孫曉紅

[摘? 要] 數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).如何讓數(shù)學(xué)建模課在數(shù)學(xué)課堂落地生根，是我們一線教師亟待解決的問題. 利用互聯(lián)網(wǎng)+教學(xué)，可在常規(guī)課程、選修課程、競賽課程三個(gè)層次由淺入深進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué).文章以《生活中的三角函數(shù)》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行深入探討.

[關(guān)鍵詞] 互聯(lián)網(wǎng)+教學(xué);數(shù)學(xué)建模;三角函數(shù)

？搖為促進(jìn)創(chuàng)新人才素質(zhì)培養(yǎng)，青島二中2014年9月開始實(shí)施互聯(lián)網(wǎng)+教學(xué)改革，開展基于學(xué)習(xí)任務(wù)單的課前自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力;開展基于學(xué)習(xí)社區(qū)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)能力.在學(xué)習(xí)過程中，按照學(xué)生興趣、特點(diǎn)，建立高效、互補(bǔ)的學(xué)習(xí)社區(qū)，開展課上、課下的合作學(xué)習(xí)，逐步形成了“生學(xué)為本、合作內(nèi)化、師教為要、點(diǎn)撥升華”的互聯(lián)網(wǎng)+教學(xué)原則. 這樣的教學(xué)方式使學(xué)生從傳統(tǒng)教學(xué)中知識(shí)的被動(dòng)接受者，轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)的主動(dòng)學(xué)習(xí)積極獲取者，轉(zhuǎn)變?yōu)榛趯W(xué)習(xí)社區(qū)的小組合作學(xué)習(xí)者，轉(zhuǎn)變?yōu)檎n堂上基于重點(diǎn)問題展開的教學(xué)活動(dòng)的參與研討者，充分體現(xiàn)了學(xué)習(xí)者的主體地位. 借助互聯(lián)網(wǎng)和PAD教學(xué)模式，大大提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了教學(xué)效率.以下是高中數(shù)學(xué)人教B版必修四第一章《三角函數(shù)》最后一節(jié)“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”，以往教學(xué)都是以例題的形式，展現(xiàn)三角函數(shù)的簡單應(yīng)用，突出三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，其在刻畫周期變化規(guī)律、頂測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用. 同時(shí)，也體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化、方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等思想方法在研究解決問題中的作用. 教師在教學(xué)中也經(jīng)常是以例題的形式，層層引入，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)模型來源于生活、為生活解決實(shí)際問題的工具性作用.但這種教學(xué)方式對(duì)于學(xué)生還是被動(dòng)接受，主動(dòng)探究的意識(shí)不強(qiáng)，對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想不夠完善. 筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)是變被動(dòng)為主動(dòng)，讓學(xué)生提前一周查閱資料，查找相關(guān)的資源，以小組自主探究、合作學(xué)習(xí)的模式發(fā)現(xiàn)生活中的三角函數(shù)，通過生活中周期性變化的事例大膽猜想其與三角函數(shù)的關(guān)系、建立三角函數(shù)模型、把求三角函數(shù)解析式的題型放在生活實(shí)例中、預(yù)測未來的發(fā)展趨勢，并同時(shí)教給學(xué)生數(shù)學(xué)建模的方法. 教學(xué)中，筆者讓學(xué)生做課堂的主人，提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng). 以下是本節(jié)課的具體教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)一：課前教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）提前一周的學(xué)生活動(dòng)

按照五個(gè)教學(xué)班把學(xué)生分成五組，以“生活中的三角函數(shù)”為課題查找材料，選出組長、確定主講人，學(xué)生借助互聯(lián)網(wǎng)查找資料，制作PPT或視頻、文件材料，做好課上交流的準(zhǔn)備.

教師活動(dòng)：及時(shí)監(jiān)督、指導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)的進(jìn)度、內(nèi)容、分工和輔導(dǎo)學(xué)生發(fā)言及研究工作.

