戴高偉 王劍

摘要：雖然數(shù)學(xué)和物理在中學(xué)階段作為相對(duì)獨(dú)立的學(xué)科出現(xiàn)，但很多數(shù)學(xué)問題有著豐富的物理意義，在物理問題的解決中也涉及廣泛的數(shù)學(xué)知識(shí)。可利用物理原理助力數(shù)學(xué)教學(xué)，如利用力學(xué)原理推導(dǎo)二次冪和公式、利用光學(xué)原理解決最短路程問題、利用勢(shì)能最小原理直觀展示動(dòng)點(diǎn)軌跡;也可活用數(shù)學(xué)方法助力物理教學(xué)，如相似三角形助力受力分析、基本不等式助力結(jié)論驗(yàn)證、排列組合助力熱力學(xué)現(xiàn)象理解。

關(guān)鍵詞：教學(xué)融通物理原理數(shù)學(xué)方法

當(dāng)前，雖然數(shù)學(xué)和物理在中學(xué)階段作為相對(duì)獨(dú)立的學(xué)科開展教學(xué)，但是，很多數(shù)學(xué)問題都有豐富的物理意義，在解決物理問題的過程中也涉及廣泛的數(shù)學(xué)知識(shí)。本文擬舉幾例，探討高中階段數(shù)學(xué)與物理的教學(xué)融通。

一、利用物理原理助力數(shù)學(xué)教學(xué)

一些高中數(shù)學(xué)問題，抽象程度較高、計(jì)算過程復(fù)雜，會(huì)給部分學(xué)生解題帶來不小的困難。但是，不少問題往往蘊(yùn)含豐富的物理背景，如果能找到其物理背景并化為教學(xué)情境，往往能化抽象為具體，簡(jiǎn)化計(jì)算過程，幫助學(xué)生多角度看待問題、理解知識(shí)。

（一）利用力學(xué)原理推導(dǎo)二次冪和公式

人教版高中數(shù)學(xué)教材在必修5第二章第5節(jié)《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》例3的旁注中給出了二次冪和公式——12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6，在選修2—2第二章第3節(jié)《數(shù)學(xué)歸納法》的例1中運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明了這一公式。對(duì)此，仍有部分學(xué)生心中會(huì)有疑惑：這一公式到底是怎么得來的？

其實(shí)，借助力學(xué)原理來推導(dǎo)這個(gè)公式十分簡(jiǎn)便。力學(xué)中，力矩=力×力臂，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的力矩之和等于這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量集中在重心位置的力矩。由此，可以構(gòu)造出關(guān)于二次冪和的力矩模型：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在點(diǎn)（1，0）處放1個(gè)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn);在直線x=2上放2個(gè)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，使它們關(guān)于x軸對(duì)稱，之間的距離為1;在直線x=3上放3個(gè)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，使它們關(guān)于x軸對(duì)稱（中間點(diǎn)在x軸上，視為關(guān)于x軸對(duì)稱，下同），相鄰兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離為1……在直線x=n上放n個(gè)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)，使它們關(guān)于x軸對(duì)稱，相鄰兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離為1。于是，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系關(guān)于y軸的力矩之和就是12+22+32+…+n2。同時(shí)，利用等腰三角形重心的求法，可知這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的重心在點(diǎn)2n+13，0處。所以，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量集中在重心位置時(shí)關(guān)于y軸的力矩是（2n+1）3（1+2+3+…+n）=n（n+1）（2n+1）6。

（二）利用光學(xué)原理解決最短路程問題

費(fèi)馬最早提出，光在指定的兩點(diǎn)間傳播，實(shí)際經(jīng)過的路程，總是比通過同樣兩點(diǎn)間其他可能的路徑所需的時(shí)間來得短。這可以理解為，光所選擇的路徑使它到達(dá)目的地所花時(shí)間最短。對(duì)于均勻介質(zhì)或真空，費(fèi)馬提出的理論直接引出光的直線傳播定律;對(duì)于兩種不同均勻介質(zhì)的分界面，這一原理可以得出光的反射定律和折射定律。而利用這一原理，可以解決數(shù)學(xué)中涉及最短路程的相關(guān)問題。

（三）利用勢(shì)能最小原理直觀展示動(dòng)點(diǎn)軌跡

問題2在銳角三角形ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使其到三頂點(diǎn)距離之和為最短。

初等數(shù)學(xué)中有很多方法確定點(diǎn)P的位置，銳角三角形中到三頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，更有學(xué)者將其推廣到多邊形。但綜觀純數(shù)學(xué)方法，嚴(yán)謹(jǐn)有余而情境匱乏。因此，可以構(gòu)造物理平衡系統(tǒng)模型，引入勢(shì)能最小原理（一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)勢(shì)能達(dá)到最小值的位置是平衡位置;如果平衡位置唯一，則在平衡位置上，一個(gè)系統(tǒng)的勢(shì)能最?。?，從而直觀地展示點(diǎn)P的位置及影響。

