李宇翔 黃亦斌

(1 九江同文中學(xué)，江西 九江 332000；2江西師范大學(xué)，江西 南昌 330022)

在靜電學(xué)中，能量是一個(gè)重要而又比較復(fù)雜的內(nèi)容。本文試圖對(duì)其進(jìn)行歸納，尤其針對(duì)導(dǎo)體靜電感應(yīng)進(jìn)行討論。

1 靜電能、自能和互能

為方便計(jì)，我們只討論真空中情形。首先，對(duì)于一般靜電體系，其靜電能為[1-3]

其中ρ 為電荷密度；U 為電勢(shì)，而且積分必須遍及全空間，否則上式中的兩個(gè)積分不一定會(huì)相等。靜電能W 等于將無窮遠(yuǎn)處各自分散的各無窮小電荷(準(zhǔn)靜態(tài)地)聚集為當(dāng)前電荷分布時(shí)外界所需做的功。如果是導(dǎo)體體系，那么靜電能為

其中Ui為導(dǎo)體i的電勢(shì)，包括其他導(dǎo)體電荷和自身電荷的貢獻(xiàn)。

設(shè)空間中的電荷分布分為兩個(gè)子系，其電荷密度分別為ρ1，ρ2(即ρ=ρ1+ρ2)，各自單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的電勢(shì)分布分別為U1，U2。則根據(jù)疊加原理，兩子系同時(shí)存在時(shí)的電勢(shì)分布為U=U1+U2。于是靜電能(1)變?yōu)?/p>

顯然，上式第一、二項(xiàng)正是兩子系單獨(dú)存在時(shí)的靜電能，稱為二者的自能(或固有能)。而第三項(xiàng)就是二者的相互作用能(簡稱互能)，寫作

互能的存在，表明能量不滿足疊加原理，是非相加性的。如果沒有這個(gè)互能，能量就具有可加性了。靜電能總是正的，自能也總是正的，但互能則可正可負(fù)。如果有多個(gè)子系，那么系統(tǒng)的靜電能等于各子系的自能Wi與兩兩之間的互能Wij之和，即

如果體系的每個(gè)子系都是點(diǎn)電荷，那式(4)給出兩兩間的互能為

其中Uji為點(diǎn)電荷qj在qi處產(chǎn)生的電勢(shì)。而所有互能之和為

或?qū)憺?/p>

如果體系中存在點(diǎn)電荷(或線電荷)，那么式(1)中的積分將會(huì)發(fā)散，這是因?yàn)樵邳c(diǎn)電荷附近，場(chǎng)強(qiáng)發(fā)散，電勢(shì)發(fā)散，導(dǎo)致自能發(fā)散。此時(shí)，我們默認(rèn)點(diǎn)電荷的結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生任何變化，從而其自能雖然很大很大，但是常數(shù)。我們簡單地將點(diǎn)電荷的自能從式(5)中扣除，把剩下的記為W′，因?yàn)橛幸饬x的是能發(fā)生變化的部分。面分布和體分布的電荷不存在自能發(fā)散問題。

扣除點(diǎn)電荷自能后，式(5)的解釋是：對(duì)于無窮遠(yuǎn)處各自分散的各無窮小電荷，以及已經(jīng)成型的點(diǎn)電荷，把它們聚集為當(dāng)前電荷分布時(shí)，外界所需做的功就等于體系的靜電能W′。它包括自能有限子系的自能和所有子系之間的互能(互能一定有限)。如果體系全由點(diǎn)電荷構(gòu)成，那么扣除所有發(fā)散自能后的靜電能W′就是式(6)中的W互。(當(dāng)然，如果發(fā)現(xiàn)某個(gè)自能有限的子系，其結(jié)構(gòu)始終不變，從而自能不變，那么其自能也可以從式(5)中扣除，但并不必須如此。)

如果電荷分布發(fā)生變化(伴隨外界做功)，那么靜電能的改變由各子系自能的改變以及各互能的改變共同貢獻(xiàn)。如果各自能都保持不變，那么互能是有意義的(或者更有意義)，因?yàn)榛ツ艿淖兓扔谕饨缱龅墓?。如果有自能也發(fā)生變化，那么，互能的意義就不大了，此時(shí)談?wù)摽偟撵o電能更為合適。