設(shè)計(jì)意圖：前面對(duì)三角函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)的學(xué)習(xí)是純數(shù)學(xué)知識(shí)，三角函數(shù)來源于生活、服務(wù)于生活的理念學(xué)生并不知曉，為了調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、挖掘、猜想和應(yīng)用生活中的三角函數(shù)，大大提高了學(xué)生的參與度和學(xué)習(xí)興趣，為數(shù)學(xué)建模做好鋪墊.

（二）上課前一晚的教學(xué)活動(dòng)

通過PAD給學(xué)生發(fā)自主學(xué)習(xí)任務(wù)單，學(xué)生獨(dú)立完成，教師及時(shí)批閱.以下是自主學(xué)習(xí)任務(wù)單的具體內(nèi)容：

1. 函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的圖像與性質(zhì)

（1）圖像的畫法：“五點(diǎn)法”和圖像變換法.

（2）定義域：_______________.

（3）值域：________________，當(dāng)x=_______________（k∈Z）時(shí)，f（x）取最大值A(chǔ)+B;當(dāng)x=_______________（k∈Z）時(shí)，f（x）取最小值-A+B.

思考：如何用f（x）■和f（x）■求A和B的值？

（4）周期：T=_______________.

（5）奇偶性：當(dāng)且僅當(dāng)φ=kπ（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）是_________函數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)φ=kπ+■（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）是__________函數(shù).

（6）單調(diào)性：單調(diào)遞增區(qū)間是每一個(gè)____________;單調(diào)遞減區(qū)間是每一個(gè)_________.

（7）對(duì)稱性：函數(shù)圖像與直線y=B的交點(diǎn)是對(duì)稱中心，即對(duì)稱中心是_________，對(duì)稱軸與函數(shù)圖像的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最值，即對(duì)稱軸是直線________.

2. f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A>0，φ<■）的圖像如圖1所示.

（1）求f（x）的解析式;

（2）要得到y(tǒng)=sinx的圖像，只需將f（x）的圖像進(jìn)行怎樣的圖像變換？

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)并鞏固函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的圖像與性質(zhì)，為本節(jié)課做好知識(shí)儲(chǔ)備.

環(huán)節(jié)二：課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)反饋

對(duì)自主學(xué)習(xí)任務(wù)單的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)性講評(píng)，學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的對(duì)稱中心是■，B（k∈Z），教師強(qiáng)調(diào)第2題圖像變換的格式.

（二）新課引入

學(xué)生朗讀白居易《琵琶行》片段并配有琵琶樂曲：“低眉信手續(xù)續(xù)彈，說盡心中無限事. 輕攏慢捻抹復(fù)挑，初為《霓裳》后《六幺》. 大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語. 嘈嘈切切錯(cuò)雜彈，大珠小珠落玉盤. 間關(guān)鶯語花底滑，幽咽泉流冰下難. 冰泉冷澀弦凝絕，凝絕不通聲暫歇.別有幽愁暗恨生，此時(shí)無聲勝有聲……座中泣下誰最多？江州司馬青衫濕.”學(xué)生深情地朗讀完后，教師現(xiàn)場采訪該學(xué)生，師說：“你能從這首詩里感受到數(shù)學(xué)的韻律嗎？說得再貪婪些，這里有沒有三角函數(shù)的味道？”生很嚴(yán)肅地答：“絕對(duì)有！琵琶旋律由舒緩到急促再到舒緩，音調(diào)由高到低再到高，在平面直角坐標(biāo)系下描繪出的就是正弦型函數(shù)的圖像.”由此引出本節(jié)課的課題《生活中的三角函數(shù)》.

