李 麗 朱磊平 梅樹立

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院， 北京 100083)

0 引言

蝗蟲切片圖像是研究蝗蟲生理結(jié)構(gòu)的有效工具。與普通生物切片圖像相同，蝗蟲切片圖像中的紋理結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)為具有多尺度特性的光滑曲線，且邊界輪廓不清晰[1-2]?；认x切片圖像是在顯微鏡下拍攝得到的，空氣中的塵埃及由此帶來的光線反射會形成圖像中的椒鹽和高斯混合噪聲。因此，采用常見的典型圖像降噪方法很難獲得蝗蟲切片圖像高質(zhì)量的降噪效果。非線性偏微分方程[3]方法是生物圖像處理的常用方法，可實現(xiàn)圖像的保邊降噪，但該方法缺少多尺度特性，因此對細小紋理保護較差。

小波精細積分法是一種求解偏微分方程的有效方法[4]。該方法可實現(xiàn)偏微分方程空間[5]和時間[6]的多尺度自適應(yīng)性離散，有效提高了數(shù)值算法的效率和精度。近年來，隨著同倫技術(shù)的引入[7-8]和區(qū)間小波[9-10]的提出，小波精細積分法得到不斷完善和發(fā)展，已在隨機振動[11]、土壤侵蝕分析[12]、圖像處理[13]、期權(quán)定價[14]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

采用差分法或者單尺度小波數(shù)值方法求解二維偏微分方程，離散點總量大，很難滿足工程中大數(shù)據(jù)量問題(如圖像處理)求解的要求。因此，將小波精細積分法推廣應(yīng)用于二維偏微分方程的求解具有非常重要的意義。構(gòu)造二維偏微分方程小波精細積分算法的關(guān)鍵是二維多尺度插值小波算子的構(gòu)造。利用多尺度小波插值算子對偏微分方程進行自適應(yīng)離散，得到的常微分方程組可使用基于外推技術(shù)的自適應(yīng)精細積分法[4]直接求解。

本文基于Shannon-Cosine小波[15]構(gòu)造多尺度小波插值算子，以實現(xiàn)圖像的稀疏表達、去除椒鹽噪聲，基于該算子構(gòu)造小波精細積分法，以消除圖像的高斯噪聲和椒鹽噪聲。

1 Shannon-Cosine多尺度小波變換

1.1 Shannon-Cosine小波及其性質(zhì)

Shannon-Cosine小波母函數(shù)[15]定義為

(1)

其中

式中N——與支撐區(qū)間相關(guān)的常數(shù)

an——線性組合系數(shù)，表示光滑度

χ(x)——Heaviside函數(shù)

n、m——函數(shù)光滑度參數(shù)

顯然，函數(shù)的支撐區(qū)間為[-N/2,N/2]。參數(shù)an用來定義函數(shù)邊界處的光滑度，可通過如下偏微分方程組求得。

(2)

不難驗證，Shannon-Cosine小波母函數(shù)具有插值特性，即φ(0)=1。將x=N/2 (或者x=-N/2)和x=0代入到式(1)、(2)，可以得到關(guān)于參數(shù)an的線性代數(shù)方程組。

相對于Shannon小波母函數(shù)[16-17]，Shannon-Cosine小波母函數(shù)具有更好的緊支撐性，如圖1所示。

圖1 Shannon函數(shù)與參數(shù)化Shannon-Cosine小波母函數(shù)對比Fig.1 Comparison between Shannon function and parametric Shannon-Cosine mother wavelet function

1.2 多尺度插值小波算子

設(shè)φ(x)為具有插值特性的小波母函數(shù)，通過平移和伸縮得到的函數(shù)序列定義為

φj,k=φ(2jx-k)
(k=0,1,…,2j；j∈Z)

(3)

式中j——伸縮系數(shù)k——平移系數(shù)

φj,k——尺度基函數(shù)

對應(yīng)的小波函數(shù)定義為

ψj,k(x)=φj+1,2k+1(x)

(4)

對于函數(shù)f(x)∈L2(0,1)，x∈[xmin,xmax]，L表示平方可積的可測函數(shù)組成的空間，插值小波變換系數(shù)定義為

(5)

式中αj,k——小波變換系數(shù)

(6)

根據(jù)插值小波變換系數(shù)的定義，有

(7)

其中ψj,k=φj+1,2k+1,利用限制算子的定義得到

(8)

其中

將式(8)代入式(7)，得

(9)

將式(6)代入式(9)，得

(10)

由式(10)等號兩側(cè)對比得到基于Shannon-Cosine小波的多尺度插值小波變換矩陣為

(11)

當(dāng)j=j0時，得

(12)

利用式(6)，可以方便地計算圖像中每個像素點處的插值小波變換系數(shù)αj,k。生物醫(yī)學(xué)圖像通?？梢暈榉謮K光滑函數(shù)，因此，椒鹽噪聲點屬于光滑圖像函數(shù)中的不連續(xù)點，這便導(dǎo)致椒鹽噪聲點處的多尺度插值小波變換系數(shù)較大?；谠撛?，很容易識別圖像中的椒鹽噪聲點，即預(yù)先設(shè)定閾值為h，對應(yīng)的軟閾值函數(shù)定義為

