【摘?要】統(tǒng)整課程資源，立足單元起始，規(guī)劃課程設(shè)計，整體構(gòu)筑整個單元的內(nèi)核體系，細化課時分配。在以上的統(tǒng)攝中，借力類比與對比，先行組織、開山引路，在整體化教學(xué)設(shè)計中，開啟不等式的教學(xué)歷程，通過“現(xiàn)實生活蘊不等”“等與不等共相生”“遷移之中遇尷尬”“不等求解亦從容”“師生共話等不等”五個環(huán)節(jié)構(gòu)建章起始課的版圖，為深度學(xué)習(xí)開辟場域。

【關(guān)鍵詞】類比;對比;不等式;章起始課

【作者簡介】邢成云，正高級教師，全國“萬人計劃”教學(xué)名師，全國“雙名工程”領(lǐng)航人選，山東省特級教師。

【基金項目】山東省濱州市名師工作室專項課題“全息教學(xué)論下初中數(shù)學(xué)章起始課的教學(xué)研究”（BZMZZX18-31）;山東省社科聯(lián)人文社會科學(xué)課題（基礎(chǔ)教育專項）“‘快慢相宜的整體化教學(xué)模式之延伸研究”（16-ZX-JC-37）

目前，課程改革已步入深水區(qū)，人們的觀念不斷更新，但無可諱言，碎片化、割裂式的教學(xué)現(xiàn)象仍然存在，即使有了觀念性認識，具體教學(xué)仍難以落地。前后貫通不暢、整體規(guī)劃缺失，從一定程度上影響了學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。為此，筆者帶領(lǐng)工作室成員對章起始課做了探討，并以人教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊的“不等式與不等式組”章起始課為例進行教學(xué)嘗試，以期引起同行的關(guān)注，共同“尋真問道”。

一、統(tǒng)觀資源，整體規(guī)劃

（一）對章前語與章頭圖的解讀

章前語，是對本章內(nèi)容的統(tǒng)領(lǐng)，是本章學(xué)習(xí)的序幕，從整體的角度揭示了本章的內(nèi)涵。本章前語雖短（大約260個字符），章頭圖也只是一個商場版圖附一個不等式，但意義深遠，內(nèi)涵豐富。通過研讀、品味，筆者獲得以下認識。

1.內(nèi)容清晰，目標(biāo)明確

章前語簡短的幾句話，明確了本章將要研究的幾個方面：認識不等式，討論其性質(zhì)，學(xué)習(xí)一元一次不等式（組）的解法，在實際應(yīng)用中感受不等式（組）的重要作用和意義。

2.等與不等，對立統(tǒng)一

對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系在現(xiàn)實世界中普遍存在，它們相克相生的辯證思想為后繼研究“變量與函數(shù)”做了孕伏。

3.數(shù)學(xué)建模，抽象思維

數(shù)學(xué)問題源于生活實踐，其解決的方法又服務(wù)于生活實踐。這彰顯出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義，其目的是引導(dǎo)學(xué)生在“學(xué)以致用”中領(lǐng)會“以用致學(xué)”，激發(fā)和驅(qū)動學(xué)生的探究欲望。而不等式（組）是解決實際問題常用的數(shù)學(xué)模型，需要抽象思維的支持，其基本思路類似于方程模型的構(gòu)建。

4.類比引路，一脈相承

用不等式（組）處理不等關(guān)系問題的思路類似于用方程（組）研究相等關(guān)系問題的思路，二者一脈相承，但需要注意分析二者的異同。

（二）對教材正文及附件的解讀

“不等式與不等式組”是初中學(xué)段唯一的一章關(guān)于不等式的內(nèi)容，在人教版初中數(shù)學(xué)教材中，它作為第九章被安排在“二元一次方程組”之后，這是基于關(guān)聯(lián)性的設(shè)置。當(dāng)然本章教材內(nèi)容的呈現(xiàn)遵循了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的設(shè)定原則，將其分成三節(jié)。第一節(jié)是“不等式”，主要是不等式內(nèi)容的通識，需結(jié)合具體問題，落實對不等式意義（包含不等式模型的建立，不等式的概念、作用、價值、模型思想等）的了解和對不等式基本性質(zhì)的探索。第二節(jié)是“一元一次不等式”，主要學(xué)習(xí)其解法與應(yīng)用，能用之解決簡單的實際問題，以及能在數(shù)軸上表示出不等式的解集，反扣并深化了第一節(jié)的內(nèi)容，同時為第三節(jié)用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集做鋪墊。第三節(jié)是“一元一次不等式組”，核心內(nèi)容是其解法，在化歸思想主導(dǎo)的求解過程中，進一步鞏固一元一次不等式的解法[1]。