設(shè)計(jì)意圖：以詩的形式作為本節(jié)課的開篇之作，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的人文素養(yǎng)，最出彩的是讀詩后的師生對(duì)話，幽默而又切合主題，課堂氣氛立刻被調(diào)動(dòng)起來！

（三）開啟《生活中的三角函數(shù)》之旅

第一組：經(jīng)濟(jì)團(tuán)隊(duì)的《愛心曲線》

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生介紹了笛卡爾的生平簡介和主要的思想成就、心形線背后凄美的愛情故事，由此引出極坐標(biāo)系下的曲線和方程的關(guān)系，并讓學(xué)生親手繪制愛心曲線，鞏固了極坐標(biāo)系的相關(guān)內(nèi)容.

教師點(diǎn)評(píng)：從凄美的愛情故事中我們引出了與平面直角坐標(biāo)系不同的極坐標(biāo)系，它在生活實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，而且通過愛心曲線，我們發(fā)現(xiàn)極坐標(biāo)系與三角函數(shù)有著非常密切的聯(lián)系. 對(duì)老師感觸最深的是笛卡爾晚上睡不著，看到蜘蛛在棚頂織網(wǎng)，發(fā)明了直角坐標(biāo)系，由此有了方程，然后所有的數(shù)學(xué)問題都可以歸結(jié)為代數(shù)問題，用方程來解決.教師希望學(xué)生也要有這樣的數(shù)學(xué)洞察力，把生活中的問題概括出數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)知識(shí)得以解決.

設(shè)計(jì)意圖：從凄美的愛情故事中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)無處不在，極坐標(biāo)系雖然還沒學(xué)，但讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)自主探究完全可以勝任，從笛卡爾的發(fā)明創(chuàng)造開啟了數(shù)學(xué)建模意識(shí)和思想，順利地過渡到下一組的《聲音與三角函數(shù)》模塊.

第二組：數(shù)學(xué)微團(tuán)2班的《聲音與正弦》

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)圖像與聲音的傳播形式聲波以及產(chǎn)生的三要素高度一致，猜想物理中的聲音與數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)有高度的相關(guān)性，學(xué)生通過查找資料、在網(wǎng)上下載視頻“聲波形成的正弦曲線”，讓學(xué)生高度感知到數(shù)理不分家，三角函數(shù)與物理中的簡諧振動(dòng)、聲音的傳播、交流電等都有非常密切的聯(lián)系.

教師點(diǎn)評(píng)：這個(gè)團(tuán)隊(duì)的優(yōu)點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)案例后，學(xué)生敢大膽地猜想，并用實(shí)驗(yàn)和視頻材料加以論證，最記憶猶新的是主持人告訴筆者他的猜想，過了幾天后，他激動(dòng)而又驚喜地告訴筆者，他找到了證明這個(gè)猜想的視頻材料，隨著聲音要素的改變，手龍頭下出來的水花形狀就是正弦曲線！那孩子眼中的驚喜是筆者一輩子都不會(huì)忘記的，也更加堅(jiān)定了筆者要把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生做課堂的主人，學(xué)生的潛力無限，只有這樣才能充分地施展他們的才華！

第三組：數(shù)學(xué)微團(tuán)1班的《潮汐》

學(xué)生活動(dòng)：生活在大海邊的孩子非常有必要了解一下潮汐的概念，這其中也蘊(yùn)含著三角函數(shù). 數(shù)學(xué)微團(tuán)1班的主持人為學(xué)生們介紹了潮汐的概念和現(xiàn)象，并用上述知識(shí)解決了船舶進(jìn)港和出港時(shí)間的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題.

教師點(diǎn)評(píng)：本小組的最大優(yōu)點(diǎn)是利用潮汐的規(guī)律解決了船舶進(jìn)港和出港時(shí)間問題，由一組數(shù)據(jù)擬合出三角函數(shù)模型，利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)解決生活實(shí)際問題，這正是數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的步驟方法，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)被凸顯出來.

