黃勵勤 于明鑫 榮 新

(北京大學物理學院，北京 100871)

“吹泡泡”是一種有趣的游戲，五彩斑斕的泡泡中含有豐富的物理知識。[1，2]由于存在液體表面張力，吹出的泡泡穩(wěn)定時呈球形，并且泡泡內(nèi)部的氣壓比外部環(huán)境的氣壓略大，其附加壓強正比于泡泡水的表面張力系數(shù)。泡泡在自身重力作用下其薄厚不均，由于光的干涉原理使得泡泡呈現(xiàn)五彩斑斕的顏色。通過改變泡泡水的成分配比、泡泡環(huán)的形狀、或吹氣方式可以吹出不同大小和數(shù)量的泡泡。泡泡水的表面張力系數(shù)需要在一個合理的范圍區(qū)間，其系數(shù)過大或過小都不利于泡泡的形成，實驗測得泡泡水的表面張力系數(shù)通常比純水的系數(shù)小。本文選取了兩種泡泡水和兩種泡泡環(huán)，改變吹氣的流量，并通過高速攝像機定量研究泡泡的大小和產(chǎn)生速率。通過觀察發(fā)現(xiàn)本實驗中泡泡的產(chǎn)生過程是先形成泡泡柱，隨后泡泡柱徑向的振蕩逐漸加強，最終截斷形成泡泡。該過程可用普拉托-瑞利不穩(wěn)定性(Plateau-Rayleigh Instability)理論進行研究。[3，4]“吹泡泡”問題在2018年中國大學生物理學術(shù)競賽(CUPT)中也有涉及，CUPT 是全國高校本科生中開展的團體物理學術(shù)賽事，該賽事由南開大學倡導并于2010年發(fā)起，在培養(yǎng)學生科研素質(zhì)、實驗動手能力、團隊合作精神、交流表達等綜合能力方面發(fā)揮重要作用，得到全國高校的積極參與和普遍重視。[5]由于CUPT 賽事規(guī)模擴大，自2018年起在全國決賽前引入?yún)^(qū)域賽制度，2018年和2019年分別在北京航空航天大學和北京師范大學成功舉辦兩屆CUPT華北地區(qū)賽。[6，7]

1 實驗裝置及現(xiàn)象

圖1 實驗裝置圖

實驗裝置如圖1所示，主要由一個吹泡泡的氣源，和一個沾了泡泡水的泡泡環(huán)組成。在二者之間通過流量計對氣流的流量進行檢測，并用高速攝像機對實驗結(jié)果進行采集。實驗中使用一個壓縮空氣鋼瓶作為吹泡泡的氣源，其瓶口的減壓閥可以調(diào)節(jié)出口氣壓。鋼瓶輸出的氣體經(jīng)PU 氣管連接至雙環(huán)DK800-6玻璃轉(zhuǎn)子流量計，其量程為430～4300L/h。流量計可以對氣體流量進行調(diào)節(jié)，調(diào)節(jié)精度約為50L/h，流量計輸出端噴嘴的內(nèi)直徑為rN=0.5cm。高速攝像機每秒可拍攝500幀。噴出的空氣到達泡泡膜表面產(chǎn)生泡泡。本實驗采用了兩種大小的泡泡環(huán)，一種的內(nèi)外直徑分別為5.6cm 和7.0cm，另外一種的內(nèi)外直徑分別為12.0cm 和14.0cm。對于兩種泡泡環(huán)使用兩種相應的泡泡水，一種較粘稠的泡泡水A，另一種較稀的泡泡水B，通過“最大泡壓法”測試兩種泡泡水的表面張力系數(shù)σ，泡泡水A 和B 分別約為6×10-2N/m 和4×10-2N/m。

測量方面，在本文中主要關注泡泡的大小和產(chǎn)生速率，設泡泡的平均半徑為R，泡泡的產(chǎn)生速率1/T，其中T=Δt/N 為產(chǎn)生一個泡泡的平均用時。在平行于泡泡飛行路徑的一側(cè)放置了一塊黑色幕布以方便對泡泡進行觀察，在幕布上用磁鐵固定了一把鋼尺，作為整個實驗中的長度標尺。對于長度測量，采用軟件Tracker對錄制的視頻進行分析，分析效果如圖2(a)所示。實驗中攝像機到泡泡飛行線的距離為D=2.50m，而攝像機到鋼尺的距離為L=3.30m，簡單地可以認為，從視頻上以鋼尺為基準得到的長度乘以修正系數(shù)D/L=25/33可轉(zhuǎn)化為實際長度。對于1/T 的測量，采用逐幀播放的方式，數(shù)出總共產(chǎn)生的泡泡數(shù)目以及幀數(shù)，再根據(jù)幀頻即可算出泡泡的產(chǎn)生速率。對兩種泡泡水產(chǎn)生的泡泡大小進行統(tǒng)計，如圖2(b)所示，圖中半徑數(shù)據(jù)是由Tracker軟件直接讀取的，還沒有乘以修正系D/L，淺色代表泡泡水A，深色代表泡泡水B，從圖中可見泡泡半徑的半寬FWHM 較大，這個展寬主要由泡泡本身大小不同所引起，當然也包含了泡泡飛行路徑并不都在一個豎直平面造成的視差的展寬。假定泡泡飛行路線在拍攝方向偏前和偏后的比例大致相同，在統(tǒng)計上通過乘以系數(shù)D/L 的方法得到的泡泡大小平均值仍然是正確的。

