)意識(shí)的具體表現(xiàn)

邵光華教授根據(jù)符號(hào)的意義把數(shù)學(xué)符號(hào)分為6大類(lèi)：“元素符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、結(jié)合符號(hào)、約定符號(hào)、簡(jiǎn)練表達(dá)式或縮記符號(hào)．”[10]以此為依據(jù)，并根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求、對(duì)數(shù)學(xué)教科書(shū)（蘇教版）數(shù)學(xué)符號(hào)內(nèi)容進(jìn)行梳理分析，總結(jié)得出小學(xué)段數(shù)學(xué)符號(hào)類(lèi)型及其符號(hào)意識(shí)的具體表現(xiàn)．限于篇幅，僅以元素符號(hào)為例（見(jiàn)表1）．

表1 小學(xué)數(shù)學(xué)元素符號(hào)及其符號(hào)意識(shí)的表現(xiàn)形式

由表1可以看出，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的展開(kāi)，以及隨著年級(jí)的升高，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和教科書(shū)對(duì)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的要求也在逐步提高，具體反映在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)理解的深度、廣度變化，以及學(xué)生在表達(dá)客觀事物數(shù)學(xué)關(guān)系時(shí)使用符號(hào)表達(dá)的意識(shí)、頻率、合理性、復(fù)雜性等方面的差異．例如，元素符號(hào)從對(duì)整數(shù)的會(huì)讀寫(xiě)到分?jǐn)?shù)、小數(shù)的意義理解再到字母的表示與運(yùn)用；而對(duì)字母符號(hào)的理解又從某數(shù)的替代提升到變量的理解．這些方面為接下來(lái)的研究有著兩方面的啟示：第一，在設(shè)計(jì)可觀察、可測(cè)量的符號(hào)意識(shí)行為指標(biāo)時(shí)，要有發(fā)展梯度，即設(shè)計(jì)不同年度梯度的分析指標(biāo)；第二，以此為依據(jù)進(jìn)一步指導(dǎo)在教學(xué)實(shí)踐中對(duì)學(xué)生表現(xiàn)出的不同符號(hào)意識(shí)進(jìn)行調(diào)查分析．

2 教學(xué)實(shí)踐中數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的具體表現(xiàn)及分析

2.1 關(guān)于符號(hào)理解

（1）關(guān)于字母、式子的理解．

在課題組老師執(zhí)教的“運(yùn)算律”這節(jié)課中，有這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：出示式子“30×12-15×6”，然后讓學(xué)生給其編題，從符號(hào)意識(shí)的角度看，這是考察學(xué)生的符號(hào)理解水平，然而在學(xué)生的回答中錯(cuò)誤率是很高的，也就說(shuō)明學(xué)生對(duì)于理解式子在現(xiàn)實(shí)情境中的意義是存在差異的．受此啟發(fā)，在考察學(xué)生的符號(hào)意識(shí)中應(yīng)有這樣一個(gè)成分，即“理解式子在現(xiàn)實(shí)情境中的意義”．

在六年級(jí)“解決問(wèn)題的策略——替換”例題教學(xué)中，有的學(xué)生用方程做，老師在分析學(xué)生寫(xiě)的解設(shè)“小杯容量ml，則大杯容量為3ml”時(shí)，提出這樣一個(gè)問(wèn)題：小杯容量中的與大杯容量3中的所代表的意義一樣嗎？對(duì)于此問(wèn)題，研究者在聽(tīng)課時(shí)留意了一下，只有很少學(xué)生舉手，而且第一個(gè)回答的學(xué)生回答的是“不一樣”．由此可見(jiàn)，理解同一字母在同一情境中的意義也是符號(hào)意識(shí)的重要成分，并由此想到同一字母在不同情境中的意義也是符號(hào)意識(shí)的重要成分．例如，對(duì)于公式=×÷2與公式=×，這兩個(gè)公式中的代表的意義一樣嗎？只有學(xué)生理解了其字母所代表的具體意義，才能更好地理解其式子的意義．可見(jiàn)，使學(xué)生懂得符號(hào)的意義既是學(xué)校數(shù)學(xué)教育的目的之一，又是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的一個(gè)重要途徑[11]．