第四組：數(shù)學(xué)微團(tuán)4班的《如何設(shè)計(jì)生活中的三角函數(shù)模型》

學(xué)生活動(dòng)：本小組系統(tǒng)地概括了數(shù)學(xué)建模的方法和具體步驟，并以“關(guān)于日地之間距離的三角函數(shù)模型討論”為具體事例加以說明，并讓學(xué)生以“天安門廣場國旗升降具體時(shí)間”為課題讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，解決實(shí)際問題.

教師點(diǎn)評(píng)：作為展示的最后一組，不僅引出了數(shù)學(xué)建模的案例，還教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的方法和步驟、需要注意的問題，本節(jié)課達(dá)到了實(shí)施教學(xué)目標(biāo)的高潮！

（四）課外延伸

1. 自出生之日起，人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化. 根據(jù)心理學(xué)家的統(tǒng)計(jì)，人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種. 這些節(jié)律的時(shí)間周期分別為23天、28天、33天.每個(gè)節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個(gè)階段. 以上三個(gè)節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日，這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日. 臨界日的前半期為高潮期，后半期為低潮期. 生日前一天是起始位置（平衡位置），請根據(jù)自己的出生日期，繪制自己的體力、情緒和智力曲線，并總結(jié)自己在什么時(shí)候應(yīng)當(dāng)控制情緒，在什么時(shí)候應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)自己;在什么時(shí)候應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)鍛煉，在什么時(shí)候應(yīng)當(dāng)保持體力？

設(shè)計(jì)意圖：在人的生理和心理領(lǐng)域也存在著三角函數(shù)，此案例實(shí)用性強(qiáng)，很受學(xué)生喜歡.

2. 請撰寫一篇有關(guān)《生活中的三角函數(shù)》數(shù)學(xué)小論文.

設(shè)計(jì)意圖：從發(fā)現(xiàn)、猜想、思考、論證、寫作出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全部過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生終身受益.

（五）以詩結(jié)尾，首尾呼應(yīng)

生活是正弦曲線

有時(shí)波峰，有時(shí)波谷

波峰時(shí)別得意忘形

波谷時(shí)別灰心喪氣

沒有波谷就沒有波峰

沒有波峰亦沒有波谷

有波谷沒有波峰人生不完美

有波峰沒有波谷人生不完整

善待他人，理解命運(yùn)

得意時(shí)不以物喜，失意時(shí)不以己悲

喜憂相伴，歲月飄香

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生朗讀，意猶未盡，意味深長……

設(shè)計(jì)意圖：在正弦曲線中感悟人生，教給學(xué)生做人的道理，更緊扣主題：生活中的三角函數(shù)！

環(huán)節(jié)三：教學(xué)反思

本節(jié)課首先凸顯學(xué)生的主體意識(shí).在教學(xué)活動(dòng)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生親自尋找生活中的三角函數(shù)，通過各小組的交流學(xué)習(xí)讓學(xué)生深刻體會(huì)生活即數(shù)學(xué)的教育理念.

首先，學(xué)生從知識(shí)的被動(dòng)接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)的參與者和積極的探索者，教師尊重學(xué)生個(gè)性，一切教學(xué)活動(dòng)都應(yīng)針對(duì)不同學(xué)生提供多種選擇，為不同水平的學(xué)生設(shè)置不同層次的問題，打破“一把尺子量天下的做法”. 其次，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想和能力，為后續(xù)數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，如何在課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，值得每一位教師反思.通過本課的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)建模的方法和步驟，數(shù)學(xué)論文的撰寫方法，提升了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新素養(yǎng). 再者，營造開放、平等的課堂氣氛. “開放”就是實(shí)行民主教學(xué)，給學(xué)生思考的余地和交流的機(jī)會(huì)，讓他們真正參與進(jìn)來. “平等”就是師生間平等、學(xué)生間平等，讓每一位學(xué)生都能以積極的心態(tài)和舒暢的心情參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，使其個(gè)性得以張揚(yáng).教師可嘗試“互換教學(xué)角色”的課堂模式，安排一定課時(shí)，讓學(xué)生在課堂展示和講解其課外成果，教師只需現(xiàn)場提問或點(diǎn)評(píng)升華. 這種形式的課堂將大大調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與積極性，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)樂趣. 最后，在數(shù)學(xué)課堂滲透人文氣息，加強(qiáng)多學(xué)科融合，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)哲理和價(jià)值觀教育，讓課堂真正地活起來，讓學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，這才是教育的真諦！

