劉 濤,張領(lǐng)科

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

常規(guī)的內(nèi)彈道過程中,彈丸在火藥燃氣的壓力推動下加速運動,完成發(fā)射過程。因此火藥在膛內(nèi)燃燒生成的燃氣壓力的變化和分布規(guī)律是內(nèi)彈道學(xué)研究中的最重要參量。對膛內(nèi)燃氣壓力的測量一直是實驗內(nèi)彈道學(xué)的重點研究對象。在內(nèi)彈道實驗中,通常采用電測壓法和塑性測壓法2種測壓方法。其中塑性測壓法以銅柱測壓法為代表,亦是目前最為常用的測壓方法。

使用銅柱測壓法測量膛壓,即利用膛內(nèi)燃氣壓力使銅柱壓縮,通過銅柱壓縮量與壓力表對比得到待測膛壓的峰值。這種方法使用方便,操作簡單,經(jīng)濟性好且有相當?shù)目煽慷?。但由于銅柱使用靜態(tài)壓力標定而待測的火藥燃氣壓力為動態(tài)加載,使得銅柱測壓法總是存在一定的動、靜差,即由于靜態(tài)標定、動態(tài)測量所產(chǎn)生的誤差。一般來說,銅柱壓力與真實膛壓峰值有20%左右的差值。常用的修正方法有:①經(jīng)驗修正法,②準動態(tài)標定法,③系統(tǒng)構(gòu)建法,④預(yù)壓實驗法。

本文基于銅柱塑性狀態(tài)的動態(tài)本構(gòu)關(guān)系,以預(yù)壓過程作為靜態(tài)加載參考,考慮活塞慣性力的作用,建立銅柱測壓器系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,為動態(tài)誤差分析建立包括預(yù)壓過程在內(nèi)的更為實用且簡化的數(shù)學(xué)模型。

1 減少銅柱測量誤差的基本原理

實踐證明,測壓器活塞慣性和銅柱動態(tài)本構(gòu)關(guān)系是造成銅柱測壓器動、靜差的2個主要原因[1]:①火藥燃氣壓力通過測壓器活塞壓縮測壓銅柱的同時,活塞隨著火藥燃氣向銅柱壓縮方向運動,卸載時活塞由于慣性要繼續(xù)運動壓縮銅柱產(chǎn)生靜差,使得壓力測量值大于真實值;②塑性材料存在應(yīng)變率效應(yīng),塑性材料的實際應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與應(yīng)變率有關(guān),隨著加載速度增大,應(yīng)變率增大,材料的屈服極限將提高,使壓力測量值小于真實值。在內(nèi)彈道膛壓測量實驗中,材料動態(tài)本構(gòu)關(guān)系的影響更大,尤其是小口徑槍炮膛內(nèi)動態(tài)加載速率很大,銅柱測壓法測得的壓力小于真實壓力。本文將以銅柱應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為基礎(chǔ),對實驗中的數(shù)據(jù)處理方法進行改進簡化。

在進行銅柱測壓實驗前需要對銅柱進行預(yù)壓。不同批次銅柱之間,及同一批銅柱的個體之間,也存在著一定的機械性能的差異,為了對這一誤差進行修正,常對出廠的銅柱使用壓力機以一定壓力進行一次預(yù)壓,并記錄預(yù)壓的壓力和變形量,在測量膛內(nèi)壓力時,根據(jù)預(yù)壓時體現(xiàn)的銅柱“軟硬程度”與同一批編表銅柱具有的平均機械性能的差異進行修正。本文通過構(gòu)建銅柱的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,利用電子測壓器測得的壓力脈寬,提出一種通過數(shù)值計算獲得膛壓的數(shù)據(jù)處理方法,對銅柱測壓結(jié)果進行修正,并借助量綱分析及相似理論進行分析,給出了某實驗條件下的修正公式。該方法可以提高銅柱測壓精度,更接近電子測壓器,滿足靶場校驗時的更高精度的測量需求。