另外，第一節(jié)后附有“閱讀與思考?用求差法比較大小”，通過閱讀的形式介紹了“作差比較”這一重要方法。其實它等價于不等式的性質(zhì)1，但是用了顯性化的方式，用起來會更方便。還有，章末有一個“數(shù)學(xué)活動”，包括兩個活動。活動1為借助資料，用一元一次不等式解決實際問題，可提高學(xué)生捕捉信息、利用信息的數(shù)學(xué)建模能力以及“四能”的綜合，在這一過程中獲得數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗?；顒?以游戲的形式，通過嘗試，滲透窮舉法以拓寬學(xué)生的視野，或者從不等式的角度構(gòu)建不等式組模型并借助正整數(shù)解進行綜合分析，以此加深對不等式意義的理解。以上這些素材凸顯了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，對學(xué)生來說是一種挑戰(zhàn)。

通觀整個單元，從字里行間挖掘出隱匿于教材中的思想方法：類比思想、化歸思想、建模思想、數(shù)形結(jié)合思想、作差比較法等。這些思想方法都需要教師的提煉與滲透。

（三）對本章起始課的叩問與全章的規(guī)劃

整合以上認識，綜合章建躍先生給出的課程意識[2]闡釋，用以下四個問題叩問本章的起始課教學(xué)。

1.不等式的章起始課該教什么？

首先確定內(nèi)容，包含章前語、章頭圖和第一節(jié)的內(nèi)容，并搭建單元框架。

其次考慮學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，既要關(guān)注不等式相關(guān)概念及性質(zhì)的教學(xué)，也要關(guān)注不等式與方程之間類比、遷移的教學(xué)。在類比與對比中統(tǒng)攝全章，不僅要讓學(xué)生學(xué)習(xí)新知，掌握有關(guān)的概念，而且要引導(dǎo)學(xué)生掌握類比的方法，發(fā)展遷移的能力。

2.本節(jié)課能發(fā)揮怎么樣的育人功能？

記憶會忘記，技能會生疏，唯有沉淀下來的數(shù)學(xué)思想、理性精神、意志品質(zhì)等才能在以后的學(xué)習(xí)生活中發(fā)揮作用。這就是我們常說的“能剩下來的東西、可帶走的東西、能再生的東西”，這才是育人的根本。方程（組）和不等式（組）分別是研究相等關(guān)系和不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，二者既有聯(lián)系又有差異，尤其在知識結(jié)構(gòu)上十分類似，這些都給我們育人以導(dǎo)向。類比和對比的遷移路徑，數(shù)學(xué)建模的思路，化歸的思想意識等是本節(jié)課應(yīng)該發(fā)揮的育人功能。

3.如何教好這節(jié)課？應(yīng)采取怎樣的教學(xué)策略？

本章起始課的學(xué)習(xí)應(yīng)通過回顧學(xué)習(xí)方程的歷程，激活學(xué)生已有的經(jīng)驗或研究方法，類比方程的研究思路，用類比猜想、歸納概括等手段展開教與學(xué)的活動。在這個過程中初步體會研究數(shù)學(xué)問題的一般方法，形成策略性知識，進一步強化學(xué)生研究問題的遷移意識。這就相當(dāng)于重組本章的教學(xué)內(nèi)容，整體構(gòu)建知識體系。

4.這樣教在多大程度上實現(xiàn)了育人功能？

教師這樣教使零散碎片式的教學(xué)變?yōu)閱卧w化的構(gòu)建式教學(xué)，是“見木更見林”的教學(xué)，是指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)。它具有連貫性、結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性的理性之美，既可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化知識的代際傳承，也可以實現(xiàn)培養(yǎng)人、發(fā)展人的育人宗旨。

綜上所述，對全章的規(guī)劃是在宏觀策略的引領(lǐng)下，立足整體，基于教材統(tǒng)整，解構(gòu)并重構(gòu)教材單元，采用類比的方式，充分發(fā)揮正向遷移的作用，引導(dǎo)學(xué)生利用舊知獲得新知。以下是對本章單元教學(xué)的具體規(guī)劃。