環(huán)節(jié)四：對(duì)互聯(lián)網(wǎng)+教學(xué)下的數(shù)學(xué)建模課總結(jié)與反思

2014年青島二中開始實(shí)施的互聯(lián)網(wǎng)+教學(xué)改革大大提升了學(xué)生的自學(xué)能力、提高了課堂效率. 2017年隨著新課程改革的深入進(jìn)行，青島二中數(shù)學(xué)組的老師們借助互聯(lián)網(wǎng)和PAD教學(xué)模式，使數(shù)學(xué)建模課在常規(guī)課程、選修課程、競賽課程三個(gè)層次由淺入深進(jìn)行教學(xué). 常規(guī)課程：由現(xiàn)實(shí)情境問題引入課題，在章節(jié)結(jié)束安排建模實(shí)踐案例講解和探究實(shí)踐，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí);選修課程：開設(shè)數(shù)學(xué)建模選修課，供數(shù)學(xué)MT學(xué)生選修，介紹和講解更多基于高中知識(shí)的建模案例，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模環(huán)節(jié)與流程的理解，能自主發(fā)現(xiàn)問題并建模解決問題;競賽課程：組織學(xué)生參與各類數(shù)學(xué)建模競賽，提供數(shù)學(xué)建模論文寫作指導(dǎo)和軟件編程實(shí)踐機(jī)會(huì)，能合作解決問題并形成規(guī)范的論文. 例如函數(shù)章節(jié)的放穩(wěn)椅子問題，三角函數(shù)章節(jié)的氣溫預(yù)測問題，解三角形章節(jié)的高度測量問題，數(shù)列章節(jié)的體溫、體重預(yù)測問題，存款、貸款問題，不等式章節(jié)的洗衣服問題，立體幾何章節(jié)的3D設(shè)計(jì)問題等. 青島二中給予學(xué)生有充分的自主發(fā)展空間，利用周二周三選修課時(shí)間將數(shù)學(xué)熱情高、數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的學(xué)生聚集到數(shù)學(xué)MT，團(tuán)隊(duì)內(nèi)具備濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍.數(shù)學(xué)MT的導(dǎo)師們給予數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)充分支持，同時(shí)也聘請豐富而優(yōu)質(zhì)的校外教學(xué)資源，如中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)院和青島大學(xué)數(shù)學(xué)院的老師們給予學(xué)生建模學(xué)習(xí)的指導(dǎo)，學(xué)生多次參與海大的建模課程觀摩;學(xué)校建有數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室，給學(xué)生軟件操作、合作交流提供便利條件，使得一些建模能力強(qiáng)興趣高的學(xué)生脫穎而出，發(fā)展了特長，為未來的專業(yè)選擇確立了方向. 近三年來有多支隊(duì)伍獲得登峰杯初賽、決賽一等獎(jiǎng)，美國高中生數(shù)學(xué)建模比賽特等獎(jiǎng)及特等獎(jiǎng)入圍獎(jiǎng)，成功舉辦了三屆全國山海杯數(shù)學(xué)建模大賽并獲得特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)等好成績;數(shù)學(xué)建模社獲得2017年優(yōu)秀社團(tuán)榮譽(yù)稱號(hào).

未來之路還很長，為了學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展，在互聯(lián)網(wǎng)+教學(xué)的助力下，數(shù)學(xué)建模課定會(huì)乘風(fēng)破浪、繼續(xù)遠(yuǎn)航！