2 絕緣導(dǎo)體靜電感應(yīng)時(shí)的靜電能和互能

考慮將一個(gè)點(diǎn)電荷q 從無窮遠(yuǎn)移至帶電Q 的任意絕緣導(dǎo)體外的P 點(diǎn)。此時(shí)導(dǎo)體會(huì)發(fā)生靜電感應(yīng)，面電荷分布為σ，其在P 點(diǎn)處產(chǎn)生的電勢(shì)記為uσP。于是導(dǎo)體與點(diǎn)電荷之間的相互作用能自然就是W互=quσP。但這并不是外力所做的功，并不是靜電能的增量。

具體如何呢? 考慮如下3種情形：

(1) 點(diǎn)電荷在無窮遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)體表面的電荷分布為σ0，其在P 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為uσ0P，而導(dǎo)體電勢(shì)為Uσ0。(導(dǎo)體表面處的電勢(shì)用U 表示，而點(diǎn)電荷處的電勢(shì)用u。)此即初態(tài)。

(2) 導(dǎo)體不帶電而將電荷q 移至P 點(diǎn)，導(dǎo)體由于靜電感應(yīng)而出現(xiàn)電荷分布因?yàn)閷?dǎo)體絕緣），其在P 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為uσ′P，而導(dǎo)體本身的電勢(shì)為U′=Uσ′+Uq，其中Uσ′為導(dǎo)體本身的電荷分布σ′在導(dǎo)體表面產(chǎn)生的電勢(shì)分布，Uq為P 點(diǎn)處的電荷q 在導(dǎo)體表面產(chǎn)生的電勢(shì)分布。雖然Uσ′和Uq在導(dǎo)體表面都不是常數(shù)，但它們的和U′是常數(shù)。

(3) 導(dǎo)體帶電Q 且電荷q 位于P 點(diǎn)，此即終態(tài)。設(shè)此時(shí)導(dǎo)體電勢(shì)為U。

顯然，情形(1)(2)的電荷分布的疊加就是情形(3)的電荷分布：

故而其各電勢(shì)也如此[4]：

于是，情形(3)時(shí)導(dǎo)體與點(diǎn)電荷之間的互能就是

但點(diǎn)電荷引入前后外力所做的功(或靜電能的增量)卻是[5]

二者的不同在于導(dǎo)體表面的電荷分布發(fā)生變化，使得導(dǎo)體的自能W導(dǎo)發(fā)生變化：

與式(10)相比，式(11)中多出來的系數(shù)1/2的存在，在一些簡單情形可以直接驗(yàn)證，比如點(diǎn)電荷置于無限大接地導(dǎo)體平面附近，或點(diǎn)電荷置于(帶電或不帶電的)導(dǎo)體球附近。驗(yàn)證的具體方式就是直接把點(diǎn)電荷從無窮遠(yuǎn)移至導(dǎo)體附近時(shí)外力所做的功通過積分算出來[5]。但其實(shí)這個(gè)1/2是普遍存在的，下面給以一般證明。

情形(3)的靜電能(扣除點(diǎn)電荷自能)根據(jù)式(1)可計(jì)算為

此即電荷分布σ0和σ′之間的互能為0。于是，式(11)得證。

至于式(12)，可直接計(jì)算導(dǎo)體的自能增量

其中交叉項(xiàng)(即互能)為0。上式表明導(dǎo)體的自能增量等于電荷分布σ′的自能，故一定大于0。此外，

這與式(12)一致。

3 恒電勢(shì)導(dǎo)體靜電感應(yīng)時(shí)的靜電能和互能

為完備起見，這里一并討論恒定電勢(shì)導(dǎo)體(包括接地導(dǎo)體)的靜電感應(yīng)。設(shè)導(dǎo)體電勢(shì)恒為U。跟上面類似，考慮如下3種情形：