第1課時：不等式及其解集的概念、不等式的性質(zhì)及用之解簡單的一元一次不等式，并搭建起整章的結(jié)構(gòu)體系（類比、對比等式或方程系統(tǒng)）。

第2課時：一元一次不等式的解法及應(yīng)用（類比一元一次方程系統(tǒng)）。

第3課時：一元一次不等式組的解法（類比二元一次方程組系統(tǒng)）。

第4課時：小結(jié)與復(fù)習(xí)（彰顯類比、對比方法，鞏固已學(xué)知識）。

第5課時：評價課（從A、B、C三組層級式評價）。

第6課時：分析課（對應(yīng)A、B、C三組的相應(yīng)分析）。

在這樣的具體規(guī)劃下，筆者進行了教學(xué)嘗試，并取得了較好的教學(xué)效果。以下是第1課時的教學(xué)設(shè)計。

二、立足起始，整體統(tǒng)攝

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）理解不等式及其解集的概念，會辨識不等式，能區(qū)分不等式解集、不等式的解與方程解的異同;

（2）經(jīng)歷探索不等式性質(zhì)的過程，能說會用，并深入領(lǐng)會不等式的性質(zhì)3;

（3）厘清不等式學(xué)習(xí)的“基本路徑”，構(gòu)建統(tǒng)攝整個單元的結(jié)構(gòu)，形成整體版圖，為后續(xù)不等式具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（二）教學(xué)重難點

（1）教學(xué)重點是不等式解集與不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí);

（2）教學(xué)難點是類比之下不等式的性質(zhì)3的順應(yīng)與調(diào)整。

（三）教學(xué)過程設(shè)計

1.現(xiàn)實生活蘊不等

師：在現(xiàn)實生活中，遍布著數(shù)量關(guān)系，既有大有小，也有多有少，同類量之間或相等或不等，大家請看以下幾個問題。

問題1：若用a表示姚明的身高，用b表示你的身高，則a、b的關(guān)系可表示為。

（a>b）

問題2：天氣預(yù)報說，今天最高氣溫28℃，設(shè)今天的氣溫是x℃，則可以得到什么樣的數(shù)學(xué)式子？若最低氣溫是21℃呢？

（x≤28，x≥21）

問題3：如圖1，這塊標(biāo)志牌上的40表示什么意思呢？

圖1

生：表示汽車行駛的速度不能超過40?km/h。

師：對，這是公路上對汽車的限速標(biāo)志，表示汽車在該路段行駛的速度不得超過40?km/h。

師：如果你是司機，在遵守交通法規(guī)的前提下，你會開到多少速度？

（學(xué)生說出一些數(shù)值，如39、38、37等。）

師：若用v?km/h表示汽車的速度，那么可用怎樣的式子表示？

（有些學(xué)生寫出的是等式，教師通過追問“只有這些速度才算是遵守交通法規(guī)嗎？”引發(fā)學(xué)生思考。實際上有無數(shù)個數(shù)值均符合題意，并得出這些數(shù)值的共同特征：v≤40。）

可見，現(xiàn)實生活中涉及不等式模型的問題比比皆是。用不等號“<”“≤”“>”“≥”“≠”連接而成的數(shù)學(xué)式子，叫作不等式。

三個問題源于學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活，使他們親身經(jīng)歷了將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，具身感知身邊處處有數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的參與度，真正使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體。

2.等與不等共相生

師：我們已經(jīng)認識了等式，現(xiàn)在到不等式現(xiàn)身了，二者共生，相互為用。請同學(xué)們設(shè)想一下，下一步我們要學(xué)習(xí)不等式的哪些內(nèi)容？

生：不等式的概念、解（解集）、性質(zhì)、應(yīng)用等。

師：你為什么做出這樣的設(shè)想呢？是基于什么而想到的？

生：我由等式（方程）的系列知識想到的。

師：這位同學(xué)說得很好，其實這就是類比，等與不等共相生。那我們就借助等式（方程）這一跳板，一起學(xué)習(xí)不等式的相關(guān)知識，同學(xué)們在大膽猜測的同時也要細心論證。

類比之下依次獲得如下概念。

（1）類比方程的解，得出不等式的解。把使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解。

（2）通過追問不等式的解的不唯一性，對比方程的解，調(diào)適機械類比生成的不等式的解集。一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。

（3）解不等式。求不等式的解集的過程，叫作解不等式。

師：我們知道數(shù)學(xué)語言有三種形態(tài)：符號語言、文字語言、圖形語言。關(guān)于不等式“x≤3”，這是什么形態(tài)？用其他形態(tài)如何表達？

