邱志強(qiáng),廖選平,孫瑞勝,朱 斌

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中戰(zhàn)役戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈要具備大空域、多彈道、遠(yuǎn)射程、大機(jī)動的作戰(zhàn)性能特點,超聲速巡航導(dǎo)彈以其具有飛行包絡(luò)大,能夠適應(yīng)各種戰(zhàn)場需求的特點[1],成為了各個國家的研究熱點之一。固體沖壓發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)簡單,質(zhì)量輕,推重比大,成本低,具有較高的經(jīng)濟(jì)性[2],多被應(yīng)用于超聲速巡航導(dǎo)彈[3]。

清楚認(rèn)識被控對象的工作特性是設(shè)計控制器的基礎(chǔ)。從固體沖壓發(fā)動機(jī)的工作原理和系統(tǒng)組成出發(fā),文獻(xiàn)[4]分析了燃?xì)獍l(fā)生器的穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)過程,通過數(shù)值模擬研究得到了自由容積和燃速壓強(qiáng)指數(shù)對流場的影響;文獻(xiàn)[5]通過數(shù)值模擬得到了燃燒室入口開度、燃燒室?guī)缀未笮腆w沖壓發(fā)動機(jī)工作的影響。針對固體沖壓發(fā)動機(jī)的建模問題,學(xué)者們做了大量的研究?；诙嘧兞孔兓娜紵誓Ｐ?文獻(xiàn)[6]提出了發(fā)動機(jī)工作過程的模型;文獻(xiàn)[7]則建立了一種能夠?qū)ν屏M(jìn)行預(yù)測的燃?xì)饬髁靠烧{(diào)的固體沖壓發(fā)動機(jī)模型;另外,通過影響系數(shù)法,文獻(xiàn)[8]建立了沖壓發(fā)動機(jī)的準(zhǔn)一維模型。目前,多數(shù)研究僅針對固體沖壓發(fā)動機(jī)本身,關(guān)于超聲速巡航導(dǎo)彈速度控制系統(tǒng)的模型研究相對較少。

準(zhǔn)確地控制固體沖壓發(fā)動機(jī)的工作過程是超聲速巡航導(dǎo)彈的速度控制的關(guān)鍵。固體沖壓發(fā)動機(jī)的控制方法大多采用PID控制[9-10],但固體沖壓發(fā)動機(jī)工作過程迅速,存在負(fù)調(diào)節(jié)等復(fù)雜現(xiàn)象[11],同時固體沖壓發(fā)動機(jī)模型本身存在非線性及不確定性[12],這些都給超聲速巡航導(dǎo)彈的速度控制系統(tǒng)設(shè)計帶來了一定的困難,傳統(tǒng)PID控制已不適用。因此,尋找合適的控制方法是超聲速巡航導(dǎo)彈速度控制系統(tǒng)設(shè)計的關(guān)鍵。反演控制技術(shù)是近年發(fā)展起來的一種非線性反饋控制設(shè)計的方法。反演控制技術(shù)引入“虛擬控制量”,分別設(shè)計其控制律,最終獲得系統(tǒng)實際的控制輸入[13]。但當(dāng)系統(tǒng)模型存在不確定性時,反演設(shè)計方法的魯棒性能將不再滿足要求。為此,國內(nèi)外學(xué)者將反演控制方法結(jié)合自適應(yīng)控制與滑?？刂频?取得了良好的控制結(jié)果[14-16]。

本文以超聲速巡航導(dǎo)彈為研究對象,結(jié)合固體沖壓發(fā)動機(jī)的工作特性,分析并建立了超聲速巡航導(dǎo)彈的速度控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。針對速度控制系統(tǒng)存在的參數(shù)時變和不確定干擾問題,在反演法的基礎(chǔ)上設(shè)計了一種反演魯棒控制器,利用Lyapunov理論驗證其穩(wěn)定性。通過與PID控制方法的仿真對比,驗證控制器設(shè)計的可行性及有效性。

