張治國

(山東省濟(jì)南市歷城第二中學(xué) 250100)

本文從導(dǎo)函數(shù)的凹凸性的這一函數(shù)的重要性質(zhì)出發(fā)，對一個(gè)與函數(shù)有關(guān)的不等關(guān)系進(jìn)行了猜想與嚴(yán)格的證明，借助高等數(shù)學(xué)微積分理論中的拉格朗日中值定理，對函數(shù)極值點(diǎn)偏移的定義進(jìn)了一般推廣.

一、一個(gè)與函數(shù)有關(guān)的不等關(guān)系的猜想與證明

為了敘述方便，本文中所給出的函數(shù)f(x)在定義域上為連續(xù)且可導(dǎo)的函數(shù).

設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，取I上的任意兩點(diǎn)x1,x2;

(1)若f′(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)，則有如下不等關(guān)系：

(2)若f(x)為嚴(yán)格凹函數(shù)，則有如下不等關(guān)系：

1.不等關(guān)系的幾何解釋

以公式一為例：

首先給出凸函數(shù)的一條重要的幾何性質(zhì)：若f(x)為凸函數(shù)，則其曲線總是在它的任意切線上方.

設(shè)f′(x)為函數(shù)圖象在第一象限上的嚴(yán)格凸函數(shù)，大體圖象如下：

設(shè)梯形ABCD的面積為S1,梯形BDGF的面積為S2,曲邊梯形ABCD的面積為S.根據(jù)定積分的幾何意義,有S=f(x2)-f(x1).通過幾何直觀，有如下不等關(guān)系：

從上述的推導(dǎo)過程，可以得到公式一的幾何解釋.下面我們從理論上對公式一進(jìn)行證明.

2.理論證明

下面從嚴(yán)格凸函數(shù)的定義出發(fā)，給出公式一的理論證明.

上述推導(dǎo)過程，借助高等數(shù)學(xué)微積分中有關(guān)凹凸函數(shù)的定義與性質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)的證明.

二、函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的推廣

結(jié)合拉格朗日中值定理由公式一與公式二，可以得到以下不等關(guān)系：

設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，取I上的任意兩點(diǎn)x1,x2;

若f′(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)，則有如下不等關(guān)系：

若f′(x)為嚴(yán)格凹函數(shù)，則有如下不等關(guān)系：

函數(shù)極值點(diǎn)偏移的定義是公式三與公式四的特殊形式.類比極值點(diǎn)偏移的定義，根據(jù)拉格朗日中值定理與公式三、公式四，我們可以將極值點(diǎn)偏移的定義大膽地進(jìn)行一般推廣，即一般偏移.下面給出一般偏移的定義.

導(dǎo)數(shù)既是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的延續(xù).對高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的研究，不僅僅要研究解法與技巧，更重要的是研究題目的背景與命題來源.借助高等數(shù)學(xué)中的微積分理論，能夠?yàn)楦呖紝?dǎo)數(shù)壓軸題的研究提供新的視角.