李 慶，熊 濤

(1.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 400047；2.西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637002)

0 引言

1986年,保加利亞學(xué)者K. T. Atanassov[1]在模糊集的基礎(chǔ)上提出了直覺模糊集的概念。直覺模糊集比傳統(tǒng)的模糊集在處理模糊性和不確定性等方面更具有靈活性和實用性。軟集理論(Softsettheory)是D. Molodtsov[2]提出用來處理不確定性問題的新的數(shù)學(xué)工具。軟集理論的引入有效地解決了參數(shù)化工具不足的問題。為了充分發(fā)揮軟集理論和直覺模糊集理論的優(yōu)點,學(xué)者們提出了直覺模糊軟集理論[3-4]。隨之有研究者嘗試把直覺模糊軟集理論和不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)結(jié)合起來研究[5-8]。參考文獻[9-10]引入了直覺模糊軟半環(huán)和直覺模糊軟半環(huán)的直覺模糊軟理想的概念，豐富和拓寬了直覺模糊軟集理論及半環(huán)理論。半環(huán)概念最早是由P.Dedekind于1894年在代數(shù)數(shù)論的原著中提出的。二十世紀(jì)六十年代開始，隨著信息科學(xué)、理論計算機科學(xué)的發(fā)展，半環(huán)代數(shù)理論及其應(yīng)用都得到迅速發(fā)展。半環(huán)是對環(huán)和完備格非常自然的推廣。在數(shù)學(xué)的分支密碼學(xué)、泛函分析、拓撲學(xué)和歐氏幾何等里面，都有著半環(huán)理論的思想。半環(huán)還在物理學(xué)、化學(xué)、建筑、信息與通訊、理論計算機科學(xué)等自然科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域里都有廣泛和深入的應(yīng)用。現(xiàn)在，有不少關(guān)于半環(huán)理論和應(yīng)用的專著出現(xiàn)，相關(guān)理論已十分豐富[11-15]。代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系往往可以通過一些映射反映出來。同態(tài)既能反映兩個代數(shù)結(jié)構(gòu)元素之間的聯(lián)系，也能反映彼此結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，比如運算的保持，等等。對于同構(gòu)的兩個代數(shù)系統(tǒng)更是可以視作是一樣的，只是表現(xiàn)形式不一樣。正因為如此，研究一個代數(shù)結(jié)構(gòu)的同態(tài)像和逆像就很有必要。我們可以通過其同態(tài)像和逆像來獲知該代數(shù)對象本身的一些性質(zhì)，這是研究直覺模糊軟半環(huán)在直覺模糊軟映射下的軟像與軟逆像的意義所在。

在此基礎(chǔ)之上，我們自然想到映射如何作用于直覺模糊軟半環(huán)，直覺模糊軟半環(huán)在映射下的像與逆像是否還是直覺模糊軟半環(huán)？本文對此作了研究。同時，還證明了直覺模糊軟(左，右)理想在直覺模糊軟映射下的軟像與軟逆像仍是直覺模糊軟(左，右)理想。

本文使用的概念和符號都是標(biāo)準(zhǔn)的。例如：IFS是論域上的直覺模糊集等，在以后使用時不再特別說明。

1 預(yù)備知識

定義1.1[1]：論域X上的直覺模糊集(IFS)是指：A={〈x,μA(x),λA(x)〉|x∈X}。其中μA(x):X→[0,1],λA(x):X→[0,1],滿足0≤μA(x)+λA(x)≤1(?x∈X)。μA(x)和λA(x)分別為X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度。πA(x)=1-μA(x)-λA(x)稱為X中元素x屬于A的猶豫度。

定義1.2[3]：設(shè)U表示初始論域,E表示與U中對象有關(guān)的所有參數(shù)之集，P(U)表示U上的所有直覺模糊集的集合。令A(yù)?E,二元組(F,A)稱為U上的直覺模糊軟集，其中F:A→P(U)是一個映射。

定義1.3[10]：設(shè)R是一個半環(huán),R上的一個直覺模糊集?≠A={〈x,μA(x),λA(x)〉|x∈R}稱為R的直覺模糊半環(huán),若滿足對所有r1,r2∈R，則：