2 預(yù)壓過程中銅柱的本構(gòu)關(guān)系

測壓銅柱常利用銅柱壓力機以緩慢加壓的方式對銅柱進行預(yù)壓。銅柱壓力機原理[2]如圖1所示。

圖1 銅柱壓力機原理

在壓力機杠桿左端有一支撐點O,右端有載荷FQ加于加載點B處,測壓銅柱放在著力點A處的升降臺上。沒有載荷時,A點的支撐彈簧恰好能維持杠桿水平平衡。預(yù)壓時在B點加上載荷FQ,并驅(qū)動升降臺緩慢上升,保持杠桿水平平衡,這時銅柱就在壓縮力F作用下發(fā)生塑性變形,由原始高度H0縮短為預(yù)壓后高度Hb,0,如圖2所示。

圖2 銅柱受力示意圖

由杠桿平衡條件可知:

(1)

在預(yù)壓過程中,由于加載過程較為緩慢,整個過程可以視為準靜態(tài)過程,可以使用靜態(tài)標定實驗得到銅柱的靜態(tài)本構(gòu)關(guān)系:

(2)

式中:應(yīng)力σ=F/Sc,Sc為銅柱橫截面積;ε為應(yīng)變;E為彈性模量;Es為塑性段的彈性模量;σs為彈性極限。

圖3 銅柱靜態(tài)加載曲線

(3)

根據(jù)靜態(tài)壓力與壓后高關(guān)系表,即可通過式(3)換算σc與y的關(guān)系,該關(guān)系通常為三次多項式的形式。根據(jù)銅柱壓力對照表及實驗中的使用情況,在使用銅柱測壓法測量膛壓時,選取適當規(guī)格的銅柱的情況下,銅柱變形量與最大膛壓具有良好的線性關(guān)系[3];同時,用于測壓的銅柱在靜態(tài)壓力下的力學(xué)性能具有一定的一致性,故銅柱的靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如下:

(4)

式中:y0為預(yù)壓變形量,對于無預(yù)壓銅柱y0=0。

測壓銅柱由純凈的電解銅加工而成,含銅量不小于99.97%,軟、硬機械性能及產(chǎn)生的變形能均勻一致,純銅的靜態(tài)彈性極限約為30 MPa,即銅柱的彈性極限σe與應(yīng)變εe為定值。通過銅柱預(yù)壓的變形量和預(yù)壓壓力即可根據(jù)式(4)得到銅柱塑性階段的彈性模量Es及式(4)中的系數(shù)a0,a1。

3 銅柱測壓系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

3.1 基本假設(shè)

根據(jù)銅柱測壓器的工作原理[2],基于銅柱測壓的特點和分析方便,提出以下基本假設(shè):

①忽略測壓油管道效應(yīng)和測壓油的慣性影響;

②將活塞桿視為剛體而不計其變形;

③忽略銅柱內(nèi)應(yīng)力波的傳播,在測試過程中銅柱各個截面所受應(yīng)力在同一時刻相等;

④不計活塞桿受到的摩擦。

3.2 活塞運動方程

圖4為銅柱測壓系統(tǒng)簡化受力模型。

圖4 銅柱測壓系統(tǒng)簡化模型

活塞的運動方程:

(5)

F(y,y′)=Scσ

(6)

式中:σ為銅柱動態(tài)應(yīng)力。

3.3 銅柱的本構(gòu)方程[4]

(7)

C(ε)=C1e-C2ε+C0

(8)

式中:C0,C1,C2為常數(shù),可通過材料動態(tài)性能測試實驗得出。

3.4 變形協(xié)調(diào)方程

對于預(yù)壓銅柱:

(9)

3.5 銅柱靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

通常根據(jù)銅柱出廠時的靜態(tài)壓力與壓后高關(guān)系表(pc,Hb)可換算出σc與y的三次函數(shù)關(guān)系[5]。由于測壓銅柱本身的力學(xué)性能具有較好的一致性[6],且在測壓實驗中表現(xiàn)出線性規(guī)律,在此可進行簡化,即

(10)

上文中的三階常微分方程初值問題可化為一階常微分方程組的初值問題。

①彈性段。

(11)

