任繼富

【摘要】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某一個(gè)領(lǐng)域所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力，其中邏輯推理能力在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中屬于較高層級(jí)的能力。文章以專(zhuān)題復(fù)習(xí)為例，從解決實(shí)際問(wèn)題入手，經(jīng)過(guò)課堂教學(xué)滲透，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體提升。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);推理能力;最值問(wèn)題

一、由一道考題引發(fā)的思考

在中考第一輪綜合復(fù)習(xí)過(guò)程中，有這樣一道題目：“二次函數(shù)y=X2+4x+3圖像上的點(diǎn)到直線y=2x的最小距離為_(kāi)___.”該題初看起來(lái)就是點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，如果是純幾何問(wèn)題，很多學(xué)生都不會(huì)覺(jué)得有什么困難，但是與二次函數(shù)聯(lián)系起來(lái)后，頓時(shí)成了一道難題。

基礎(chǔ)較好的同學(xué)容易找到解題思路。設(shè)與y=2x平行的直線解析式為y=2x+k，當(dāng)y=2x+k與y=X2+4x+3圖像相切時(shí)，切點(diǎn)到直線y=2x的距離即最小距離，聯(lián)解y=X2+4x+3 y=2x+k，根據(jù)方程組只有一組解可以得出切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算切點(diǎn)到y(tǒng)=2x的距離就是最小距離。解題思路易形成，但運(yùn)算量大，增加了運(yùn)算的出錯(cuò)率。

若日常教學(xué)中我們有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，那么學(xué)有余力的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)更簡(jiǎn)便的方法。設(shè)二次函數(shù)y=x2+4x+3圖像上的一點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，m2+4m+3），過(guò)該點(diǎn)作x軸垂線，與直線y=2x交于點(diǎn)N（m，2m），所以線段MN=m2+4m+3-2m=m2+2m+3=（m+1）2+2，易得當(dāng)m=-1時(shí)，MN有最小值2，當(dāng)MN取最小值時(shí)，也就是二次函數(shù)y=x2+4x+3圖像上的點(diǎn)到直線y=2x的距離最小，最小距離為2√5/5。

該題的解答讓筆者反思日?！氨馄交钡慕虒W(xué)，教師忙于趕教學(xué)進(jìn)度，學(xué)生思維訓(xùn)練的時(shí)間有限，教師有意或無(wú)意中把核心素養(yǎng)中的能力培養(yǎng)放到了次要位置，導(dǎo)致學(xué)生遇到新問(wèn)題時(shí)經(jīng)常陷于無(wú)從下手的窘境。

二、教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的實(shí)踐探索

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生必須具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)。在此條件下，教師應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生的推理能力，提升其核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)推理能力不是憑空出現(xiàn)的，不可一蹴而就，它正是在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)上發(fā)展起來(lái)的，通過(guò)不斷地訓(xùn)練，總結(jié)提升，方能達(dá)到預(yù)期效果。在中考復(fù)習(xí)過(guò)程中，“最短路徑問(wèn)題”是軸對(duì)稱性質(zhì)、三角形、兩點(diǎn)之間線段最短及勾股定理計(jì)算等知識(shí)的延續(xù)和深化，對(duì)解決數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題起到基礎(chǔ)性作用。本文以一些典型的教學(xué)片段進(jìn)行例談。

1.注重思維啟發(fā)，培養(yǎng)推理意識(shí)

問(wèn)題1：如圖1，從A地到B地有三條路可供選擇，你認(rèn)為哪條路距離最短？說(shuō)說(shuō)你的理由。

師：這個(gè)問(wèn)題答案是選哪個(gè)？

生：AB。

師：為什么是AB最短？

生：兩點(diǎn)之間，線段最短。

師：很好，這個(gè)問(wèn)題熟悉嗎？

生：熟悉。

師：好的，那以這個(gè)問(wèn)題為基礎(chǔ)，我們學(xué)習(xí)與它有關(guān)的另一個(gè)知識(shí)，大家有興趣嗎？

生：有。

問(wèn)題2：如圖2，要在燃?xì)夤艿溃闲藿ㄒ粋€(gè)泵站，分別向A、B兩村供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

師：這個(gè)問(wèn)題與第1個(gè)題目有聯(lián)系和區(qū)別嗎？

生：有，既有聯(lián)系也有區(qū)別。

師：具體說(shuō)一下。

生：兩個(gè)問(wèn)題都用到了“兩點(diǎn)之間，線段最短”。不同的是，問(wèn)題2的A、B兩點(diǎn)分布在直線l的兩側(cè)。

師：很好，大家審題細(xì)致，那么怎么解題呢？

生：只要連接AB兩點(diǎn)，直線l與AB的交點(diǎn)就是泵站修的位置。

師：大家很棒，那我們有信心做好接下來(lái)的問(wèn)題嗎？

生：有。

問(wèn)題3：相傳，古希臘有一位學(xué)者海倫，有一天，一位將軍專(zhuān)程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：“從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地，請(qǐng)問(wèn)到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？”這個(gè)問(wèn)題對(duì)于既是物理學(xué)家也是數(shù)學(xué)家的海倫來(lái)說(shuō)根本不算難題，他稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”。

