杜海洋
(四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 610100)
縱觀近幾年高考考查三角函數(shù)內(nèi)容幾乎都有一道涉及三角恒等變換的小題,一般屬于容易或中檔難度,這些小題往往題干簡(jiǎn)潔、精煉優(yōu)美,內(nèi)涵豐富,往往受到學(xué)生的喜愛(ài)而成為所謂的“網(wǎng)紅”.三角變換是高中數(shù)學(xué)基本運(yùn)算之一,但難點(diǎn)在于涉及公式多,角與角相互關(guān)系密切且錯(cuò)綜復(fù)雜,解題時(shí)容易陷入方法無(wú)從選擇的困境,有時(shí)思路不一樣會(huì)導(dǎo)致解題長(zhǎng)度不同,甚至進(jìn)入泥潭不能自拔.下面筆者以一道高考試題為例,淺析三角變換常涉及到的處理策略,希望讀者細(xì)細(xì)品味,在多種解法中,看看那些是由于公式選擇不同造成的,那些是由切入點(diǎn)不同造成的,只有把這些問(wèn)題弄清楚后才有助于我們?nèi)ダ斫馊亲儞Q問(wèn)題的解題精髓.
分析本題條件為正切形式,而結(jié)論是正弦形式,即已知角的函數(shù)名稱與未知不同,則明顯利用三角公式進(jìn)行變換,消除兩者的差異,那么思路方向不外乎常見(jiàn)的弦切互化.由于式子中存在兩角的和與倍角關(guān)系,所以不難想到還要利用和角公式與倍角公式,這樣就確定了解題的大方向.仔細(xì)推敲此題雖考查三角函數(shù)的求值,但滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法,涉及利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.可見(jiàn)命題者對(duì)這道試題的獨(dú)居用心.
【一招】弦化切
解法1由題意首先求得tanα的值,然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問(wèn)題,最后弦化切求得三角函數(shù)式的值即可.
本解法充分利用了構(gòu)成齊次式的思想,將2sinαcosα+cos2α-sin2α看成分母1=cos2α+sin2α是本法的關(guān)鍵之作,也是我們平時(shí)訓(xùn)練的常用的技巧之一.
解法2 萬(wàn)能公式1.
解法3 萬(wàn)能公式2.
解法4 先將未知角向已知角進(jìn)行變換,再進(jìn)行“弦化切”.
本法由題設(shè)和結(jié)論的角之間的關(guān)系,將未知角拆分向已知轉(zhuǎn)化,這是角的變換最常見(jiàn)思路.
解法5 整體換元處理.
本法與法4一樣,主要是在遇到式子結(jié)構(gòu)復(fù)雜時(shí),進(jìn)行整體換元有助于簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高解題速度.
【二招】切化弦
解法6本法利用我們平時(shí)練的通性通法.出題者在設(shè)計(jì)上如用此法會(huì)產(chǎn)生分類討論,可能在考場(chǎng)上因?yàn)楹?jiǎn)單的小題讓考生久討論產(chǎn)生心急的情緒,這也是命題者對(duì)考生全面考查的良苦之作.
解法7 本法妙招在于直接通過(guò)切化弦,整理化簡(jiǎn)再合并得出結(jié)果,此法可稱為妙
由(1),(2)聯(lián)立可得
此法妙招在于特殊角一般化,利用式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),建立方程求解,思維難度較大.
【三招】利用三角函數(shù)的定義
我們深知三角函數(shù)的定義是推導(dǎo)三角恒等變換的本源,所以從某種意義上講,三角函數(shù)的定義功能更強(qiáng)大,也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
解法10 利用單位圓定義法.
解法11 利用角的終邊點(diǎn)定義法.
此法與角單位圓法類似.此處解法略,有興趣的同學(xué)可做做.