初始條件:

結(jié)束條件:

y1(t)=ye

以此時刻參數(shù)作為塑性段初始條件,同時補充條件y3(0)=0。

②塑性段。

(12)

當已知測壓銅柱的材料參數(shù)時,根據(jù)內(nèi)彈道實驗時銅柱的壓后高Hb,t及壓力脈寬即可計算得到內(nèi)彈道壓力峰值pm,c。計算流程如圖5所示。

圖5 計算流程圖

4 計算分析

4.1 基本參數(shù)

文獻[4]中,選用型號為φ8 mm×13 mm 1201批次的銅柱和電子測壓器,在不同裝藥號下分別進行膛壓測試實驗。通過該批銅柱的壓后高和壓力對照表得到各種裝藥條件下所測壓力pm,t,以電子測壓器所測壓力曲線得到電測壓力峰值pm,e和壓力脈寬tm。

本文以上述實驗的結(jié)果為例進行分析,實驗中所使用的銅柱力學(xué)性能參數(shù)作為計算常量,如表1所示。根據(jù)實驗中獲得的電測壓力脈寬[7],以半正弦壓力脈沖作為動態(tài)加載的壓力信號,以實驗中的電測壓力峰值和銅柱查表壓力作為參考依據(jù),如表2所示。表中,p0為預(yù)壓壓力,Hb,0為預(yù)壓后銅柱高度,Hb,t為實驗后銅柱高度,pm,e為電測壓力峰值,tm為電測壓力脈寬。

表1 計算常量

表2 輸入?yún)?shù)[3]

利用表2中的電測壓力及脈寬可以確定實驗中銅柱的平均加載速率范圍為:74.79～131.73 MPa/ms。

4.2 計算結(jié)果

表3 銅柱測壓法與模擬計算的對比

由表3可以看出,在計算壓后高與實驗結(jié)果相差0.003 mm以內(nèi)時,仿真計算的壓力峰值比通過查表獲得的壓力值更接近電測最大壓力,誤差可以減小到3%～10%,但仍存在隨著被測壓力增大誤差也增大的問題。為了進一步減小誤差與誤差帶,借助量綱分析及相似理論[8-10],得出經(jīng)驗公式:

(13)

(14)

修正后的結(jié)果如表4所示,表中,p′m為修正后的壓力峰值,δc為計算壓力峰值相對電測壓力峰值的誤差,δ′c為修正后的壓力誤差。

表4 修正結(jié)果

修正后的誤差能夠被控制在±3%以內(nèi),尤其是對高壓情況下的預(yù)測誤差更是穩(wěn)定在1.65%左右,說明在內(nèi)彈道射擊實驗中可以通過這種數(shù)據(jù)處理方法來提高銅柱測壓法的準確度。由于銅柱測壓本身存在著動態(tài)響應(yīng)性差的固有缺陷,上述公式中的系數(shù)僅適用于本文中的加載條件。

5 結(jié)論

本文使用銅柱測壓系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,進一步考慮了銅柱力學(xué)性能的個體差異,通過銅柱預(yù)壓過程得到了銅柱的靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系;采用數(shù)值方法計算得到火炮膛壓的峰值,借助量綱分析及相似理論對計算結(jié)果進行修正并對高壓實驗進行了預(yù)測,結(jié)果一致性良好。得到如下結(jié)論:

①采用本文提出的最大壓力計算模型,與傳統(tǒng)的一次預(yù)壓銅柱測壓法相比,不再需要借助銅柱壓力表,只需要輸入實驗數(shù)據(jù)即可獲得結(jié)果,后續(xù)可將整個銅柱測壓實驗中的變形量數(shù)據(jù)由激光等方式自動化測量直接導(dǎo)入計算機,操作更加簡單;

②在74.79～131.73 MPa/ms的平均加載速率下,提出了銅柱壓力修正公式(14),對高壓情況下預(yù)測的壓力誤差顯著小于傳統(tǒng)查表方法,對靶場內(nèi)彈道實驗有積極意義。