生：這是符號語言，用文字語言可表達為：x小于或等于3，但是用圖形語言不懂怎么表達。

師：其實我們可以用類比方程的方法。x=3在數(shù)軸上可表示為如圖2所示，x≤3指比3小的數(shù)，也就是在3的左邊，在數(shù)軸上可表示為如圖3所示。

圖2

圖3

師生總結(jié)：由于方程的解可以用數(shù)軸上的點表示出來，通過類比，得出不等式的解集也可以在數(shù)軸上表示出來，它所對應(yīng)的圖形可能是射線等，具體如何在數(shù)軸上表達就用以上約定俗成的方式。

繼續(xù)類比等式的性質(zhì)（內(nèi)容略），獲得如下猜想。

不等式的性質(zhì)猜想1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變;

不等式的性質(zhì)猜想2：不等式兩邊乘（或除以）同一個數(shù)，不等號的方向不變。

用類比的方式喚醒學(xué)生，引發(fā)學(xué)生回顧舊知，激活新知儲備。類比是數(shù)學(xué)的引路人，用好類比就等于用好了經(jīng)驗，在宏觀上展現(xiàn)了“教結(jié)構(gòu)—用結(jié)構(gòu)”的基本思想，使我們的探索有了方向和停靠點，有路可循、有規(guī)可依。

3.遷移之中遇尷尬

師：有了前面獲得的直接寫出不等式解集的經(jīng)驗，你能寫出以下不等式的解集嗎？

（1）x+2>3;（2）2x<6;（3）-3x<12;（4）5-2x>1。

學(xué)生活動：（1）借助不等式的性質(zhì)猜想1，得x>1，答案正確;（2）借助不等式的性質(zhì)猜想2，得x<3，答案也正確;（3）和第（2）題方法相同，得到x<-4，答案不正確，至此矛盾就出來了，若學(xué)生發(fā)現(xiàn)不出矛盾，可通過列舉特殊值給出反例，用對比的方式引起學(xué)生的自醒，引出對不等式的性質(zhì)猜想2的質(zhì)疑。

由此，不等式的性質(zhì)猜想2分化成兩條：

（1）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變;

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

驗證1：工具——數(shù)軸

我們已經(jīng)知道任何一個實數(shù)都可以在數(shù)軸上用點表示出來，其大小一定，在數(shù)軸上的位置就固定。若兩個實數(shù)分別加（減）同一個數(shù)，就相當(dāng)于均向右（左）平移同樣的單位長度，故它們的大小順序不變，以此對等式的性質(zhì)1做出證明。若兩個實數(shù)分別乘以同一個正數(shù)，根據(jù)乘法的意義即特殊的加法，可推知兩個實數(shù)都連續(xù)地按同樣規(guī)律移動，大小順序也不變，至于同除以同一個正數(shù)可統(tǒng)一成乘法，不等式的性質(zhì)2得到證明。對于同乘同一個負數(shù)，可化為同乘同一個正數(shù)的狀態(tài)，然后借助數(shù)軸上相反數(shù)的表示即可解釋。不論原來的兩數(shù)性質(zhì)如何，同乘同一個負數(shù)后順序恰好與原來相反，如此就驗證了不等式的性質(zhì)3。（說明：若學(xué)生對這一工具認識不足，可避開這一方法的使用）

驗證2：選有代表性的數(shù)通過驗證做出說明（略）。

至此，不等式的性質(zhì)得以驗證，歸納如下。

不等式的性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變;

不等式的性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變;

不等式的性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

用符號表達如下（數(shù)學(xué)語言形態(tài)的轉(zhuǎn)化）。

不等式的性質(zhì)1：如果a>b，那么a±c?>b±c;

不等式的性質(zhì)2：如果a>b，c>0，那么ac>bc（或ac>bc）;

不等式的性質(zhì)3：如果a>b，c<0，那么ac

在遷移過程中通過求解發(fā)現(xiàn)，在不等式兩邊同乘（或除以）同一個負數(shù)時，出現(xiàn)意外，從而發(fā)現(xiàn)端倪。不等式的性質(zhì)猜想2出了問題，打破了學(xué)生原有的認知平衡，需要建立新的認識理順這種不和諧的關(guān)系，在順應(yīng)中落實分化出不等式的性質(zhì)3的教學(xué)，最后同化到學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中去?？梢?，通過類比，學(xué)生可以學(xué)習(xí)相似或相通的知識，但是相似或相通的知識之間往往有差異，所以類比之后一定要通過對比凸顯差異，并進行合理的調(diào)適、順應(yīng)。這其中滲透了批判性思維。

