□ 王遠(yuǎn)東 □ 高 潔

1.西安職業(yè)技術(shù)學(xué)院 西安 710077 2.陜西省圖書館 西安 710061

1 優(yōu)化設(shè)計(jì)背景

錐齒輪的作用是傳遞兩相交軸之間的運(yùn)動和動力。與圓柱齒輪類似,錐齒輪有較多分類。按輪齒的外觀,可以將錐齒輪分為直齒錐齒輪、斜齒錐齒輪、螺旋錐齒輪[1]。錐齒輪傳動的優(yōu)點(diǎn)在于傳動效率高、傳動比穩(wěn)定、工作可靠、結(jié)構(gòu)緊湊、節(jié)省空間、耐磨損、壽命長、噪聲低。目前,錐齒輪傳動在眾多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。當(dāng)前錐齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)是在滿足承載能力的條件下,選擇合適的齒輪副參數(shù),使傳動裝置的體積和最小,以及結(jié)構(gòu)緊湊[2-4]。

目前,國內(nèi)學(xué)者對錐齒輪傳動的試驗(yàn)和研究較為深入。葉小芬等[5]將減速器尺寸和強(qiáng)度設(shè)計(jì)納入約束條件,建立數(shù)學(xué)模型,利用Matlab優(yōu)化工具箱進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì),求解傳動機(jī)構(gòu)體積和最小目標(biāo)函數(shù)。孫宏潔等[6]以齒輪模數(shù)和傳動比等作為設(shè)計(jì)參數(shù)變量,將齒輪齒面和齒根強(qiáng)度要求與機(jī)構(gòu)間不發(fā)生干涉作為約束條件,將齒輪副的傳動總中心距最小作為目標(biāo)函數(shù),利用Matlab工具箱進(jìn)行求解。李旭貞[7]將齒輪的參數(shù)整合為優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,結(jié)合粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的求解。以上研究均使齒輪副獲得了較小的體積,但同時也存在一些弊端,不能滿足齒輪傳動的多目標(biāo)優(yōu)化要求,如齒輪副嚙合的重合度不足、強(qiáng)度不高,導(dǎo)致齒輪傳動的平穩(wěn)性下降。

筆者建立錐齒輪傳動機(jī)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,采用遺傳算法和Matlab工具箱對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。遺傳算法模擬達(dá)爾文進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理,是一種不斷選擇優(yōu)良個體的隨機(jī)化搜索算法,直到在全局中搜索出最優(yōu)個體。遺傳算法以對較為復(fù)雜多峰函數(shù)的適用性和對目標(biāo)函數(shù)的全局優(yōu)化性等特征在工程優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用,特別是在機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)、生產(chǎn)調(diào)度、模式識別、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、自適應(yīng)控制等領(lǐng)域,遺傳算法降低了多目標(biāo)函數(shù)求解的難度,取得了顯著效果[8-9]。

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

在錐齒輪傳動機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中,以錐齒輪副的體積之和最小作為設(shè)計(jì)目標(biāo)。

如圖1所示,軸交角為90°的錐齒輪副主要結(jié)構(gòu)尺寸包括分度圓直徑d、錐齒輪副錐距R、錐齒輪寬度b、分度圓錐角δ等。

錐齒輪副的體積和V為:

(1)

b=ψRR

(2)

(3)

式中:z1、z2分別為大小錐齒輪的齒數(shù);m為錐齒輪副的大端模數(shù);R為錐齒輪副的錐距;b為錐齒輪的寬度;ψR為齒寬因數(shù);δ1、δ2分別為大小錐齒輪的分度圓錐角。

由式(1)可知,影響錐齒輪副體積和的參數(shù)有小錐齒輪的齒數(shù)z1、錐齒輪副的大端模數(shù)m、齒寬因數(shù)ψR,因此可將設(shè)計(jì)變量x設(shè)為:

x=(z1,m,ΨR)T=(x1,x2,x3)T

(4)

齒面接觸強(qiáng)度條件為:

(5)

式中:[σH]為錐齒輪副的齒面許用接觸應(yīng)力;K為錐齒輪副的工作情況因數(shù);T1為主動小錐齒輪傳遞的轉(zhuǎn)矩;u為大小錐齒輪的齒數(shù)比,u=z2/z1。

齒根彎曲強(qiáng)度條件為

(6)

式中:[σF]為錐齒輪副的齒根許用彎曲應(yīng)力;YFS為復(fù)合齒形因數(shù)。

對于復(fù)合齒形因數(shù),可以根據(jù)當(dāng)量齒數(shù)通過圖2查取。

圖2 復(fù)合齒形因數(shù)與當(dāng)量齒數(shù)關(guān)系

設(shè)計(jì)變量的邊界條件為:

17cosδ1≤z1≤z1max

m≥2

0.25≤ψR≤0.30

由以上數(shù)學(xué)模型可見,錐齒輪副體積和最小的優(yōu)化設(shè)計(jì)可歸納為三維非線性約束優(yōu)化問題。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

已知一汽車發(fā)動機(jī)傳動機(jī)構(gòu)是軸交角為90°的閉式錐齒輪傳動機(jī)構(gòu),其中小錐齒輪傳遞的功率P1為9.2 kW,轉(zhuǎn)速n1為970 r/min,傳動比i為3,工作情況因數(shù)K為1.5。小錐齒輪的材料為40Cr,經(jīng)過調(diào)質(zhì)處理,布氏硬度(HB)為250。大錐齒輪的材料為35SiMn,調(diào)質(zhì)處理,布氏硬度(HB)為230。要求以錐齒輪副體積和最小為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

對上述參數(shù)進(jìn)行整理計(jì)算,可求得主動小錐齒輪工作時的轉(zhuǎn)矩T1為:

