艾正海，孫 峰

(樂(lè)山師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000)

0 引言

數(shù)學(xué)專業(yè)的“數(shù)學(xué)分析”[1-3]里涉及的各種積分的對(duì)稱性是一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，這類知識(shí)點(diǎn)是各類考試的考點(diǎn)和熱點(diǎn)，合理利用對(duì)稱性解題不僅會(huì)起到事半功倍的作用，而且也很有趣。同時(shí)，這些常見(jiàn)的積分類也是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一[4],雖然目前關(guān)于探討各種積分的對(duì)稱性文獻(xiàn)[5-10]層出不窮，但這類文獻(xiàn)往往僅介紹某一類積分的對(duì)稱性，或者雖然介紹了各類積分的對(duì)稱性，卻開(kāi)篇列出各種對(duì)稱性定理，然后談及應(yīng)用。這類文獻(xiàn)適合基礎(chǔ)扎實(shí)的讀者，但對(duì)于絕大多數(shù)讀者而言，由于這些對(duì)稱性定理眾多又相似，使得讀者難以記住和區(qū)分，特別地，第一類曲線(面)積分與第二類曲線(面)積分的奇偶性對(duì)稱性容易混淆，再加上各種對(duì)稱輪換性定理，就使得對(duì)稱性更加復(fù)雜。當(dāng)學(xué)生都難以記憶這些對(duì)稱性定理的時(shí)候，應(yīng)用也就更無(wú)從談起了。

由于近二十年來(lái)大學(xué)的擴(kuò)招，使得高校教育轉(zhuǎn)變?yōu)榇蟊娊逃?，而不是精英教育，學(xué)生學(xué)習(xí)上缺乏自主性和主動(dòng)性[11]，數(shù)學(xué)功底相比以前的學(xué)生也有了較大的距離[12]，在這種情形下，教學(xué)改革變得緊迫和勢(shì)在必行[13]。另一方面，部分高校對(duì)“數(shù)學(xué)分析”的教學(xué)學(xué)時(shí)不得不進(jìn)行壓縮，在課時(shí)較少時(shí)[13]，如果我們單獨(dú)對(duì)各類積分對(duì)稱性進(jìn)行詳細(xì)探討，學(xué)時(shí)也不允許。正如上文提及：這類知識(shí)點(diǎn)又是各類考試的考點(diǎn)和熱點(diǎn)，特別地，一些想繼續(xù)深造的同學(xué)經(jīng)常問(wèn)各種對(duì)稱性的問(wèn)題，鑒于此，如何對(duì)這些積分對(duì)稱性進(jìn)行精煉濃縮地講解，又能讓即使基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生也能很容易區(qū)分和記住這些對(duì)稱性，是一個(gè)迫切要解決的問(wèn)題。因此，本文對(duì)各種積分的對(duì)稱性進(jìn)行統(tǒng)一性探討，以期有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

1 定積分知識(shí)的簡(jiǎn)單回顧

為了更好地理解后續(xù)內(nèi)容，定積分知識(shí)的簡(jiǎn)單回顧是必要的。

定理1 假設(shè)f(x)在[-a,a](a>0)為連續(xù)函數(shù)，則有

此定理說(shuō)明定積分的值與積分變量無(wú)關(guān)。

2 重積分的對(duì)稱性及應(yīng)用

傳統(tǒng)的對(duì)稱性定理從關(guān)于x、y、(x,y)等的奇偶函數(shù)去描述，較為繁雜。本節(jié)從對(duì)稱性和定義出發(fā)，給出這些二重積分對(duì)稱性定理的簡(jiǎn)要解釋和快速記憶方法。當(dāng)把二重積分對(duì)稱性搞清楚了，三重積分的對(duì)稱性直接類推，非常容易地寫(xiě)出，因此本節(jié)不討論三重積分的對(duì)稱性。

定理3 設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則有：

(a)設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，則

其中D1=D∩{x≥0}；

(b)設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，則

其中D2=D∩{y≥0}；

(c)設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱((x,y)∈D?(-x,-y)∈D)，則

其中D3為D的右半平面或上半平面部分；

(d)設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對(duì)稱，即((x,y)∈D?(y,x)∈D)，則

?D4f(x,y)dσ=?D5f(x,y)dσ，

?Df(x,y)dσ=?D1f(x,y)dσ+?D1f(-x,y)dσ，從而(a)結(jié)論成立。

記憶方法：首先，確定點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)明顯為(-x,y)，再次，研究f(x,y)與f(-x,y)之間的關(guān)系：若f(x,y)=f(-x,y)，即不變號(hào)；若f(x,y)=-f(-x,y)，則變號(hào)。dσ為面積元，始終不變號(hào)。所以定理3可以記憶為：先找對(duì)稱點(diǎn)，再看對(duì)應(yīng)的二個(gè)函數(shù)之間是否變號(hào)(由于dσ為面積元，始終不變號(hào))，變號(hào)為0，不變號(hào)為2倍。

以(c)為例：首先，(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)明顯為(-x,-y)；再次，研究f(x,y)與f(-x,-y)之間關(guān)系；最后，若變號(hào)(即f(x,y)=-f(-x,-y))則為0，不變號(hào)則為2倍。利用這個(gè)方法，我們很容易寫(xiě)出積分區(qū)域D關(guān)于直線y=-x對(duì)稱時(shí)的情形，請(qǐng)讀者自行補(bǔ)充。

定理4 設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，若積分區(qū)域D關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性,則

