胡堅波

摘? 要：解題教學是必不可少的一種課堂教學形式，教師解題研究的能力直接影響到學生對問題理解的深度. 教師只有掌握了解題研究的一般方法，才能在課堂中引導學生抓住問題的本質(zhì)，從而優(yōu)化解法，并進一步帶領(lǐng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，進而得到一般性的結(jié)論，最終提高學生的解題能力、培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng). 文章以2020年中考浙江杭州卷第14題的研究為例，談談幾何解題研究的一般方法.

關(guān)鍵詞：中考試題;解題研究;一般方法

中考試題的命制往往有其意義，一道看似不起眼的試題，其中很可能蘊含著豐富的內(nèi)容. 如果繼續(xù)探究下去，或許就能發(fā)現(xiàn)試題背后隱藏的深意，從而體現(xiàn)解題的育人價值. 本文以2020年中考浙江杭州卷第14題為例，談談應該怎樣進行幾何解題的研究.

作為填空題的第4道題，試題本身不難，主要考查了三角函數(shù)的相關(guān)知識. 不妨設BC = 1，則AC = 3.? 解得[AB=22，OB=2.] 則[tan ∠BOC=22.] 作為填空題，此題的求解到這里就結(jié)束了，但是作為解題研究，現(xiàn)在才剛剛開始.

一、獲得研究對象

研究圖形要抓住圖形的本質(zhì)，為了更容易抓住本質(zhì)，幾何研究要做減法，即去掉非關(guān)鍵因素. 此題中，可以隱去圓，那么題目條件等價于“如圖2，∠ABM = 90°，點C在射線BM上，O是AB的中點”. 觀察圖形的結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)，若點C的位置確定了，則整個圖形的形狀就隨之確定，即∠BOC，∠BAC，∠ACO，∠BCO的度數(shù)也隨之確定. 原試題就是在確定的條件下進行的定量研究，而研究圖形變化過程中的規(guī)律性也是幾何研究的常見問題. 在圖2中，當點C的位置變化時，∠BOC，∠BAC，∠ACO，∠BCO的大小也隨之改變. 當點C從點B向射線BM的方向移動時，容易發(fā)現(xiàn)∠BOC和∠BAC的度數(shù)變大，∠OCB的度數(shù)變小，但無法很快確定∠ACO的變化情況. 接下來，我們進一步探究∠ACO的變化情況.

二、借助技術(shù)獲得初步猜想

幾何問題的研究一般要經(jīng)歷畫圖、測量、計算、猜想、證明的過程. 幾何畫板軟件為我們畫圖、測量、計算提供了很好的輔助. 利用幾何畫板軟件對復雜的問題進行初步研究、獲得猜想，是常見的研究起點. 利用幾何畫板軟件，發(fā)現(xiàn)當點C從點B向射線BM的方向移動時，∠ACO的度數(shù)先變大后變小，且∠ACO取到的最大值約為19.47°（如圖3）. 進一步計算，發(fā)現(xiàn)此時sin ∠ACO ≈ 0.33.

三、從“數(shù)”的角度驗證猜想

通過利用幾何畫板軟件進行探究，發(fā)現(xiàn)點C的位置決定了∠ACO的大小，而點C的位置可以用BC的長度來刻畫，所以繼續(xù)探究的思路是用BC的長度表示sin ∠ACO.

四、從“形”的角度驗證猜想

前面我們從“數(shù)”的角度驗證了猜想，接下來我們從“形”的角度來思考. 抓住變化過程中不變的關(guān)系是研究幾何問題的常用方法. 進一步觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)當點C的位置發(fā)生改變時，∠ACO所對的邊AO的長度始終沒有發(fā)生變化. 即角度在變，角度所對的邊不變. 這讓我們聯(lián)想到了圓中同弦所對的角. 構(gòu)造過A，C，O三點的⊙D. 如圖4，若⊙D與射線BM相交，設另一個交點為點E. 在線段CE上任意取一點F（除點C，E外），連接AF，OF，根據(jù)圓內(nèi)角大于同弧所對的圓周角，可得∠AFO>∠ACO. 故可知此時∠ACO的度數(shù)并沒有取得最大值.