(1) 點(diǎn)電荷在無窮遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)體表面的電荷分布為σ0，其在P 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為uσ0P。此為初態(tài)。

(2) 導(dǎo)體接地時(shí)將電荷q 移至P 點(diǎn)，此時(shí)導(dǎo)體的電荷分布為σ′，其在P 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為uσ′P，而導(dǎo)體本身的電勢(shì)為

(3) 導(dǎo)體保持電勢(shì)U 且電荷q 位于P 點(diǎn)，此即終態(tài)。

情形(1)(2)的電荷、電勢(shì)分布的疊加就是情形(3)的對(duì)應(yīng)分布，故有

而情形(3)的靜電能為

其中用到了式(14)。結(jié)果中的第一項(xiàng)就是情形(1)的靜電能W′0，第二、三項(xiàng)之和為零，因?yàn)?/p>

其中Wσ0，σ′+q表示第一、二種情形中的電荷分布σ0與(σ′，q)之間的互能，且用到了式(13)。上式表明該互能為零。于是，點(diǎn)電荷引入前后外界所做的功(或靜電能的增量)為

式(10)與式(11)的差別，跟式(15)和式(17)的差別不同，這是由于后一情形除了有外力對(duì)電荷q 做功Aq，還有電源對(duì)導(dǎo)體做功AS。電源做功顯然為

其中用到了式(16)。于是外力對(duì)電荷q 所做的功為

恰與式(11)一致。實(shí)際上，再考慮另一情形(4)：在電荷q 移至P 點(diǎn)后，斷開電源，再將q 移至無窮遠(yuǎn)。這一情形相當(dāng)于前一節(jié)的第一種情形，故式(11)(即式(19))當(dāng)然給出本節(jié)情形(3)與情形(4)的靜電能差，而式(18)顯然給出情形(4)與情形(1)的靜電能差。

4 一些概念辨析

靜電學(xué)中關(guān)于能量有如下一些常用概念：靜電能；點(diǎn)電荷的電勢(shì)能；系統(tǒng)的電勢(shì)能；點(diǎn)電荷與導(dǎo)體間的相互作用能……這些概念容易混淆，很有厘清的必要。

首先，基礎(chǔ)的概念是靜電能、自能(固有能)和互能(相互作用能)。它們的含義清晰，前已說明。若整個(gè)體系分為兩個(gè)或多個(gè)子系，則每個(gè)子系可談?wù)摗白阅堋?，兩兩子系之間可談?wù)摗盎ツ堋薄Ｋ凶阅芎突ツ苤图礊殪o電能。如果將體系劃分為無窮多個(gè)子系，且每個(gè)子系電量無窮小(自能也趨于零)，則這樣的各子系之間的互能之和即為體系的靜電能。

所謂“補(bǔ)換水”，就是利用黃河汛期的間隙水，通過渠道注入烏梁素海，進(jìn)行生態(tài)補(bǔ)水、置換湖水，從而達(dá)到改善烏梁素海水質(zhì)的目的。2003年實(shí)施“引黃入?！惫こ蹋瑸趿核睾Ｒ牙命S河凌汛間隙水，獲得生態(tài)補(bǔ)水累計(jì)3.2億m3，平均每年有約7 000萬m3的水補(bǔ)充。然而，據(jù)初步估算，要徹底解決烏梁素海水質(zhì)問題，需對(duì)湖水每兩年置換一次，即年均補(bǔ)水1.5億m3，按照目前的生態(tài)補(bǔ)水總量來看，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足不了烏梁素海改善水質(zhì)需要的補(bǔ)水量。因此，烏梁素海補(bǔ)換水嚴(yán)重不足，水體無法得到有效稀釋，富營養(yǎng)化程度加重，也是促使黃藻暴發(fā)的一個(gè)原因。