(a)μA(r1+r2)≥μA(r1)∧μA(r2),λA(r1+r2)≤λA(r1)∨λA(r2)；

(b)μA(r1r2)≥μA(r1)∧μA(r2),λA(r1r2)≤λA(r1)∨λA(r2)。

(a)A′?A；

定義1.6[10]：設(shè)初始論域為半環(huán)S,E表示與S中對象有關(guān)的所有參數(shù)之集。令A(yù),B?E，(F,A)和(G,B)是半環(huán)S上的兩個直覺模糊軟半環(huán)，直覺模糊軟半環(huán)(G,B)稱為(F,A)的直覺模糊軟子半環(huán)，若滿足：

(a)B?A；

(b)當(dāng)G(b)≠?時，G(b)是F(a)的直覺模糊子半環(huán)。

2 直覺模糊軟半環(huán)的軟像和軟逆像

F(a)=M={〈u1,μM(u1),λM(u1)〉|u1∈U1},G(b)=N={〈u2,μN(u2),λN(u2)〉|u2∈U2};

μN(u2)=

λN(u2)=

(F,A)在直覺模糊軟映射f=(f1,f2)下的像記為f(F,A)。

定理2.4 設(shè)(F,A)是半環(huán)S上的一個直覺模糊軟集，(F,A)是半環(huán)S上的一個直覺模糊軟半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對所有r,t∈[0,1]和a∈A,F(a)(r,t)是S的子半環(huán)。

證明：假設(shè)(F,A)是半環(huán)S上的直覺模糊軟半環(huán)。對所有r,t∈[0,1],a∈A和s1,s2∈F(a)(r,t)，我們有μF(a)(s1)≥r,λF(a)(s1)≤t,μF(a)(s2)≥r,λF(a)(s2)≤t。由定義，F(xiàn)(a)是S的直覺模糊半環(huán)。因此

μF(a)(s1+s2)≥μF(a)(s1)∧μF(a)(s2)≥r，

λF(a)(s1+s2)≤λF(a)(s1)∨λF(a)(s2)≤t，

μF(a)(s1s2)≥μF(a)(s1)∧μF(a)(s2)≥r，

λF(a)(s1s2)≤λF(a)(s1)∨λF(a)(s2)≤t。

亦即s1+s2,s1s2∈F(a)(r,t),所以,對所有r,t∈[0,1]和a∈A,F(a)(r,t)是S的子半環(huán)。

反之，假設(shè)對所有r,t∈[0,1]和a∈A,F(a)(r,t)是S的子半環(huán)。對每一個a∈A和s1,s2∈S，令r=μF(a)(s1)∧μF(a)(s2),t=λF(a)(s1)∨λF(a)(s2)，則s1,s2∈F(a)(r,t)。

因為F(a)(r,t)是S的子半環(huán),有s1+s2,s1s2∈F(a)(r,t)。亦即

μF(a)(s1+s2)≥r=μF(a)(s1)∧μF(a)(s2)，

λF(a)(s1+s2)≤t=λF(a)(s1)∨λF(a)(s2)，

μF(a)(s1s2)≥r=μF(a)(s1)∧μF(a)(s2)，

λF(a)(s1s2)≤t=λF(a)(s1)∨λF(a)(s2)。

因此，對所有a∈A,F(a)是半環(huán)S的直覺模糊半環(huán)。故(F,A)是半環(huán)S上的直覺模糊軟半環(huán)。

注：此定理給出了證明半環(huán)S上的一個直覺模糊軟集(F,A)是半環(huán)S上的一個直覺模糊軟半環(huán)的方法。

證明：令(G,B)在直覺模糊軟映射f=(f1,f2)下的逆像是f-1(G,B)=(F,A)(f2-1(B)=A?E1,B?E2)。令a∈f2-1(B)=A,f2(a)∈B，對每一個f2(a)∈B,G(f2(a))是S2的直覺模糊半環(huán)。對所有s′,s″∈S1,