(13)

當(dāng)圖像中某點處的小波系數(shù)大于該點處的軟閾值時，該點處的圖像信息用圖像中的其他像素點逼近表達，從而消除了該椒鹽噪聲。換句話說，稀疏表達本身可消除圖像中的椒鹽噪聲。

2 多尺度Shannon-Cosine小波精細積分法

用P-M模型對圖像進行展開，使用小波插值算子實現(xiàn)圖像紋理的自適應(yīng)識別。用Shannon-Cosine小波配置法將偏微分方程離散成常微分方程，在此過程中，小波配置法對紋理實現(xiàn)自動捕捉，即根據(jù)圖像灰度的變化特點自適應(yīng)離散，以自適應(yīng)選取圖像的特征點。在紋理處密集選取點集，在平滑處稀疏選點。最后，利用小波精細積分法求解常微分方程得到高精度解，方程組的解即為降噪后圖像在該點處的像素值。

2.1 圖像處理變分模型

(14)

這個收斂性在L2(RN)空間逐點適用。其中，(g)n*表示g的n次卷積。所以對于每個原始有界圖像u0(x)，定義為

Lhu0=gh*u0

(15)

由此可進一步得到(Lh)nu0→Ttu0，這里，Ttu0=u(t,x)，且u(t,x)是一個非線性熱傳導(dǎo)方程初值問題，P-M模型表示為

(16)

(17)

式中 (x,y)——像素點坐標(biāo)

t——時間

u(x,y,t)——處理后的圖像，簡稱為u

Ω——圖像所在區(qū)域

?Ω——圖像邊界

k——常數(shù)，梯度閾值

2.2 變分模型的小波精細積分法求解

函數(shù)u(x,y)表示像素點(x,y)處的灰度，引入記號

φ(x,y)=φ(x)φ(y)

(18)

則φj,k,l(x,y)=φ(2jx-k)φ(2jx-l),k、l∈Z。由配置法思想, 偏微分方程的解可近似表示為

(19)

將式(19)代入式(16)可得其小波離散格式為

(20)

其中k1=0,1,…,2j;k2=0,1,…,2j,j∈Z。記

(21)

(22)

于是方程組(20)可簡記為矩陣形式

(23)

以上方程組的解可表示為

(24)

其中

T=exp(Wτ)

式中τ——時間步長W——常數(shù)矩陣

T——指數(shù)函數(shù)wn1,n2——常數(shù)矩陣

由此，問題可歸結(jié)為矩陣T的計算，而矩陣T可通過精細積分方法[4]精確求得。

3 蝗蟲切片圖像降噪實驗

3.1 蝗蟲切片顯微圖像的獲取

根據(jù)項目任務(wù)和目標(biāo)要求，篩選滿足條件的蝗蟲直接作超薄連續(xù)切片，以獲取蝗蟲與微生物農(nóng)藥在組織水平上相互作用的圖像，為在組織水平上的三維重建提供數(shù)據(jù)。顯微鏡下觀察到的原始圖像稍顯模糊。在顯微鏡上觀察得到的圖像噪聲屬于混合噪聲，成分復(fù)雜且含量不明確。為了便于量化對比各種方法，借助于PS軟件采用人工方法對原始圖像進行降噪和增強，結(jié)果如圖2a所示。定量添加人工噪聲(如高斯噪聲、椒鹽噪聲等)后，如圖2b所示。不同方法對圖像的降噪效果如圖2c～2e所示。

圖2 含人工混合噪聲圖像的降噪效果對比Fig.2 Comparison of different denoising methods on slice image of locust with mixed noises

3.2 蝗蟲切片顯微圖像降噪效果對比

3.2.1降噪方法對比

可用于生物圖像降噪的典型方法包括維納濾波、小波降噪、偏微分方程方法(變分法)、剪切波變換等。均值算子和中值算子也是圖像降噪的常見方法，但適用范圍較窄，不適合多種類型噪聲混雜的情況。變分法[18-19]通過迭代求解偏微分方程實現(xiàn)圖像降噪，且容易將細小紋理當(dāng)作噪聲處理[20]，盡管提高偏微分方程的階數(shù)可以改善降噪效果，但迭代求解效率較低，精度也相應(yīng)下降。因此，本節(jié)重點對比維納濾波方法和小波降噪方法。維納濾波是一種自適應(yīng)濾波器，具有較廣的適用范圍和較好的降噪效果[21-22]。在眾多的小波中，Daubechies小波是唯一同時具有正交性、光滑連續(xù)性、緊支撐性的小波；Symlets小波是在Daubechies小波的基礎(chǔ)改進得到的[23]，保留了Daubechies小波的優(yōu)點，且具有近似對稱的特性，相對于Daubechies小波，具有更好的圖像處理效果[24]。