“電勢(shì)能”一詞的使用場(chǎng)合有“單體”和“多體”(包括“兩體”)之分。教學(xué)上最早引入的“重物的重力勢(shì)能”、“點(diǎn)電荷的電勢(shì)能”即為 “單體”概念。使用這種概念是有前提的，即首先要存在固定的、跟“重物”或“點(diǎn)電荷”無關(guān)的外場(chǎng)。這種外場(chǎng)當(dāng)然也是某種場(chǎng)源產(chǎn)生的，但其場(chǎng)源是固定的，或可以視為靜止。此時(shí)，“點(diǎn)電荷q 的電勢(shì)能”其實(shí)就是點(diǎn)電荷與(固定的)外場(chǎng)源之間的互能。如果外場(chǎng)源不是固定的，比如其位置可因q 而移動(dòng)，或其電荷分布可因q 而變化(如導(dǎo)體)，那么其產(chǎn)生的外場(chǎng)是變化的，此時(shí)談?wù)摗包c(diǎn)電荷的電勢(shì)能”就很不合適。(當(dāng)然，隨q 而變化的“外場(chǎng)源”和“外場(chǎng)”被冠以“外”字，這本身就不合適。能被合理冠以“外”字的前提就是固定。)此時(shí)應(yīng)該使用 “兩體”概念，如“點(diǎn)電荷與場(chǎng)源之間的電勢(shì)能(互能)”。

例如，如果一個(gè)點(diǎn)電荷Q 被固定在某慣性系的原點(diǎn)，那么對(duì)于另一點(diǎn)電荷q 而言，可談?wù)摗皅的電勢(shì)能”。但如果Q 未被固定，而是可以受q 的作用而移動(dòng)，那么“q 的電勢(shì)能”就沒有意義，此時(shí)應(yīng)該改用“Q 與q 之間的電勢(shì)能(互能)”。當(dāng)點(diǎn)電荷q 移近某導(dǎo)體時(shí)，導(dǎo)體的電荷分布會(huì)因靜電感應(yīng)而發(fā)生變化，此時(shí)就不能談?wù)摗皅 的電勢(shì)能”，而應(yīng)該談?wù)摗皅 與導(dǎo)體之間的電勢(shì)能(互能)”。

如果場(chǎng)源只是發(fā)生整體移動(dòng)，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)(或分布)不發(fā)生變化，那么“點(diǎn)電荷與場(chǎng)源之間的電勢(shì)能”確屬一個(gè)很有意義的概念，因?yàn)榇藭r(shí)，在準(zhǔn)靜態(tài)過程中，該電勢(shì)能的變化等于外界做的功。這種情形的一個(gè)例子是“兩點(diǎn)電荷之間的電勢(shì)能”，因?yàn)辄c(diǎn)電荷被默認(rèn)為是內(nèi)部結(jié)構(gòu)不變的。

但如果場(chǎng)源的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可變，那么，“點(diǎn)電荷與場(chǎng)源之間的電勢(shì)能”雖意義明確，但意義不大(或可談?wù)摰膱?chǎng)合不多)，因?yàn)樵撾妱?shì)能的變化與外界做的功并不相等，二者之間還差了場(chǎng)源自能的變化。此時(shí)更合適被談?wù)摰氖求w系的靜電能，因?yàn)樗淖兓偱c外界做的功相等。場(chǎng)源內(nèi)部結(jié)構(gòu)可變的典型例子就是導(dǎo)體(的表面電荷)。此時(shí)雖然可以談?wù)摗包c(diǎn)電荷與導(dǎo)體之間的電勢(shì)能(互能)”(見式(10))，但更好的做法是不談?wù)撍?，而只談?wù)摗罢麄€(gè)體系的靜電能”(見式(11))。

“系統(tǒng)的電勢(shì)能”可以等同于“系統(tǒng)的靜電能”(除掉發(fā)散自能后)，這應(yīng)該可以取得共識(shí)。

文獻(xiàn)[5]在第117 頁正確地注意到，在由式(9)到式(11)時(shí)需添上系數(shù)1/2，因?yàn)橹挥羞@樣才能與外界做功相符。但文獻(xiàn)[5]把式(11)稱為“點(diǎn)電荷與導(dǎo)體之間的相互作用能”，則存在指稱錯(cuò)誤。此時(shí)外力做功并不等于相互作用能的改變，因?yàn)閷?dǎo)體的自能也發(fā)生了變化。式(11)只能被稱為“體系的靜電能的改變”。如果真的想得到相互作用能，那只能是沒有1/2的式(10)。