T1=9 550P1/n1=90.6 N·m

根據(jù)錐齒輪傳動機(jī)構(gòu)的材料和金屬工藝學(xué)規(guī)范,從文獻(xiàn)[10]中查出齒面許用接觸應(yīng)力[σH]為640 MPa,齒根許用彎曲應(yīng)力[σF]為250 MPa。

懲罰函數(shù)法是一種間接求解約束優(yōu)化問題的方法,將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一系列無約束問題來求解,不破壞原有的約束條件[11]。筆者采用懲罰函數(shù)法中的外點(diǎn)法,將約束非線性規(guī)劃問題構(gòu)造為適應(yīng)度函數(shù)val(x):

val(x)=f(x)+p(x)

(7)

式中:f(x)為數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù);p(x)為懲罰項(xiàng)。

對于極小化問題,有:

p(x)=0

或

p(x)=-r1[g1(x)]2-r2[g2(x)]2<0

(8)

式中:r1、r2為懲罰項(xiàng)因子,是隨著迭代次數(shù)增加而遞增的正數(shù)數(shù)列。

將式(8)中的三維不等式約束非線性目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換為外點(diǎn)懲罰函數(shù)形式適應(yīng)度函數(shù)問題,即將優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型中式(5)、式(6)兩個性能約束構(gòu)造為適應(yīng)度函數(shù)中的懲罰項(xiàng),再將數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)變量的邊界條件作為遺傳算法中的變量上下限矩陣。

本例中錐齒輪副是軟齒面閉式齒輪傳動,結(jié)合錐齒輪傳動運(yùn)算法則,取錐齒輪齒面接觸強(qiáng)度條件的懲罰項(xiàng)因子r1為1,錐齒輪齒根彎曲強(qiáng)度條件的懲罰項(xiàng)因子r2為0.5。

由于主動小錐齒輪的齒數(shù)較少,在大多情況下復(fù)合齒形因數(shù)較大,因此應(yīng)將復(fù)合齒形因數(shù)作為錐齒輪齒根彎曲強(qiáng)度條件計(jì)算的依據(jù)。本例中,復(fù)合齒形因數(shù)可取4.80。

運(yùn)用Matlab優(yōu)化工具箱fmincon函數(shù),在主程序中輸入分度圓直徑、齒數(shù)比、錐距、齒寬、目標(biāo)函數(shù)等數(shù)據(jù)。.m格式文件部分關(guān)鍵程序如下:

Function{sol,y}=GA_yzcl(sol,options)//定義適應(yīng)度函數(shù)文件

z1=x(1);

m=x(2);

psi_R=x(3);

x(1)=sol(1);

x(2)=sol(2);

x(3)=sol(3);//設(shè)計(jì)變量

u=3;

d1=x(1)*x(2)/2;

d2=u*d1;

R=d1*sqrt(1+u^2);

b=x(3)*R;

sdelta1=x(1)*x(2)/(2*R);

cdelta1=sqrt(1-sdelta1^2);

sdelta2=u*sdelta1;

cdelta2=sqrt(1-sdelta2^2);

V1=cdelta1*(d1^2+d1*((R-b)*d1/R)+((R-b)*d1/R)^2)

V2=cdelta2*(d2^2+d2*((R-b)*d2/R)+((R-b)*d2/R)^2)

F=pi/3*b*(V1+V2);//目標(biāo)函數(shù)

K=1.5;

P1=9.2;

n1=970;

T1=9550*P1/n1;

sigma_HP=640;

sigma_FP=250;

YFS=4.80;

g1=sigma_HP-sqrt((195.1/x(1)*x(2))^3*K*T1/u)

g2=sigma_FP-(3.2/x(2))^3*K*T1*YFS/(x(1)^2*sqrt(u^2+1);

r1=1;

r2=0.5;

p=r1*g1^2+r2*g2^2;

If(g1>=0&(g2>=0)

y=-f;

Else

y=-(f+p);//將不等式約束作為懲罰項(xiàng)加入適應(yīng)度函數(shù)

End

主程序運(yùn)行結(jié)果見表1。

表1 錐齒輪傳動機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解

將最優(yōu)解代入約束條件進(jìn)行檢驗(yàn),g1(x)=-0.081 MPa≈0,g2(x)=247.591 1 MPa>0,可見最優(yōu)解位于齒面接觸強(qiáng)度條件的邊界上,齒根彎曲強(qiáng)度則有很大富裕。

將最優(yōu)解中的小齒輪齒數(shù)圓整為整數(shù)值19,再代入約束條件進(jìn)行檢驗(yàn),g1(x0)=13.603 1 MPa>0，g2(x0)=247.659 5 MPa>0，可見最優(yōu)湊整解位于可行域內(nèi)。

4 結(jié)束語

筆者分析了錐齒輪傳動機(jī)構(gòu)的特征,對其建立數(shù)學(xué)模型,得到優(yōu)化設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù),以及性能約束條件和邊界約束條件,進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。采用懲罰函數(shù)法構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù),將優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型中的齒面接觸強(qiáng)度條件和齒根彎曲強(qiáng)度條件構(gòu)造為適應(yīng)度函數(shù)中的懲罰項(xiàng)。編制遺傳算法.m格式文件,運(yùn)用Matlab優(yōu)化工具箱fmincon函數(shù)進(jìn)行求解,得到最優(yōu)解。程序運(yùn)行結(jié)束后,還需要對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行圓整和調(diào)整。

通過優(yōu)化實(shí)例驗(yàn)證了采用遺傳算法進(jìn)行錐齒輪傳動機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的可行性和適用性,為錐齒輪傳動機(jī)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考。