?Df(x,y)dσ=?Df(y,x)dσ

從上面的分析我們可以看出：對(duì)稱輪換性的本質(zhì)為二重積分的值與積分變量如何選取是無(wú)關(guān)的，這與我們之前提出的定積分的性質(zhì)是類似的。下面通過(guò)例1、例2來(lái)說(shuō)明在計(jì)算二重積分值時(shí)，如何利用對(duì)稱性來(lái)有效地減少計(jì)算量。

例1 計(jì)算Ι=?D(3x+2y)2dσ,其中D:x2+y2≤1。

解Ι=?D(9x2+4y2+12xy)dσ，由于D關(guān)于x軸對(duì)稱,而f1(x,y)=12xy=-f1(x,-y)，即變號(hào)了一次，故?D12xydσ=0。由于區(qū)域D明顯地關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性,因此，?Dx2dσ=?Dy2dσ。

進(jìn)一步可得：

分析 因?yàn)镈關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性，故可以運(yùn)用定理4。

3 二類曲線積分的對(duì)稱性與應(yīng)用

由第一類曲線積分與第一類曲面積分的定義可知，二者的對(duì)稱性是一致的；而第二類曲線積分與第二類曲面積分的定義仍然揭示了它們對(duì)稱性也是一致的。因此，在本節(jié)我們僅僅討論二類曲線積分的對(duì)稱性與應(yīng)用，這足以說(shuō)清對(duì)稱問(wèn)題，對(duì)于曲面積分的對(duì)稱性，讀者可以直接類推得出。

首先，同上節(jié)一樣，列出二類曲線積分的最核心的對(duì)稱性定理。

(a)若l是關(guān)于y軸對(duì)稱,則

其中l(wèi)1={(x,y)|(x,y)∈l,x≥0}；

(b)若l是關(guān)于x軸對(duì)稱,則

其中l(wèi)2={(x,y)|(x,y)∈l,y≥0}；

(c)若l是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則

其中l(wèi)3={(x,y)|(x,y)∈l,x≥0,y≥0}；

(d)若l是關(guān)于y=x對(duì)稱,則

其中l(wèi)4={(x,y)|(x,y)∈l,x≥y}。

定理6 設(shè)L為平面上分段光滑的定向曲線，其中P(x,y)，Q(x,y)是連續(xù)的。則

(a)若曲線L是關(guān)于y軸對(duì)稱，則有

其中L1是L右半平面部分。

(b)若曲線L是關(guān)于x軸對(duì)稱，則有

其中L2是L位于x軸上方的部分。

對(duì)于第一類曲線積分的對(duì)稱性(定理5)，仍然采取與二重積分對(duì)稱性相同的分析法和記憶法，也容易看出二者的對(duì)稱性結(jié)論類同，主要原因在于ds為長(zhǎng)度的微元，仍然為正。對(duì)比定理5，定理6(第二類曲線積分的對(duì)稱性)明顯復(fù)雜于定理5(第一類曲線積分的對(duì)稱性)。如果要求學(xué)生強(qiáng)行記憶，勢(shì)必隨時(shí)間推移定理結(jié)論易混淆。對(duì)此，我們?nèi)匀话凑罩暗诙?jié)中的介紹方法來(lái)處理，以(a)為例：

圖1 定理6(a)示意

從上面的分析可以看出，對(duì)于第二類曲線積分，一方面考慮被積函數(shù)是否變號(hào)，另一方面考慮dx或dy是否變號(hào)，變了一次號(hào)為0，變了二次為2倍。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、關(guān)于y=x對(duì)稱，讀者可按上述方法很容易給出，故在此不再列出。

圖2 曲線L

4 小結(jié)

本文討論了各種積分的對(duì)稱性，基本涵蓋了數(shù)學(xué)專業(yè)“數(shù)學(xué)分析”里的各種積分；突破傳統(tǒng)的各種積分對(duì)稱性分別闡述的模式，也不再考慮各種繁雜的奇偶性，找出了這些積分關(guān)于對(duì)稱性的共性，通過(guò)利用各種積分定義和類比定積分的手段，有效地解決了對(duì)各種積分對(duì)稱性記不住和容易記混淆的問(wèn)題?？傮w來(lái)說(shuō)，各種積分對(duì)稱性定理分四步走：一看積分區(qū)域(曲線、曲面)是否具有某種對(duì)稱性，此為前提；二寫(xiě)對(duì)稱點(diǎn)，看被積函數(shù)在此種對(duì)稱性下是否發(fā)生了變號(hào)；三看微分在對(duì)稱區(qū)域上(區(qū)間、曲線、曲面等)是否發(fā)生了變號(hào)；最后看被積函數(shù)與微分總共變了幾次號(hào)，1次為0，2次為2倍。通過(guò)四步，無(wú)需再死記硬背各種積分的諸多對(duì)稱性定理。此外，輪換對(duì)稱性在多元積分里第一次出現(xiàn)，我們通過(guò)類比定積分，指出各種積分輪換對(duì)稱性的本質(zhì)為積分值與用什么積分變量無(wú)關(guān)，使其容易被理解。按照本文提出的方法，讀者可以很輕松地寫(xiě)出當(dāng)積分區(qū)域(區(qū)間、曲線、曲面等)關(guān)于y=-x對(duì)稱和積分區(qū)域關(guān)于y=ax+b(a≠0)對(duì)稱的相應(yīng)對(duì)稱性定理?？傊?，通過(guò)本文提出的四步走方法，各類積分的各類對(duì)稱性定理變得清晰易記。