文獻(xiàn)[5]針對(duì)導(dǎo)體靜電感應(yīng)情形多次提到“q的電勢(shì)能”，如前所述，這是不合適的，應(yīng)該稱為“q與導(dǎo)體之間的電勢(shì)能(互能)”。此外，其文獻(xiàn)[5]第119頁還出現(xiàn)了“導(dǎo)體板的電勢(shì)能” (W板=Q板U板)一語。由于U板包括導(dǎo)體板上電荷和板外電荷的貢獻(xiàn)，因此W板實(shí)則涉及導(dǎo)體板與帶電球之間的互能。就其上下文而言，其“導(dǎo)體板的電勢(shì)能W板”既不是單體電勢(shì)能，也不是兩體電勢(shì)能，而只是相當(dāng)于本文式(2)中求和符號(hào)內(nèi)中的某一項(xiàng)。我們知道，這樣的一項(xiàng)其實(shí)是某導(dǎo)體自能的兩倍加上該導(dǎo)體與其他電荷之間的互能。把這樣的兩倍自能與一倍互能之和稱為“該導(dǎo)體的電勢(shì)能”，顯然不合理。

文獻(xiàn)[5]在第114頁談到，如果體系由多個(gè)導(dǎo)體和多個(gè)點(diǎn)電荷構(gòu)成，“則利用連續(xù)帶電體的靜電能表達(dá)式和點(diǎn)電荷系統(tǒng)相互作用能表達(dá)式，寫出該系統(tǒng)的靜電能?！奔从杀疚牡氖?2)和式(6)，得到

這種措辭極具誤導(dǎo)性，因?yàn)樗凳緦蓚€(gè)子系(此處為導(dǎo)體系和點(diǎn)電荷系)的靜電能相加就得到整個(gè)體系的靜電能。若果真如此，那兩子系間的互能哪去了? 實(shí)際上，式(20)正確與否，依賴于其中電勢(shì)Ui和ui的含義是什么。原文那種措辭，會(huì)讓人以為式(20)中的符號(hào)與式(2)和式(6)中的相同符號(hào)具有相同的含義。如果是這樣，那就錯(cuò)了。式(20)要想正確，其中電勢(shì)Ui應(yīng)為空間所有電荷(導(dǎo)體i上的電荷、其他導(dǎo)體上的電荷以及所有點(diǎn)電荷)在導(dǎo)體i 上產(chǎn)生的電勢(shì)之和，而其中的ui應(yīng)為其他點(diǎn)電荷和所有導(dǎo)體上的電荷在點(diǎn)電荷qi處產(chǎn)生的電勢(shì)之和。與此相對(duì)比，式(2)中的Ui僅為導(dǎo)體i上的電荷和其他導(dǎo)體上的電荷在導(dǎo)體i上產(chǎn)生的電勢(shì)之和，式(6)中的ui僅為其他點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷qi處產(chǎn)生的電勢(shì)之和。

不僅如此。雖然式(20)的Ui中有一部分是導(dǎo)體i上的電荷和其他導(dǎo)體上的電荷在導(dǎo)體i 上產(chǎn)生的電勢(shì)之和，式(2)中的Ui也可用同樣的文字來描述，但二者仍不是一回事! 這是因?yàn)?，點(diǎn)電荷存在與否，會(huì)直接影響導(dǎo)體表面的電荷分布(雖然不改變每個(gè)導(dǎo)體的總電量)。故而，雖然都是“所有導(dǎo)體電荷在導(dǎo)體i 上產(chǎn)生的電勢(shì)”，但出現(xiàn)在式(20)中時(shí)它不是常數(shù)，出現(xiàn)在式(2)中時(shí)它卻是常數(shù)。以上的微妙區(qū)別在本文第二部分的推導(dǎo)中都有展示，并總結(jié)于表1中。

表1 產(chǎn)生各電勢(shì)的源