本節(jié)用于對比實驗的小波為sym4小波，采用Matlab內(nèi)嵌函數(shù)wdencmp進行圖像降噪，對應(yīng)的閾值、逼近系數(shù)等參數(shù)由Matlab內(nèi)嵌函數(shù) ddencmp根據(jù)被處理圖像自適應(yīng)獲取。維納濾波方法則采用Matlab內(nèi)嵌函數(shù) wiener2來實現(xiàn)。圖2d是序列切片圖像的維納濾波結(jié)果，估算局部圖像噪聲均值和方差的鄰域圖塊的尺寸為6像素×6像素；圖2c是通過小波變換實現(xiàn)圖像降噪的結(jié)果。本文方法則采用Shannon-Cosine小波構(gòu)造多尺度插值算子，N取23.123 447 719 961 405，此時精度具有更好的數(shù)值性能，Shannon-Cosine小波具有緊湊的支持域，提高了數(shù)值精度和效率[25]。輸入圖像后，對圖像用P-M模型展開，用Shannon-Cosine小波配置法將偏微分方程離散成常微分方程，在此過程中，小波配置法對紋理實現(xiàn)自動捕捉，即根據(jù)圖像灰度的變化特點自適應(yīng)離散，以自適應(yīng)選取圖像的特征點。而后，小波精細積分法求解常微分方程得到高精度解，方程組的解即為降噪后圖像在該點處的像素值。對切片圖像進行降噪的效果如圖2e所示，對應(yīng)的稀疏點陣圖像如圖2f所示。

由稀疏點陣圖可見，在圖像紋理豐富區(qū)域，小波插值算子在紋理密集處特征點自動加密，特征點在平滑區(qū)域則自動減少。由此可見小波插值算子對圖像中的紋理和輪廓具有較強的敏感性。其中，總像素點數(shù)為198 338，特征像素點為16 357個。稀疏點的個數(shù)只占圖像像素總數(shù)的10%左右，利用稀疏點陣重構(gòu)圖像時，可有效消除噪聲，同時保持較為清晰的紋理。單純從視覺效果來看，本文方法優(yōu)于小波降噪和維納濾波，維納濾波又優(yōu)于symlets小波降噪。

3.2.2噪聲種類對降噪效果的影響

為便于量化對比，對不含噪聲的圖像增加人工混合噪聲(強度為0.05的椒鹽噪聲和均值與方差分別為0、0.02的高斯噪聲)，結(jié)果如圖2b所示。表1給出了采用不同方法得到的降噪圖像的峰值信噪比(Peak signal-to-noise ratio，PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(Structural similarity index, SSIM)。這兩個參數(shù)是評價圖像降噪方法的常用指標(biāo)，此處直接采用Matlab中的內(nèi)嵌函數(shù)psnr和ssim計算得到。

中值濾波對椒鹽噪聲具有非常強的敏感性，表1所示數(shù)值也反映了該點。而對混合噪聲和高斯噪聲來說，本文方法的降噪效果最好，明顯優(yōu)于其他方法。

3.2.3噪聲含量對降噪效果的影響

通常，隨著高斯噪聲基本偏差的增大，噪聲含量也相應(yīng)增加。表2給出了在噪聲含量增加時，不同濾波方法的去噪效果?？梢钥闯觯鞣N降噪方法中，峰值信噪比(PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)兩個參數(shù)都隨著噪聲含量的增加而衰減，但本文方法始終具有最好的降噪效果。圖3為不同降噪方法的降噪效果指標(biāo)(PSNR和SSIM)隨高斯噪聲方差的變化曲線。隨著高斯噪聲方差由0.02增加到0.10，本文方法得到的降噪圖像的PSNR下降了11.67%；而維納濾波、小波方法、中值濾波和均值濾波方法得到的降噪圖像的PSNR分別下降了25.36%、25.74%、17.96%、24.55%；上述5種方法的SSIM分別下降了13.67%、31.26%、33.85%、27.66%、22.78%。顯然，本文方法隨著噪聲含量的增加，降噪效果參數(shù)衰減率最低，表明本文方法具有較好的魯棒性和對不同圖像較強的適應(yīng)能力。

表1 噪聲種類對降噪效果的影響Tab.1 Influence of noises type on denoising effect

表2 高斯噪聲方差對降噪效果的影響(均值m=0)Tab.2 Influence of Gaussian noise variance on denoising effect (mean m=0)

圖3 峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似度隨高斯噪聲方差的變化曲線Fig.3 Changes of PSNR and SSIM with increase of Gaussian noises variance

4 結(jié)論

(1)基于Shannon-Cosine小波構(gòu)造的多尺度插值算子對蝗蟲切片圖像中的紋理和輪廓具有較強的敏感性，由此得到圖像的稀疏特征點，為圖像保紋理降噪奠定了基礎(chǔ)。

(2)多尺度插值算子適合對包含混合噪聲的蝗蟲切片顯微圖像進行降噪，且對噪聲含量不敏感，實驗表明，本文方法隨著高斯噪聲方差由0.02增加到0.10，降噪圖像的PSNR下降了11.67%，遠低于其他方法。

(3)基于差分求解的變分法是生物圖像領(lǐng)域的經(jīng)典方法，基于該方法，本文采用了多尺度稀疏表示方法，從而具有較高的求解效率。