師：這個(gè)問(wèn)題與以上兩題有聯(lián)系嗎？

生：好像有。

師：請(qǐng)大家一起探究，將A、B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河流抽象為一條直線l，在直線，上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最小。各組同學(xué)可以圍繞這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行深入討論。

顯然大部分同學(xué)思維卡住了，教師順勢(shì)引出下一問(wèn)題。

問(wèn)題4：如圖3，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最小。

學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試畫(huà)圖，相互交流。

教師提示：（1）如果點(diǎn)B與點(diǎn)A在直線l的異側(cè)，如何在直線，上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最?。?/p>

（2）現(xiàn)在點(diǎn)B與點(diǎn)A在同側(cè)，能否將點(diǎn)B移到l的另一側(cè)點(diǎn)B'處，且滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都能保持CB=CB'？

（3）你能根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)，找到（2）中符合條件的點(diǎn)B'嗎？

如圖4，出示作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B';（2）連接AB'，與直線l相交于點(diǎn)C，點(diǎn)C即所求。

證明：如圖5，在直線l上任取一點(diǎn)C'（與點(diǎn)C不重合），連接AC'、BC'、B'C.

由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC=B'C，BC'=B'C'.

∴AC+BC二AC+B'C=AB'，AC'+BC'=AC'+B'C'.

在△AB'C'中，AB'

即AC+BC最短

師：證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C'（與點(diǎn)C不重合）？

教學(xué)反思：讓學(xué)生體會(huì)作法的合理性、正確性，通過(guò)以上問(wèn)題和證明方法的講解分析，啟發(fā)學(xué)生思考，潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的思維意識(shí)。教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，使學(xué)生在觀察實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)證明的活動(dòng)中養(yǎng)成思考的習(xí)慣。

2.注重變式訓(xùn)練，發(fā)展推理能力

通過(guò)學(xué)習(xí)核心知識(shí)，強(qiáng)化變式訓(xùn)練，有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想和掌握數(shù)學(xué)方法，達(dá)到觸類(lèi)旁通的學(xué)習(xí)效果，把學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的知識(shí)上升到提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的層次;同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的思考習(xí)慣，提高推理能力，提高解決問(wèn)題的能力。

變式1：如圖6，牧馬營(yíng)地在點(diǎn)P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b飲水，最后回到營(yíng)地，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條放牧路線，使其所走的總路程最短，并說(shuō)明理由。

變式2：如圖7，C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地a某一處牧馬，再到河邊b飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。

變式3：如圖8，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D、E、F分別是邊AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則DE+EF+FD的最小值為_(kāi)_______.

變式4：如圖9，已知點(diǎn)A（1，-3）、點(diǎn)B（4，-1）、點(diǎn)P（a，0）、點(diǎn)M（a+2，0），當(dāng)四邊形PABM的周長(zhǎng)最小時(shí)，a=_____.

教學(xué)反思：變式1與變式2的設(shè)計(jì)，在于幫助學(xué)生對(duì)本課內(nèi)容的理解實(shí)現(xiàn)由表及里、從方法到思想的提升。變式3、4是為鞏固對(duì)最短路徑問(wèn)題掌握情況而設(shè)計(jì)的，表面看變式3、4與最短路徑問(wèn)題不太一樣，但深入探究發(fā)現(xiàn)，核心知識(shí)是相同的。比如在變式4中，路徑AB是固定的，可先不考慮，而PM能轉(zhuǎn)化為一條固定方向和長(zhǎng)度的線段。在解答變式題3、4時(shí)，若思維止于表面，那么將無(wú)法與軸對(duì)稱變換聯(lián)系，思路將無(wú)法形成。

3.注重改編設(shè)題，提升思維素養(yǎng)

學(xué)生完全自編題目當(dāng)然有很大困難，但如果改編就容易多了，學(xué)生可以試著改變問(wèn)題的背景，改變問(wèn)題的條件，改變問(wèn)題的結(jié)論或改變問(wèn)題的類(lèi)型。如果教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)就注重問(wèn)題的開(kāi)放式設(shè)計(jì)，那么學(xué)生改編題目就有了參照，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的興趣，發(fā)展邏輯思維能力有很大的幫助。

例如：以變式3為母題，啟發(fā)學(xué)生改變問(wèn)題的呈現(xiàn)背景，把三角形問(wèn)題改為矩形問(wèn)題，如圖10，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、F、G分別是AB、BC和對(duì)角線AC上的點(diǎn)，則GE+EF+FG的最小值為（ ）.

教學(xué)反思：在數(shù)學(xué)問(wèn)題的改編中，教師應(yīng)該嘗試給學(xué)生思考的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的關(guān)鍵因素展開(kāi)聯(lián)想，變化出更多樣的圖形。教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中的編題設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生限制少一些，讓學(xué)生有更多的自主權(quán)去增加新的條件，從解題人向出題人轉(zhuǎn)變，跳出思維定式，充分發(fā)展邏輯推理能力;將學(xué)生設(shè)計(jì)的題目展示給大家評(píng)議。通過(guò)評(píng)議，學(xué)生精準(zhǔn)讀懂編題者的設(shè)計(jì)意圖，更容易形成思維路徑，提高邏輯推理能力，形成解答思路，同時(shí)也可以增強(qiáng)學(xué)生編題的積極性和自豪感。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王小莉.化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透——以《最短路徑問(wèn)題》為例[J].教育現(xiàn)代化，2018（10）：350-352.