μF(a)(s′s″)=μG(f2(a))f1(s′s″)=μG(f2(a))(f1(s′)f1(s″))≥μG(f2(a))f1(s′)∧μG(f2(a))f1(s″)=μF(a)(s′)∧μF(a)(s″),

λF(a)(s′s″)=λG(f2(a))f1(s′s″)=λG(f2(a))(f1(s′)f1(s″))≤λG(f2(a))f1(s′)∨λG(f2(a))f1(s″)=λF(a)(s′)∨λF(a)(s″),

μF(a)(s′+s″)=μG(f2(a))f1(s′+s″)=μG(f2(a))(f1(s′)+f1(s″))≥μG(f2(a))f1(s′)∧μG(f2(a))f1(s″)=μF(a)(s′)∧μF(a)(s″),

λF(a)(s′+s″)=λG(f2(a))f1(s′+s″)=λG(f2(a))(f1(s′)+f1(s″))≤λG(f2(a))f1(s′)∨λG(f2(a))f1(s″)=λF(a)(s′)∨λF(a)(s″)。

因此F(a)是S1的一個直覺模糊半環(huán)。由a的任意性,f-1(G,B)=(F,A)是S1上的一個直覺模糊軟半環(huán)。

μG(b)(s1)≥r,λG(b)(s1)≤t,μG(b)(s2)≥r,λG(b)(s2)≤t，

此表明s1+s2,s1s2∈G(b)(r,t)，故對所有b∈B,r,t∈[0,1],G(b)(r,t)是S2的一個子半環(huán)。由b的任意性，(F,A)在直覺模糊軟映射f=(f1,f2)下的像是S2上的一個直覺模糊軟半環(huán)。

3 直覺模糊軟左(右)理想的軟像和軟逆像

在這里，我們首先引入直覺模糊軟半環(huán)的直覺模糊軟理想的概念：

(a)A′是A的一個直覺模糊子半環(huán)；

定理3.3 設(shè)(F,A)是半環(huán)S上的一個直覺模糊軟集，則(F,A)是半環(huán)S上的一個 直覺模糊軟左(右)理想當(dāng)且僅當(dāng)對所有r,t∈[0,1]和a∈A，F(xiàn)(a)(r,t)={x∈S|μF(a)(x)≥r,λF(a)(x)≤t}是S的一個左(右)理想。

證明：假設(shè)(F,A)是半環(huán)S上的一個直覺模糊軟左(右)理想。那么，當(dāng)F(a)≠?時,F(a)是S的一個直覺模糊左(右)理想。故對所有s1,s2∈S，

μF(a)(s1+s2)≥μF(a)(s1)∧μF(a)(s2)，

λF(a)(s1+s2)≤λF(a)(s1)∨λF(a)(s2)，

μF(a)(s1s2)≥μF(a)(s2)(μF(a)(s1))，

λF(a)(s1s2)≤λF(a)(s2)(λF(a)(s1))。

對所有b1,b2∈F(a)(r,t)，s∈S，我們可得：

μF(a)(b1+b2)≥μF(a)(b1)∧μF(a)(b2)≥r，

λF(a)(b1+b2)≤λF(a)(b1)∨λF(a)(b2)≤t，

μF(a)(sb2)≥μF(a)(b2)≥r(μF(a)(b1s)≥μF(a)(b1)≥r)，

λF(a)(sb2)≤λF(a)(b2)≤t(λF(a)(b1s)≤λF(a)(b1)≤t)。

故對所有r,t∈[0,1]和a∈A,b1+b2,sb2(b1s)∈F(a)(r,t),F(a)(r,t)是S的左(右)理想。

另一方面,F(a)≠?,對所有r,t∈[0,1]和a∈A,令F(a)(r,t)={x∈S|μF(a)(x)≥r,λF(a)(x)≤t}是S的左(右)理想。對每個a∈A,s′∈S,令r=μF(a)(s′)，t=λF(a)(s′)，則s′∈F(a)(r,t)。因為F(a)(r,t)是S的左(右)理想，所以對每個s∈S，我們有