1 問題描述

1.1 速度控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

如圖1所示,超聲速巡航導(dǎo)彈的固體沖壓發(fā)生器相當(dāng)于一個固體火箭發(fā)動機(jī),但又有別于固體火箭發(fā)動機(jī)。發(fā)動機(jī)工作過程中,由燃?xì)獍l(fā)生器產(chǎn)生高溫高速的燃?xì)馍淞鲊娙霙_壓補(bǔ)燃室與沖壓空氣進(jìn)行摻混增壓,燃?xì)鈴奈矅姽車姵霎a(chǎn)生推力[17]。

圖1 固體沖壓發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖

因此,為滿足超聲速巡航導(dǎo)彈的推力需求和實際的飛行條件,需要調(diào)節(jié)圖1中的壅塞調(diào)節(jié)閥開度,改變發(fā)動機(jī)所產(chǎn)生的推力。

燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)的質(zhì)量守恒方程:

(1)

式中:qm,r為燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)產(chǎn)生的燃?xì)赓|(zhì)量流量;qm,g為燃?xì)獍l(fā)生器噴管排出的燃?xì)赓|(zhì)量流量;d(ρrVr)/dt為燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)燃?xì)赓|(zhì)量隨時間的變化,ρr為推進(jìn)劑燃燒產(chǎn)生的燃?xì)饷芏?Vr為燃?xì)獍l(fā)生器的自由容積。其中燃?xì)獍l(fā)生器自由容積的變化可由推進(jìn)劑燃燒減少的體積表示,即

(2)

式中:Vr0為燃?xì)獍l(fā)生器初始自由容積,a為燃速系數(shù),Sb為燃燒面積,pr為燃燒室燃?xì)鈮毫?n為壓力指數(shù)。

將式(1)展開推導(dǎo),具體過程見文獻(xiàn)[18],可得固體沖壓發(fā)動機(jī)燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)彈道方程:

(3)

在亞燃固體沖壓發(fā)動機(jī)中,由于實際產(chǎn)生的推力不易測量且氣體通過沖壓補(bǔ)燃室的壓力基本恒定[19],可將沖壓補(bǔ)燃室的入口壓力,即燃燒室燃?xì)鈮毫r,經(jīng)換算近似等效為推力Fp。因此有

Fp=Sipr

(4)

式中:Si為噴管面積。

超聲速巡航導(dǎo)彈飛行速度除受推力Fp影響外,還受阻力Fx和重力G的影響,如圖2所示,圖中,v為超聲速巡航導(dǎo)彈的飛行速度,α為攻角,θ為彈道傾角。

圖2 超聲速巡航導(dǎo)彈受力示意圖

根據(jù)導(dǎo)彈的動力學(xué)關(guān)系[20],在不考慮導(dǎo)彈的側(cè)向及滾轉(zhuǎn)通道的情況下,導(dǎo)彈的縱向動力學(xué)方程為

(5)

式中:m為導(dǎo)彈質(zhì)量。阻力Fx是由動壓q、阻力系數(shù)cx和特征面積S構(gòu)成的函數(shù),表示為

Fx=cxqS

(6)

假設(shè)導(dǎo)彈飛行過程中做α,θ均近似為0的水平直線運(yùn)動,由于動壓q=ρv2/2,ρ為大氣密度,式(5)可改寫為

(7)

在導(dǎo)彈動力學(xué)關(guān)系中考慮固體沖壓發(fā)動機(jī)工作特性,建立理想情況超聲速巡航導(dǎo)彈速度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型:

(8)

1.2 速度控制系統(tǒng)控制模型

X=(x1x2)=(vpr)

(9)

噴喉面積St作為系統(tǒng)控制輸入量u,可以得到速度控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間形式:

(10)

2 控制器設(shè)計

本文設(shè)計反演魯棒控制律的基本思路為:首先利用傳統(tǒng)反演法的思想推導(dǎo)得到滿足導(dǎo)彈飛行速度增量所需期望推力Fp,d,然后設(shè)計魯棒控制律控制燃?xì)獍l(fā)生器喉部面積St,產(chǎn)生趨向于期望推力的實際推力,從而跟蹤速度指令vc。