（2）理解圖像、表格、符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換．

對(duì)于同樣的數(shù)學(xué)對(duì)象，不同的學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)所表現(xiàn)出的符號(hào)意識(shí)水平也是有差異的，如圖1~圖3所示．

圖1 學(xué)生符號(hào)意識(shí)水平（一）

圖2 學(xué)生符號(hào)意識(shí)水平（二）

圖3 學(xué)生符號(hào)意識(shí)水平（三）

從圖1到圖3所反映的學(xué)生水平是有層次的，是典型的由圖像表達(dá)到符號(hào)表達(dá)，特別是圖2更是清晰地表達(dá)了圖像與符號(hào)之間的層次關(guān)系．為發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)該題解答的兩種水平是否有顯著差異，隨后以該題為研究材料，選取二年級(jí)、三年級(jí)、五年級(jí)總共141位同學(xué)參與調(diào)查，利用SPSS處理數(shù)據(jù)，進(jìn)行兩獨(dú)立樣本檢驗(yàn)（結(jié)果見(jiàn)表2）．表2結(jié)果顯示=0.000，即圖像表達(dá)和符號(hào)表達(dá)的兩種水平存在顯著差異．由此看來(lái)符號(hào)表達(dá)是最抽象的，是以語(yǔ)言表達(dá)、圖像表達(dá)為基礎(chǔ)的．關(guān)于這一點(diǎn)，也可以從以下統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)得到較好的說(shuō)明．

表2 兩種水平獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)

針對(duì)表3的題目選取五年級(jí)3個(gè)班100位同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查（統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表4）．根據(jù)表4，可以發(fā)現(xiàn)：在能正確找到規(guī)律的同學(xué)中，用文字?jǐn)⑹龅囊h(yuǎn)高于用具體式子表示的和用字母符號(hào)表示的．可見(jiàn)，數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的形成要經(jīng)歷“語(yǔ)言—表象—符號(hào)”這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理過(guò)程．這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理過(guò)程，與英國(guó)數(shù)學(xué)教育家利貝克的4個(gè)基本環(huán)節(jié)是基本吻合的．利貝克“認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以概括為經(jīng)驗(yàn)、語(yǔ)言、圖像和符號(hào)4個(gè)基本環(huán)節(jié)，這4個(gè)環(huán)節(jié)可以構(gòu)成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本過(guò)程”[12]．以上教學(xué)實(shí)踐有兩點(diǎn)啟示：第一，符號(hào)意識(shí)發(fā)展是具有不同層次的，即學(xué)生的符號(hào)理解是具有層次性的；第二，符號(hào)意識(shí)是關(guān)于學(xué)生的語(yǔ)言（文字）、圖像、表格、符號(hào)的一個(gè)體系的構(gòu)成，分析學(xué)生的符號(hào)意識(shí)要注重學(xué)生在自然語(yǔ)言即利貝克所說(shuō)的經(jīng)驗(yàn)與圖像、表格、符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換．正如Arcavi所認(rèn)為的“符號(hào)意識(shí)應(yīng)體現(xiàn)在具有從信息（語(yǔ)言和圖表）中建構(gòu)符號(hào)關(guān)系的意識(shí)，并能建構(gòu)符號(hào)關(guān)系”[13]．

表3 解決問(wèn)題（從表格中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律）

表4 幾種描述水平情況統(tǒng)計(jì)

2.2 關(guān)于符號(hào)表示

圖4是五年級(jí)學(xué)生在學(xué)了“因數(shù)和倍數(shù)”后所做的作業(yè)，學(xué)生在沒(méi)有任何要求和提示下主動(dòng)將省略號(hào)改寫(xiě)成字母概括的方式．這表明學(xué)生是有著符號(hào)表示的意識(shí)的，也就是說(shuō)，學(xué)生有符號(hào)表示的主動(dòng)性的．但對(duì)兩個(gè)班，總計(jì)77人，主動(dòng)這樣寫(xiě)的學(xué)生總共有4人，成功率僅為5%．也就是說(shuō)學(xué)生的主動(dòng)性即意識(shí)在整體層面是相當(dāng)?shù)偷?，這也啟發(fā)研究者在制定小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)分析標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，應(yīng)將“符號(hào)表示的意識(shí)、正確性、多樣性”作為重要的分析指標(biāo)．