如圖4，在三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)處分別安裝一個(gè)滑輪，取有公共端點(diǎn)的三條等長(zhǎng)的細(xì)繩，使其自由繞過滑輪（摩擦力不計(jì)），末端分別系有質(zhì)量相等的重物。放手后，系統(tǒng)逐漸調(diào)整至靜止，此時(shí)為平衡位置，系統(tǒng)勢(shì)能最低，勢(shì)能與重物距水平面的高度成正比，故AM+BN+CR總是盡可能地大。因此，達(dá)到平衡時(shí)，PA+PB+PC最小。此時(shí)，作用于點(diǎn)P有三個(gè)相等的拉力T1、T2、T3，它們合力為零，故有∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。

波蘭數(shù)學(xué)家施坦豪斯在他的名著《數(shù)學(xué)萬花鏡》中提到一個(gè)問題：三個(gè)鄉(xiāng)村要辦一個(gè)公共學(xué)校，它們分別有50個(gè)、60個(gè)、70個(gè)學(xué)生，如何選定學(xué)校的位置，使得所有學(xué)生到校路程（或耗費(fèi)時(shí)間）的總和最少？這種“加權(quán)”的“費(fèi)馬點(diǎn)”稱為“施坦豪斯點(diǎn)”，也可通過勢(shì)能最小原理構(gòu)造物理模型解決，這里不再展開。

構(gòu)建物理情境，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)公式的實(shí)際意義，甚至能夠解決原本似乎無法企及的數(shù)學(xué)難題。正如數(shù)學(xué)家克萊因所說，數(shù)學(xué)的直觀性可以通過物理論證來獲得，因?yàn)橛袝r(shí)物理模型可以更直觀地理解或解釋結(jié)論。

二、活用數(shù)學(xué)方法助力物理教學(xué)

高中物理教學(xué)中，常常會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的“影子”，這些數(shù)學(xué)方法往往是解決物理問題的利器。用數(shù)學(xué)方法研究物理問題，就是根據(jù)研究對(duì)象的特點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行描述、計(jì)算和推演，從而對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行分析和判斷，得到一般性規(guī)律或結(jié)論。所以，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題，需體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法和物理內(nèi)容的統(tǒng)一。

（一）相似三角形助力受力分析

相似三角形是幾何解題中常用的方法。在兩個(gè)三角形中，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例這三個(gè)方法可以快速證明相似;并且，根據(jù)三角形相似，可以研究對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的關(guān)系。在高中物理力學(xué)內(nèi)容中，有一類共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡問題，其基本方法就是構(gòu)建力學(xué)三角形，根據(jù)邊長(zhǎng)的變化來判斷對(duì)應(yīng)力的大小。若能構(gòu)建相似三角形，則可根據(jù)相似三角形的邊長(zhǎng)變化快速判斷力的變化，大大簡(jiǎn)化問題的解決過程。

問題3如圖5所示，A球被固定在豎直支架上，A球正上方的點(diǎn)O懸有一輕繩拉住B球，兩球之間連有輕彈簧，平衡時(shí)繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，拉力為T1，彈簧彈力為F1。若將彈簧換成原長(zhǎng)相同的勁度系數(shù)更小的輕彈簧，再次平衡時(shí)繩的拉力為T2，彈簧彈力為F2，則（）

A. T1>T2B. T1=T2

C. F1F2

此題先選擇研究對(duì)象進(jìn)行受力分析：如圖6所示，以B球?yàn)檠芯繉?duì)象，B球受到重力G、彈簧的彈力F和繩子的拉力T;B球平衡時(shí)，F(xiàn)與T的合力與重力G大小相等、方向相反，即G′=G，可以構(gòu)建一個(gè)力學(xué)三角形BFG′，三邊的長(zhǎng)度分別反映三個(gè)力的大小和方向;更換彈簧后，由于除重力不變外，其他兩力的變化情況不確定，且不屬于直角三角形，無法根據(jù)三角函數(shù)求邊長(zhǎng)關(guān)系。此時(shí)，可以根據(jù)F和T的方向分別沿繩子和彈簧方向，再找到一個(gè)幾何三角形ABO，并且根據(jù)三角形相似得G′OA=TOB=FAB;換成原長(zhǎng)相同但勁度系數(shù)小的彈簧，形變量增大，AB減小，則T不變，F(xiàn)減小，故B、D項(xiàng)正確。

在分析物理問題尤其是受力分析時(shí)，需要根據(jù)平衡構(gòu)建力學(xué)三角形來研究力之間的關(guān)系，所以三角形的相關(guān)知識(shí)在這一部分應(yīng)用廣泛，如旋轉(zhuǎn)三角形法、相似三角形、正余弦定理等。熟練運(yùn)用這些數(shù)學(xué)方法，可以達(dá)到優(yōu)化解題的目的。