μF(a)(ss′)≥r=μF(a)(s′)，λF(a)(ss′)≤t=λF(a)(s′)，故ss′∈F(a)(r,t)。

(μF(a)(s′s)≥r=μF(a)(s′)，λF(a)(s′s)≤t=λF(a)(s′)，故s′s∈F(a)(r,t))。

下面我們將證明s+s′∈F(a)(r,t)。對每個s,s′∈S,令r=μF(a)(s)∧μF(a)(s′)，t=λF(a)(s)∨λF(a)(s′)，則s,s′∈F(a)(r,t)，故

μF(a)(s+s′)≥r=μF(a)(s)∧μF(a)(s′)，

λF(a)(s+s′)≤t=λF(a)(s)∨λF(a)(s′),

則當(dāng)F(a)≠?時,F(a)是S的一個直覺模糊左(右)理想。因此(F,A)是S上的一個直覺模糊軟左(右)理想。

證明：令(G,B)在直覺模糊軟映射f=(f1,f2)下的逆像是f-1(G,B)=(F,A)(f2-1(B)=A?E1,B?E2)，令a∈f2-1(B)=A,f2(a)∈B,對每個f2(a)∈B,G(f2(a))是S2的一個直覺模糊左(右)理想。因此對所有s′,s″∈S1。

μF(a)(s′s″)=μG(f2(a))f1(s′s″)=μG(f2(a))(f1(s′)f1(s″))≥μG(f2(a))f1(s″)=μF(a)(s″)，

(μF(a)(s′s″)=μG(f2(a))f1(s′s″)=μG(f2(a))(f1(s′)f1(s″))≥μG(f2(a))f1(s′)=μF(a)(s′))，

λF(a)(s′s″)=λG(f2(a))f1(s′s″)=λG(f2(a))(f1(s′)f1(s″))≤λG(f2(a))f1(s″)=λF(a)(s″)，

(λF(a)(s′s″)=λG(f2(a))f1(s′s″)=λG(f2(a))(f1(s′)f1(s″))≤μG(f2(a))f1(s′)=λF(a)(s′))，

μF(a)(s′+s″)=μG(f2(a))f1(s′+s″)=μG(f2(a))(f1(s′)+f1(s″))≥μG(f2(a))(f1(s′))∧μG(f2(a))f1(s″)=μF(a)(s′)∧μF(a)(s″)，

λF(a)(s′+s″)=λG(f2(a))f1(s′+s″)=λG(f2(a))(f1(s′)+f1(s″))≤λG(f2(a))(f1(s′))∨λG(f2(a))f1(s″)=λF(a)(s′)∨λF(a)(s″)。

從而推出F(a)是S1的一個直覺模糊左(右)理想，由a的任意性，f-1(G,B)=(F,A)是S1上的一個直覺模糊軟左(右)理想。

對所有s1,s2∈G(b)(r,t)，μG(b)(s1)≥r,λG(b)(s1)≤t，μG(b)(s2)≥r,λG(b)(s2)≤t，

從而u2s1∈G(b)(r,t)。下面我們證明對所有s1,s2∈G(b)(r,t)?S2,s1+s2∈G(b)(r,t)。

因為f1∶S1→S2是一個同態(tài)滿射，f1(x′+x″)=s1+s2,因此x′+x″∈f1-1(s1+s2)。

所以我們有u2s1∈G(b)(r,t)，s1+s2∈G(b)(r,t)，這表明對所有b∈B,r,t∈[0,1],G(b)(r,t)是S1的一個直覺模糊左理想。因此(G,B)是S2上的一個直覺模糊軟左理想。

4 小結(jié)

本文證明了直覺模糊軟半環(huán)的軟像和軟逆像仍是直覺模糊軟半環(huán)。直覺模糊軟(左，右)理想在直覺模糊軟映射下的軟像與軟逆像仍是直覺模糊軟(左,右)理想。這表明直覺模糊軟半環(huán)、直覺模糊軟理想與它們的像和逆像之間有著相似的代數(shù)性質(zhì)。作為直覺模糊軟集理論在半環(huán)這個代數(shù)結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用，直覺模糊軟半環(huán)的其他性質(zhì)還值得我們?nèi)パ芯俊?/p>