圖4 “因數(shù)和倍數(shù)”課后作業(yè)

2.3 關(guān)于符號(hào)思考

Zorn認(rèn)為符號(hào)意識(shí)是“從符號(hào)中抽象出涵義和結(jié)構(gòu)，有效地用符號(hào)去表達(dá)數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu)，以及操作符號(hào)發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)涵義和結(jié)構(gòu)的能力”[14]．關(guān)于這一點(diǎn)，可以從圖5~圖8很好地得出．

圖5 水平1

圖6 水平2

圖7 水平3

圖8 水平4

從圖5~圖8顯然是存在水平差異的．為更好地說(shuō)明差異情況，研究者以此題作為研究材料，選取三年級(jí)、五年級(jí)、六年級(jí)總共207人作為研究對(duì)象，做了描述性統(tǒng)計(jì)分析（結(jié)果見(jiàn)表5）．結(jié)果顯示：67.3%的人能達(dá)到水平1的層次、只有9.6%的人能表示3的所有乘方情況、有20.7%的人能發(fā)現(xiàn)3以外數(shù)字的乘方、僅有1.9%的人能用符號(hào)形式化地表示，可見(jiàn)各個(gè)水平之間的差異還是很大的．具體來(lái)說(shuō)，圖5、圖6所表明學(xué)生只能從已有的符號(hào)表達(dá)中抽象出了涵義和結(jié)構(gòu)，同時(shí)也比較有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)去表達(dá)了這種意義和結(jié)構(gòu)，但是還未發(fā)現(xiàn)新的意義和結(jié)構(gòu)．顯然從圖7和圖8看出，學(xué)生已經(jīng)由3的乘方想到其它如4、5、6等不同數(shù)字的乘方，這顯然是一種新的發(fā)現(xiàn)，表明學(xué)生是有著符號(hào)思考的意識(shí)與能力的，是可以根據(jù)已有的符號(hào)表達(dá)來(lái)發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)意義和結(jié)構(gòu)．但同樣是新的發(fā)現(xiàn)，也顯現(xiàn)出不同的水平，如圖7仍舊停留在具體的數(shù)字對(duì)象上，而圖8則抽象出字母符號(hào)，已經(jīng)脫離具體對(duì)象．從思維程度講，圖5、圖6、圖7所處在同一思維水平，即皮亞杰所稱(chēng)的具體運(yùn)算階段；而圖8所反映的思維水平則達(dá)到了形式運(yùn)算階段．可見(jiàn)，符號(hào)思考作也應(yīng)作為符號(hào)意識(shí)的一個(gè)重要分析指標(biāo)．

3 小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)分析框架的構(gòu)建

通過(guò)上述對(duì)符號(hào)意識(shí)內(nèi)涵的界定，對(duì)國(guó)內(nèi)外已有研究成果的借鑒，對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)內(nèi)容的梳理，并結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)及教學(xué)實(shí)踐的分析，構(gòu)建了包含3個(gè)維度、15個(gè)具體成分的分析框架，見(jiàn)表6．

3.1 符號(hào)的認(rèn)識(shí)（維度一）

符號(hào)認(rèn)識(shí)作為符號(hào)意識(shí)的重要維度，是發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的基礎(chǔ)．具有數(shù)學(xué)學(xué)科特質(zhì)的數(shù)學(xué)符號(hào)是與生活符號(hào)有著本質(zhì)的區(qū)別的，同樣作為數(shù)學(xué)符號(hào)內(nèi)部系統(tǒng)來(lái)講，根據(jù)其不同的意義又可將數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)．所以能準(zhǔn)確區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)和生活符號(hào)以及能正確區(qū)分同類(lèi)數(shù)學(xué)符號(hào)是符號(hào)認(rèn)識(shí)的基本要求．這與外國(guó)學(xué)者Fey所認(rèn)為的“符號(hào)意識(shí)應(yīng)包括認(rèn)識(shí)和鑒別能力”[15]是一致的．