圖2 實驗處理過程和數(shù)據(jù)統(tǒng)計

如圖3所示，進一步用高速攝像機觀察了泡泡的形成過程，這對理解泡泡的成因提供了啟發(fā)。輕輕吹泡泡的時候，泡泡膜會被吹得凸起，但不會有泡泡產(chǎn)生。用更大的力氣吹泡泡的時候，鼓起的泡泡膜會拉得很長形成一個“泡泡柱”，設其半徑為r0，隨后泡泡柱的表面出現(xiàn)波動并逐漸增強，最終泡泡柱斷裂產(chǎn)生泡泡。即泡泡是“連續(xù)的”從泡泡柱上分離出來的，在分離之前泡泡柱上先是存在準周期性的振動，然后其上的某一段開始逐漸變細，當這一段半徑變?yōu)榱銜r發(fā)生泡泡柱的斷裂，分離出一個泡泡。

圖3 高速攝像機下泡泡的形成，每秒500幀

2 理論模型

普拉托-瑞利不穩(wěn)定性理論(Plateau-Rayleigh Instability)是研究圓柱形射流(Jet)在外界軸向擾動下是否穩(wěn)定的理論，[3，4]即對截面半徑為r0的圓柱形射流的外界擾動存在臨界波長λ，滿足小于臨界波長的短波擾動會使系統(tǒng)的表面能增加，該擾動隨時間逐漸衰減消失，其對射流是穩(wěn)定的；而大于臨界波長的長波擾動會使系統(tǒng)的表面能減小，該擾動逐漸增強直至射流斷裂，其對射流是不穩(wěn)定的。長波情況下，擾動增長速率最大的波長主導射流斷裂的過程，增長速率|ω|滿足其中，σ 為射流液體的表面張力系數(shù)，ρ 為射流液體的密度，ρa為射流液體外部介質(zhì)的密度，In(x)和Kn(x)分別是第一類和第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)。

該理論也可擴展用于研究圓柱形液膜，即本文中的“吹泡泡”的情形，下面具體介紹。根據(jù)高速攝像機的拍攝結(jié)果，泡泡柱是產(chǎn)生泡泡過程中所必要的，理論上假設泡泡柱無限長。因此空間被分為三部分： 泡泡柱內(nèi)部的空氣，泡泡柱，以及泡泡柱外部的空氣。對泡泡柱內(nèi)外空氣進行描述，可以采用對不可壓縮且沒有黏性的理想流體的歐拉方程

在泡泡柱的形變很小，且空氣的流動近似為絕熱流動的條件下，可以證明空氣流場的旋度為零，因此可以用速度勢來描述流場中空氣的流速

同時考慮到空氣是不可壓縮的，要求?·υ(r)=0，這給出速度勢φ(r)滿足拉普拉斯方程

用流體動力學的知識可以證明，在假設小振動即泡泡柱的形變很小的近似條件下，速度勢φ(r)和流場中的壓強分布p(r)存在下面的關系

其中f(t)是時間的任意函數(shù)。這樣得到速度勢和壓強場的聯(lián)系。在泡泡柱的表面上，兩側(cè)速度勢的差就和兩側(cè)的壓強差關聯(lián)起來?？紤]柱面兩側(cè)的壓強差是由柱面的曲率本身完全確定的，即

其中上標(0)和(1)分別代表的是壓強差與泡泡柱平衡位置圓柱面的偏移量ζ(rs)關系的零階項和一階項。為了簡化分析，考慮關于圓柱軸對稱的形變ζ（rs）=ζ（θ.z ）=ζ （z），其中rs是泡泡柱面上的點，z是圓柱軸的方向。適當?shù)剡x取任意函數(shù)f(t)，使得速度勢在平衡即零階下的值為零，可以重點分析柱面形變給兩側(cè)壓強，進而又給柱面形狀所帶來的影響。對式(5)和式(6)的兩端作差，并對t求導，得到