2.1 速度控制器設(shè)計

對于速度控制系統(tǒng)(10)中子系統(tǒng)1,定義速度跟蹤誤差為e1,參考速度為x1,d,則

e1=x1,d-x1

(11)

且

(12)

定義Lyapunov函數(shù)為

(13)

對式(13)求導(dǎo)得:

(14)

將式(12)代入式(14)有

鄒先生說，秦檜死后，陸游 “急于出仕的心跡，在這首詩中表現(xiàn)得最為明顯” ，并將這首作于紹興二十六年(1156)冬的詩， “不妨看作是陸游出仕前向云門的告別”。既然鄒先生將這首詩看作是“告別”之作，那么紹興二十七年(1157)春，陸游就應(yīng)該出仕的了。因此，鄒先生緊接著說“這里涉及《送陳德邵宮教赴行在二十韻》《朱子云園中觀花》《酬妙湛闍梨見贈》《次韻魯山新居絕句》《寄陳魯山》等詩的編排問題，筆者(鄒志方)以為，這些詩均作于出仕前，即紹興二十六年冬日前?！?⑥然而，查錢仲聯(lián)先生《劍南詩稿校注》(上海古籍出版社2005年版)，這些詩均在紹興二十七年(1157)作于山陰。

(15)

(16)

式中:控制器可調(diào)控制參數(shù)k>0,且k∈R。定義控制系統(tǒng)的推力誤差為e2,則

e2=x2,d-x2

(17)

且

(18)

由于傳統(tǒng)滑模控制存在抖振現(xiàn)象,為避免出現(xiàn)抖振,本文設(shè)計如下具有高頻反饋魯棒控制的速度控制算法:

(19)

式中:控制器可調(diào)控制參數(shù)ε>0,ε∈R;h表示不確定系統(tǒng)的正上界函數(shù)。在該控制算法控制下,速度控制系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)超聲速巡航導(dǎo)彈的速度控制并且保證最終速度誤差有界。

2.2 穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

(20)

對式(20)求導(dǎo)得:

(21)

將式(17)代入式(21)并展開得:

(22)

(23)

設(shè)計h,使得h≥|H(x1,x2,d)|,將式(23)進(jìn)行放縮,過程如下:

(24)

由于

(25)

將式(25)代入式(24)則有

(26)

求解微分不等式(26),可以得到Ve1,e2(t)的上界:

(27)

求Ve1,e2(t)終值:

(28)

因此,將式(20)代入式(28),由Lyapunov穩(wěn)定性理論知,最終系統(tǒng)誤差滿足:

(29)

由式(29)可知,當(dāng)經(jīng)過時間充分長后,系統(tǒng)誤差的界與初始狀態(tài)無關(guān),即速度控制系統(tǒng)的誤差可以達(dá)到全局一致最終有界(GUUB)。

3 仿真分析

為驗證所提出的反演魯棒控制方法的可行性及有效性,本文以某超聲速巡航導(dǎo)彈為例設(shè)計反演魯棒控制律進(jìn)行仿真,并與傳統(tǒng)PID控制進(jìn)行對比分析研究。傳統(tǒng)PID控制器控制律設(shè)計為

(30)

式中:kp為比例系數(shù),ki為積分系數(shù),kd為微分系數(shù)。

3.1 標(biāo)稱模型下的數(shù)值仿真

圖3給出了標(biāo)稱模型條件下反演魯棒控制器和PID控制器響應(yīng)速度指令的曲線,圖4給出了速度跟蹤誤差曲線,圖5給出了燃?xì)獍l(fā)生器自由容積變化曲線。從圖中可以看出,隨著時間增加,燃?xì)獍l(fā)生器自由容積不斷增大,速度控制系統(tǒng)模型參數(shù)將逐漸偏離初始時刻。PID控制系統(tǒng)存在明顯相位滯后且由于參數(shù)變化的影響導(dǎo)致控制效果逐漸變差;而反演魯棒控制能夠在全過程中準(zhǔn)確地跟蹤指令信號,跟蹤效果明顯優(yōu)于PID控制,受模型參數(shù)變化影響較小。