表5 不同水平情況統(tǒng)計(jì)

表6 小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的分析框架

3.2 符號(hào)的理解（維度二）

符號(hào)理解是發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的關(guān)鍵．“符號(hào)理解就是獲得數(shù)學(xué)符號(hào)意義的過(guò)程．”[16]具體來(lái)講，是對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)所表示的數(shù)、數(shù)量關(guān)系和規(guī)律的理解．應(yīng)包括兩方面的內(nèi)容：“一是在實(shí)際情境中理解符號(hào)所代表的意義，并能解釋代數(shù)式的意義；二是能從代數(shù)式、表格圖像所表示的變量之間的關(guān)系中獲取所需的信息，并能初步理解代數(shù)式、表格、圖像之間的轉(zhuǎn)換．”[4]“對(duì)于同樣的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，學(xué)生的理解結(jié)果存在一些不同，理解過(guò)程存在一定的差異．這些不同和差異主要體現(xiàn)在理解的廣度、符號(hào)之間關(guān)系的理解、字母意義的理解等方面．”[16]可見(jiàn)，符號(hào)理解是符號(hào)意識(shí)的一個(gè)重要維度，可從理解的正確性、廣度、深度、符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換等具體層面來(lái)分析學(xué)生的符號(hào)意識(shí)．

3.3 符號(hào)的運(yùn)用（維度三）

數(shù)學(xué)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式，這里的符號(hào)運(yùn)用指的是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的符號(hào)表示、符號(hào)運(yùn)算、符號(hào)推理和符號(hào)思考．具體包括符號(hào)運(yùn)用的主動(dòng)性、正確性、復(fù)雜性、靈活性、多樣性等方面．

4 小學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)分析框架的驗(yàn)證

分析框架建立后仍需對(duì)其合理性進(jìn)行檢驗(yàn)[17]．構(gòu)建小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)分析框架的重要目的就是在具體教學(xué)中，能在具體操作層面分析和評(píng)估不同學(xué)生的符號(hào)意識(shí)發(fā)展水平，進(jìn)而進(jìn)行有針對(duì)性的培養(yǎng)．所以研究檢驗(yàn)框架合理性的基本思路為：以分析框架的具體成分為依據(jù)，編制測(cè)試題并實(shí)施測(cè)試[18]，考察不同學(xué)生（年級(jí)、成績(jī)、性別）在符號(hào)意識(shí)的不同維度（符號(hào)認(rèn)識(shí)、符號(hào)理解、符號(hào)運(yùn)用）方面是否存在顯著差異．實(shí)驗(yàn)選取某小學(xué)1~6年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，發(fā)放試卷537 份，回收537份，其中有效卷為507份，有效率為94.41%．?dāng)?shù)據(jù)分析結(jié)果見(jiàn)表7~表9，結(jié)果分析如下．關(guān)于符號(hào)認(rèn)識(shí)：符號(hào)認(rèn)識(shí)在年級(jí)方面存在顯著差異；符號(hào)認(rèn)識(shí)在數(shù)學(xué)成績(jī)方面存在顯著差異；符號(hào)認(rèn)識(shí)在年級(jí)與成績(jī)交互性方面、在年級(jí)、性別與成績(jī)的交互性方面均存在顯著差異；符號(hào)認(rèn)識(shí)在性別方面不存在顯著差異．關(guān)于符號(hào)理解：符號(hào)理解在年級(jí)方面存在顯著差異；符號(hào)理解在數(shù)學(xué)成績(jī)方面存在顯著差異；符號(hào)理解在性別方面不存在顯著差異，同樣在年級(jí)、性別、數(shù)學(xué)成績(jī)之間的交互性方面也不存在顯著差異．關(guān)于符號(hào)運(yùn)用：符號(hào)運(yùn)用在年級(jí)方面存在顯著差異；符號(hào)運(yùn)用在數(shù)學(xué)成績(jī)方面存在顯著差異；符號(hào)運(yùn)用在性別方面不存在顯著差異，但在年級(jí)與性別的交互性方面，存在顯著差異；在其它交互性方面不存在顯著差異．