如圖5，若⊙D與射線BM相切于點C，在射線BM上任意取一點G（除點C外），連接AG，OG，根據(jù)圓外角小于同弧所對的圓周角，可得∠AGO<∠ACO. 故此時∠ACO取到最大值，于是得到第一個有價值的結(jié)論.

結(jié)論1：∠ACO取到最大值的充要條件是過A，C，O三點的⊙D與射線BM相切.

接下來，求此時∠ACO的正弦值及BC的長. 可以沿用前面的解題思路，分別求出線段AO，OC，AC，BC的長度，再利用△ACO的面積求解.

“數(shù)”和“形”兩種思考方法都能驗證猜想，可見這也是我們解決幾何問題的一般思路. 對比兩種思路，從“數(shù)”的角度思考，往往需要設未知變量，再利用勾股定理、相似、面積關(guān)系、三角函數(shù)等，列出未知變量與所求量之間的關(guān)系，然后用代數(shù)的方法求解;從“形”的角度思考，往往需要根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)，抓住圖形中不變的關(guān)系，構(gòu)建出幾何模型，再根據(jù)圖形性質(zhì)求解. 用“數(shù)”的方法容易想到，但計算較復雜;用“形”的方法比較直觀，計算也相對簡單，但是要弄清楚幾何模型結(jié)構(gòu)有一定的難度，需要的知識綜合度高，也需要一定的邏輯推理. 數(shù)形結(jié)合的思想方法在教學中有其育人價值，在解題教學中我們應讓學生經(jīng)歷基本的活動經(jīng)驗，這樣才能培養(yǎng)學生必需的基本數(shù)學思想.

五、追本溯源

其實，本問題在數(shù)學史中已經(jīng)存在，稱為“米勒問題”. 德國數(shù)學家米勒于1471年提出“塑像問題”：有一個高a米的塑像立在一個高b米的底座上，一個人朝它走去（人的高度忽略不計），問此人應站在離塑像底座多遠的地方，才能使塑像看上去最大（即視角最大）？根據(jù)題意畫出圖形，如圖7，AO為雕像，BO為底座，點C表示人，求∠ACO最大時，BC的長.

這與我們研究的問題非常相似，只是點O的位置不再是中點，這為我們進一步研究問題提供了思路，即可以改變圖形的條件，使之更具一般性，進而獲得一般性的結(jié)論，這是我們進一步研究幾何問題的方向.

六、改變條件進一步探究

1. 改變點O的位置

受“米勒問題”的啟發(fā)，我們可以改變點O的位置，使之一般化，為了研究的連貫性，不妨設AB = 2，AO = n（0

結(jié)論2：如圖8，設∠ABM = 90°，AB = 2，點O是線段AB上一點，AO = n（0

2. 改變∠ABM的大小

此題條件里動點C所在的射線BM與AB垂直，顯然條件中的位置比較特殊. 若從這個角度改變條件，當射線BM與AB不垂直，即∠ABM ≠ 90°時，相當于“米勒問題”中的雕像及底座與地面不垂直時，那么結(jié)論2是否仍成立？因為∠ABM ≠ 90°，所以四邊形DCBH不再是矩形，即DC ≠ BH. 求半徑的解法相應會有所改變，猜想sin ∠ACO的值與∠ABM的度數(shù)有關(guān). 因為結(jié)論1與∠ABM的大小無關(guān)，所以結(jié)論1仍然成立. ∠ACO取到最大值時，過A，C，O三點的⊙D與射線BM相切，故圓冪定理仍然適用，所以[BC=BO · BA=4-2n.] 所以可得第三個有意義的結(jié)論.

結(jié)論3：設 [∠ABM=α]（0°<[α]<180°），AB = 2，點O是線段AB上一點，AO = n（0

接下來，求sin ∠ACO. 因為∠ABM有銳角和鈍角兩種情況，所以要分兩種情形分類進行研究.

情形1：如圖9，當0°<[α]<90°時，⊙D與射線BM相切于點C. 根據(jù)前面的猜想sin ∠ACO會與[α]有關(guān)，為了將[α]用上，所以考慮作垂線構(gòu)造直角三角形. 作DH⊥AO于點H，BE⊥AB交DC的延長線于點E，作DF⊥BE于點F.