（二）基本不等式助力結(jié)論驗(yàn)證

用不等號(hào)連接的式子叫作不等式。高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)研究了一類不等式——基本不等式，其可以表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)?；静坏仁降念愋头倍啵ㄈ鐇+y≥2xy型或x+1x≥2型），不僅在求解函數(shù)最值及數(shù)學(xué)證明中被廣泛使用，在物理問題的運(yùn)算過程中，尤其是一些臨界問題的處理時(shí)，也有著很普遍的應(yīng)用。

例如，高中物理是這樣研究輸出功率隨外接負(fù)載電阻變化規(guī)律的：實(shí)驗(yàn)電路如圖7所示，利用電壓表可以測(cè)得電源的路端電壓，利用電流表可以測(cè)得電路中的電流;移動(dòng)滑動(dòng)變阻器使其阻值變大的過程中，電流變小，路端電壓變大;根據(jù)P=UI和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到輸出功率隨外接負(fù)載電阻變化圖像（見圖8），并可以測(cè)得輸出功率P最大時(shí)，負(fù)載電阻等于內(nèi)阻，且功率最大值為E24r。

這一研究數(shù)據(jù)以及結(jié)論，都以實(shí)驗(yàn)方式獲得。其實(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求極值，也可以得到這一結(jié)論。假設(shè)電壓表和電流表示數(shù)分別為U和I，負(fù)載電阻的阻值為R，若電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻分別為E和r，根據(jù)閉合電路歐姆定律，I=ER+r，聯(lián)立功率公式P=UI=I2R，可得 P=E2R（R+r）2。若整體從函數(shù)角度考查，解析式較為復(fù)雜，但如果對(duì)分母用基本不等式（R+r）2≥4Rr，可得P≤E24r（當(dāng)且僅當(dāng)R=r時(shí)，取等號(hào)）。這一結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)論完全吻合。

（三）排列組合助力熱力學(xué)現(xiàn)象理解

“排列”“組合”是組合學(xué)中最基本的兩個(gè)概念。所謂“排列”，就是指從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序;“組合”則是指從給定個(gè)數(shù)的元素中僅僅取出指定個(gè)數(shù)的元素，不考慮排序。排列組合的中心問題是研究給定要求的排列、組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。排列組合與古典概率論關(guān)系密切，利用排列組合的知識(shí)，可以分析一些物理現(xiàn)象。

例如，人教版高中物理選修3-3第十章中提及熱力學(xué)第二定律的微觀解釋，具體描述了一切熱現(xiàn)象過程的方向性，即按有序到無序的方向進(jìn)行。那為什么這些熱現(xiàn)象都是不可逆的？我們可從數(shù)學(xué)概率論的角度加以解釋。

生活中也有許多有序和無序的例子。以洗牌為例，一副撲克牌除去大、小王，還剩52張，排列時(shí)對(duì)花色和大小都無要求，有A5252種排列方式。由此，我們?cè)谖锢砩峡梢远x兩組概念：宏觀態(tài)和微觀態(tài)，有序和無序。我們把提出的每種牌的排列要求理解為一個(gè)宏觀態(tài)，而按照這種要求進(jìn)行理牌能夠排列出的排法理解為包含的微觀態(tài)。則一個(gè)宏觀態(tài)包含的微觀態(tài)越少，表示越有序;包含的微觀態(tài)越多，表示越無序。

有了這兩組概念后，熱力學(xué)第二定律的微觀解釋就有了理論基礎(chǔ)。以氣體的擴(kuò)散現(xiàn)象為例。假設(shè)某一帶隔板的絕熱容器，剛開始左側(cè)有空氣（設(shè)有四個(gè)氣體分子A、B、C、D），右側(cè)為真空（如圖9）。打開隔板后，左側(cè)氣體會(huì)向右側(cè)自由膨脹，根據(jù)最后兩側(cè)氣體分子數(shù)量的個(gè)數(shù)情況，可以分為五種情況（見表1）。

可以看出，打開隔板后出現(xiàn)左右兩側(cè)氣體分子均勻分布的概率最大，所以實(shí)際生活中看到的穩(wěn)定狀態(tài)都是均勻分布的，氣體膨脹體現(xiàn)出的方向性，就是氣體分子自發(fā)狀況下從有序到無序的結(jié)果。不僅氣體擴(kuò)散有這個(gè)特點(diǎn)，所有與熱力學(xué)有關(guān)的現(xiàn)象都是如此，進(jìn)而可以得到一個(gè)更重要的原理——熵增原理：孤立熱力學(xué)系統(tǒng)中的熵不會(huì)減少，總是增大或者不變。

*本文系江蘇省教研室2017年度第12批立項(xiàng)課題“生命與健康特色課程的實(shí)踐研究”（編號(hào)：2017JK12L036）、無錫市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“HPM視角下落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科德育的教學(xué)研究”（編號(hào)：I/D/2020/13）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李克民.從經(jīng)典模型的改造談數(shù)學(xué)試題的命制——以“將軍飲馬”問題為例[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（1）.

[2] 任念兵.從“數(shù)學(xué)欣賞”教學(xué)談?wù)n程整合[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（1）.