表7 不同學(xué)生在符號(hào)認(rèn)識(shí)方面的方差分析

表8 不同學(xué)生在符號(hào)理解方面的方差分析

表9 不同學(xué)生在符號(hào)運(yùn)用方面的方差分析

以上分析結(jié)果說(shuō)明分析框架的維度和具體成分能反映出不同年級(jí)的學(xué)生、不同數(shù)學(xué)成績(jī)的學(xué)生、不同性別的學(xué)生以及相互交互性在符號(hào)意識(shí)方面所表現(xiàn)出的差異．差異性說(shuō)明該分析框架能夠分析不同學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展水平，在具體教學(xué)實(shí)踐中可以作為行為評(píng)估指標(biāo)，具有可操作性和合理性．同時(shí)，關(guān)于上述研究結(jié)果和其它研究成果是基本吻合的．例如，湯強(qiáng)（2009）在博士論文“七~九年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解與表示”中得出結(jié)論——學(xué)生在符號(hào)理解和表示上的不同表現(xiàn)與他們所具有的學(xué)業(yè)水平是比較一致的．總的來(lái)說(shuō)，學(xué)優(yōu)生在很多方面都明顯地優(yōu)于中等生和學(xué)困生．劉瑤（2014）在碩士學(xué)位論文“初中生符號(hào)意識(shí)現(xiàn)狀調(diào)查研究——以七年級(jí)為例”中得出結(jié)論——符號(hào)意識(shí)與數(shù)學(xué)成績(jī)呈現(xiàn)高度直線正相關(guān)關(guān)系，初中生符號(hào)意識(shí)不存在性別差異[19]．這也從另一方面說(shuō)明分析框架具有其合理性．

5 結(jié)語(yǔ)

符號(hào)意識(shí)作為一種隱性的課程目標(biāo)，需要一個(gè)科學(xué)的、合理的、可觀察的、可操作的分析框架．李艷琴和宋乃慶認(rèn)為：“可操作性定義是對(duì)小學(xué)低段數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)最本質(zhì)的揭示，是小學(xué)低段數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)內(nèi)涵維度的具體表現(xiàn)，也是小學(xué)低段學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)策略研究的出發(fā)點(diǎn)．”[20]這個(gè)觀點(diǎn)同樣適用于小學(xué)其它階段，這種具有操作性的分析框架有利于教師對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，有利于為教師培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)提供具體和可行的途徑．希望能給學(xué)生符號(hào)意識(shí)的有效培養(yǎng)提供有價(jià)值的參考．

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The Development of a Framework of Students’ Mathematical Symbolic Sense in Elementary School

TAO Hong-qiang

(Liyang Tangqiao Primary School, Jiangsu Changzhou 213300, China)

As a key competency of mathematics, symbolic sense warrants attention from mathematics educators. Given the importance of constructing a framework of student’s symbolic consciousness from specific behaviors, this study constructed such a framework from three dimensions (knowing, understanding, and application) which include 15 factors based on several previous studies that referred to the operational definitions of symbolic consciousness.

primary school; symbol consciousness; framework; dimensions

G421

A

1004–9894（2020）05–0041–05

陶紅強(qiáng)．小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)分析框架的構(gòu)建[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（5）：41-45．

2020–03–03

江蘇省常州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃第一批重點(diǎn)課題——小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)發(fā)展規(guī)律的實(shí)驗(yàn)研究（CJK-Z2018037）

陶紅強(qiáng)（1982—），男，江蘇溧陽(yáng)人，中小學(xué)高級(jí)教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論與實(shí)踐、數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]