在小振動的條件下，對于泡泡柱上一點的運動速度，及該點處兩側(cè)空氣的運動速度，有

于是在柱面上，有

尋求以頻率ω 振動下的解

在柱坐標下分離變量，上面的本征值問題是容易求解的?？紤]柱對稱的形變，最終的結(jié)果是

其中ρ 為空氣密度?？紤]到泡泡柱軸心處不發(fā)散，應該用I0(x)函數(shù)即ψ1描述泡泡柱內(nèi)部，而考慮遠處收斂，用K0(x)函數(shù)即ψ2 描述泡泡柱外部。k 的物理意義是泡泡柱面上表面張力波的波矢而ω=ω(k)即為表面張力波的色散關系。對于短波而言，kr0＞1，ω 總是實數(shù)。而對于某些長波，滿足0＜kr0＜1，此時ω 是純虛數(shù)，r（z，t ）=ˉr+ε0e-iωtcos kz（）中的指數(shù) 因 子e-iωt實際上是一個關于時間指數(shù)增長的因子，增長速率為|ω|。這個波長范圍的表面張力波在泡泡柱上一旦產(chǎn)生，就會不斷增長，直到泡泡柱最終斷裂形成泡泡。即柱面對長波的擾動是不穩(wěn)定的，這就是泡泡產(chǎn)生的原因，吹出來的泡泡由斷裂的泡泡柱產(chǎn)生。根據(jù)普拉托-瑞利不穩(wěn)定性理論，增長速率最大的|ω|將主導泡泡柱斷裂過程，此時對應的k 為k*。如圖4所示，在0＜kr0＜1范圍內(nèi)作出|ω|與kr0的關系圖。從圖中得到當x=k*r0=0.6769時|ω|取最大值，其大小為

圖4 |ω|在0＜kr0＜1范圍內(nèi)關于x=kr0 的關系圖

3 實驗結(jié)果與討論

對于生成泡泡的大小，可以認為當擾動的振幅達到泡泡柱的半徑時，泡泡柱發(fā)生斷裂，因此斷裂下來長度為一個波長的一段泡泡柱形成一個泡泡。假設空氣是不可壓縮的，有

同時，由于擾動的振幅是隨著時間指數(shù)增長的，產(chǎn)生一個泡泡的特征時間即

由于R 和r0成正比，因此泡泡的產(chǎn)生速率1/T 和所產(chǎn)生泡泡半徑的關系為

其中σ 是泡泡水的表面張力系數(shù)，設β=R3/2/T，該參數(shù)與吹氣流量無關，但與泡泡水的種類有關，對于同種泡泡水其為常數(shù)，對不同泡泡水β參數(shù)不同。

下面給出具體實驗結(jié)果。如圖5 和圖6 所示，橫軸代表測量點的編號，淺色代表泡泡水A，深色代表泡泡水B。兩種情況下生成泡泡的參數(shù)α=R/r0和β=R3/2/T。對于α，理論表明它是一個普適常數(shù)，跟泡泡環(huán)和泡泡水的性質(zhì)以及吹泡泡時的其他參量如噴嘴到泡泡環(huán)的距離和氣流的流量等無關，本實驗使用了上面兩組泡泡環(huán)和泡泡水，圖5和圖6的不同實驗次數(shù)是改變氣體流量，范圍是1800～3200L/h，實驗結(jié)果為：對于α平均值2.34，標準偏差0.19。對于β，本實驗使用了泡泡水A 和泡泡水B，其值不同，實驗結(jié)果分別為平均值138s-1cm3/2，標準偏差為16s-1cm3/2，以及平均值90.4s-1cm3/2，標準偏差10s-1cm3/2。在誤差允許范圍之內(nèi)，α 和β 給出的測量結(jié)果都和理論基本吻合。其中，樣本標準偏差由下式計算

圖5 參數(shù)α

圖6 參數(shù)β

這里需指出，理論計算的結(jié)果假定了最終生成的泡泡由增長最快的|ω|=ωmax主導，但實際并非完全如此，不同波長的擾動也存在一定的機會，同時泡泡形成的最后階段小振動的假設以及無窮長泡泡柱的假設也需要適當修正，因此實驗上吹出來的泡泡的半徑在理論值附近存在一定的分布。通過上述實驗可知，實驗結(jié)果和理論預測結(jié)果基本吻合，但泡泡半徑的相對標準偏差σR/R仍然較大，需要進一步改進理論研究。此外，考慮氣體流量過大情況下，泡泡半徑的相對標準偏差可能更大，甚至無法形成泡泡，因此上述理論應在一定實驗條件范圍內(nèi)成立。

4 結(jié)論

本文對“吹泡泡”問題進行了理論和實驗研究，根據(jù)普拉托-瑞利不穩(wěn)定性理論，得出泡泡的半徑和泡泡柱的半徑的比值α 是一個常數(shù)的結(jié)論，以及泡泡的半徑與泡泡產(chǎn)生的特征時間構(gòu)成的參數(shù)β與吹氣流量無關的結(jié)論，實驗上用高速攝像機記錄了泡泡的產(chǎn)生過程，在1800～3200L/h氣體流量范圍內(nèi)測試了參數(shù)α 和β 驗證了上述結(jié)論，為進一步理論和實驗研究提供參考和借鑒。