4.不等求解亦從容

師：我們通過類比獲得猜想，通過驗證調(diào)整了先前經(jīng)驗，得到規(guī)范的不等式性質(zhì)，這樣再求不等式的解集就有了可靠的依據(jù)，試求解下面的題目。

解不等式：（1）2x<3x+1;（2）2（x-1）>3;（3）x-12≤1。

（學(xué)生嘗試解決，完成后，教師提出問題。）

師：這些不等式有什么共同特點？你能給它們起一個名字嗎？

（學(xué)生活動，達成共識。）

師生總結(jié)：類比一元一次方程，給出一元一次不等式的概念。只含一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫作一元一次不等式。

通過求解進一步鞏固不等式的性質(zhì)，在求解完成后，教師通過追問的方式讓一元一次不等式的概念在類比中自然落地。

5.師生共話等不等

（1）等式與不等式的區(qū)別與聯(lián)系有哪些？

（2）等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的區(qū)別點在哪？

（3）整個學(xué)習(xí)過程中用了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？

通過問題清單的形式，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧課堂所學(xué)，形成結(jié)構(gòu)圖（如圖4）。

圖4

此環(huán)節(jié)的設(shè)計是用問題清單的形式突出核心知識，用結(jié)構(gòu)圖展示知識體系，形成呼應(yīng)之勢，便于學(xué)生理解與記憶。

三、反思評價

（一）基于整體，跨步構(gòu)筑

整體的構(gòu)筑依賴于對教材的統(tǒng)整。關(guān)于解讀教材，筆者從解構(gòu)走向重構(gòu)，整合相關(guān)資源，形成新的單元結(jié)構(gòu)。關(guān)于統(tǒng)整，從知識角度來說，就是聯(lián)系，從而形成知識組塊。它不是將教材中的知識分解成一個個孤立的知識點讓學(xué)生去學(xué)、記、用，而是認真研究教材、通透教材，弄清知識的背景、內(nèi)涵及其延展性。從而掌握教材的內(nèi)容體系以及編寫意圖，不拘泥于教材的順序或習(xí)慣設(shè)定的課時，敢于打破常規(guī)、另辟蹊徑，大跨度推進教學(xué)進程。這期間可暫不苛求知識的深與透，淡化夯實雙基，但要關(guān)注思想方法的滲透與植入，重在思維，重在發(fā)展，重在先行組織，重在形成結(jié)構(gòu)。

（二）類比是引路人，對比是調(diào)節(jié)器

等式與不等式相輔相成，和諧共生。等式（方程）是研究等量關(guān)系的工具，而不等式是討論不等量關(guān)系的工具，二者相互照應(yīng)，互補共生?；谒鼈兊膬?nèi)在聯(lián)系，可使用類比的方式，借力“同化與順應(yīng)”，實施本章起始課教學(xué)，并力圖用6個課時完成本章的學(xué)習(xí)任務(wù)。這就是全息論下整體化教學(xué)策略的具體實施。

整節(jié)課，以類比為主線展開探究活動。類比是筆者研究的全息論下整體化教學(xué)強有力的推手，通過類比，提出猜想，再驗證猜想，它是發(fā)現(xiàn)問題的源泉。但類比作為合情推理其結(jié)果未必正確，還需要通過對比把問題、困惑擺出來，在認知沖突中凸顯偏差認知，強化異中有同、同中存異的辯證之識，調(diào)適類比朝著正確的航向前進。因此，類比之下常常需要“同化與順應(yīng)”聯(lián)手進行遷移。如本文基于等式性質(zhì)聯(lián)想到不等式性質(zhì)的教學(xué)，其中不等式的性質(zhì)1較順利地同化到原有認知圖式中去，但不等式的性質(zhì)2打破了原有的認識平衡，通過調(diào)適，順應(yīng)到學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，達成新的認識平衡。在與方程的求解對照中，進一步體悟類比的思想，使之能積淀到后繼學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，為遷移蓄能，進而獲得學(xué)習(xí)智慧，提升元認知能力。

參考文獻：

[1]?中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]?章建躍.樹立課程意識?落實核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報，2016（5）：1-4.