易證[∠CBE=∠EDF=90°-α，DF=BH=2-n2.] 所以[DE=DFcos90°-α=4-n2sinα，CE=BC · tan90°-α=][4-2n · tan90°-α，AD=DC=DE-CE=4-n2sinα-4-2n ·][tan90°-α=4-n-24-2ncosα2sinα.? sin∠ACO=sin∠ADH=]

情形2：如圖10，當[90°<α<180°]時，⊙D與射線BM相切于點C. 同樣作DH⊥AO于點H，作BE⊥AB交DC于點E，作DF⊥BE交BE的延長線于點F.

易證∠CBE = ∠EDF = α - 90°，[DF=BH=2-n2.] 所以[DE=DFcosα-90°=4-n2sinα，CE=BC · tanα-90°=][4-2n · tanα-90°，AD=DC=DE+CE=4-n2sinα+4-2n ·][tanα-90°=4-n-24-2ncosα2sinα. sin∠ACO=sin∠ADH=][AHAD=nsinα4-n-24-2ncosα.]

發(fā)現(xiàn)兩種情形最后結(jié)果的表達式是一致的，而把[α=90°] 代入，得[sin∠ACO=nsinα4-n-24-2ncosα=n4-n.] 與之前的計算結(jié)果一致，可見角度在變，結(jié)果的表達式不變，得到了變化過程中不變關(guān)系的本質(zhì)，于是得到了問題的一般性結(jié)論.

結(jié)論4：設[∠ABM=α]（0° <[α]< 180°），AB = 2，點O是線段AB上一點，AO = n（0

3. 將射線BM改為直線BM

當射線BM改為直線BM時，相當于“米勒問題”中人可以站到雕像的背面進行觀察. 如圖11，當點C在直線BM上移動時，由前面的研究可知，當點C在射線BM1和BM2上時，分別有一個點C1和點C2，使得∠AC1O和∠AC2O在各自的射線上取到最大值，那么∠AC1O和∠AC2O哪個更大一些呢？顯然，當BM⊥AB時，BC1 = BC2，由對稱性可知∠AC1O = ∠AC2O. 當BM與AB不垂直時，不妨設[∠ABC1=α]（0° <[α]< 90°），則[∠ABC2=180°-α.] 根據(jù)結(jié)論4，可以得到[sin ∠AC1O=nsinα4-n-24-2ncosα，][sin ∠AC2O=nsinα4-n+24-2ncosα.] 因為0 < cos α < 1，所以sin ∠AC1O>sin ∠AC2O. 所以∠AC1O>∠AC2O. 得到結(jié)論5.

結(jié)論5：如圖11，當點C在直線BM上時，設AB = 2，點O是線段AB上一點，AO = n（0

七、解后思考

回顧整個研究過程，通過圖形的變化將一個確定的圖形變?yōu)椴淮_定的圖形，從而獲得研究對象. 而對于變化中規(guī)律的研究，入手比較難，這時信息技術(shù)為化解難點提供了幫助. 借助幾何畫板軟件，不僅能方便地展示圖形變化的過程，而且可以通過教師有意識地控制幫助學生觀察影響變化的要素及其關(guān)系，從而獲得初步的猜想. 接著，從“數(shù)”和“形”兩個角度驗證了該猜想，進一步體會到幾何問題在“數(shù)”和“形”上的統(tǒng)一，體會到數(shù)形結(jié)合思想在解題中的重要作用. 在引出“米勒問題”后，通過進一步改變條件——點的位置變化、角度的大小變化、射線變?yōu)橹本€等，發(fā)現(xiàn)了在條件變化過程中不變的結(jié)論. 通過這樣的解題教學研究可以讓學生進一步體會到研究幾何問題的一般方法——從簡單到復雜，從特殊到一般.

整個研究過程，具備學習素材的真實性，問題的開放性，學習過程的探索性，學習手段的操作性，探索過程的動態(tài)化、可視化，學習體驗的形象化、可表達，學習結(jié)果的創(chuàng)造性. 這些都有利于在今后的學習中，提高學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，進而實現(xiàn)幾何解題教學的育人價值.

參考文獻：

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