圖3 標(biāo)稱模型下的速度響應(yīng)曲線

圖4 標(biāo)稱模型下的速度誤差曲線

圖5 標(biāo)稱模型下的自由容積變化曲線

圖6給出了固體沖壓發(fā)動機(jī)噴喉面積變化曲線。從圖中可以看出,反演魯棒控制的控制量響應(yīng)速度明顯快于PID控制,并且未出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。

圖6 標(biāo)稱模型下的噴喉面積變化曲線

圖7、圖8分別給出了固體沖壓發(fā)動機(jī)壓強(qiáng)變化曲線和流量變化曲線,由圖可見,反演魯棒控制的壓強(qiáng)和流量變化較為快速、穩(wěn)定。

圖7 標(biāo)稱模型下的壓強(qiáng)變化曲線

圖8 標(biāo)稱模型下的流量變化曲線

3.2 存在干擾的數(shù)值仿真

假定超聲速巡航導(dǎo)彈維持勻速巡飛,v=583.2 m/s,在15 s時由于壅塞調(diào)節(jié)閥被燒蝕,噴喉面積瞬間擴(kuò)大2×10-5m2。對突變的外部擾動進(jìn)行模擬,圖9給出了此時的速度變化曲線,圖10給出了受干擾的速度誤差曲線。由圖可知,PID控制系統(tǒng)受此干擾影響,出現(xiàn)25 m/s的速度誤差;而反演魯棒控制系統(tǒng)受此干擾影響,僅產(chǎn)生不到0.5 m/s的速度誤差,抗干擾能力明顯較強(qiáng)。

圖9 受干擾的速度響應(yīng)曲線

圖10 受干擾的速度誤差曲線

圖11～圖13給出了此時固體沖壓發(fā)動機(jī)的工作過程變化曲線。由圖可以看出,反演魯棒控制系統(tǒng)在受到外界干擾后能夠迅速調(diào)節(jié)噴喉面積,彌補(bǔ)被燒蝕部分產(chǎn)生的影響,使壓強(qiáng)和流量在短時間內(nèi)恢復(fù)原本狀態(tài),維持導(dǎo)彈巡飛速度。

圖11 受干擾的噴喉面積變化曲線

圖12 受干擾的壓強(qiáng)變化曲線

圖13 受干擾的流量變化曲線

4 結(jié)論

本文根據(jù)超聲速巡航導(dǎo)彈飛行動力學(xué)關(guān)系,結(jié)合固體沖壓發(fā)動機(jī)的工作特性建立了超聲速巡航導(dǎo)彈速度控制系統(tǒng)模型。由于速度控制系統(tǒng)存在參數(shù)時變、不確定干擾等問題,采用傳統(tǒng)的PID控制難以滿足導(dǎo)彈巡航過程的速度需求。本文在反演法的基礎(chǔ)上,有效地結(jié)合了反演控制和魯棒控制的優(yōu)點,設(shè)計了復(fù)合型反演魯棒控制器,通過模擬仿真驗證其控制效果。在標(biāo)稱模型仿真條件下,傳統(tǒng)控制方法速度誤差達(dá)到50～100 m/s,反演魯棒控制器控制速度誤差小于0.5 m/s。超聲速巡航導(dǎo)彈固體沖壓發(fā)動機(jī)實際工作過程中響應(yīng)時間較慢,仿真結(jié)果中受擾動影響速度控制系統(tǒng)響應(yīng)時間小于0.1 s,而目前固體沖壓發(fā)動機(jī)響應(yīng)需要3～8 s。仿真結(jié)果表明,本文提出的控制算法能夠快速精確地跟蹤目標(biāo)指令,同時具有較強(qiáng)的魯棒性。