毛大平 應佳成

摘? 要：從單項式到多項式再到整式是認識整式的邏輯順序. 單項式的結構含義是要素和要素的關系，要素是指系數(shù)、字母和字母的指數(shù)，由這個關系進一步得到多項式和整式的結構特征. 在“整式”一課的教學中，通過實施有學生思維參與的教學過程，使看似呈碎片化的多個概念通過要素與要素之間的關系分析而結構化，提升課堂教學效率.

關鍵詞：整式;概念教學;數(shù)學思維

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

整式.

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課選自北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級上冊第三章第3節(jié)“整式”.

整式的學習在整個代數(shù)學習中都很關鍵，因為從數(shù)到式，要有完整的認識. 本節(jié)課按運算的順序、加減的對象建起式的運算的邏輯順序，認清整式的結構.

從單項式到多項式再到整式，這是認識整式的邏輯順序. 單項式的結構含義是要素和要素的關系，要素是指系數(shù)、字母和字母的指數(shù)，由這個關系進一步得到多項式和整式的結構特點.

單獨的一個數(shù)或字母也是單項式，這是單項式概念給出后的一個補充定義. 這是為了使概念呈現(xiàn)純粹性和完備性的統(tǒng)一.

本節(jié)課從運算對象角度引入. 列舉的例子要盡量是學生熟悉的、能弄清楚的，這樣可以排除干擾，從數(shù)上升到式，數(shù)式通性體現(xiàn)在研究結構的一致性. 對整式內(nèi)容的認識，關鍵是對對象結構的認識. 本節(jié)課是一節(jié)概念課，要落實好基礎知識和基本技能，需要學生掌握用概念做判斷的步驟.

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）通過歸納、類比，經(jīng)歷單項式、多項式概念的發(fā)生過程.

（2）了解單項式、多項式、整式的概念.

（3）理解單項式的系數(shù)和次數(shù)的概念.

（4）理解多項式中項、項的系數(shù)、多項式的次數(shù)等概念.

（5）了解整式在解決實際問題中的應用.

2. 目標解析

達成目標（1）的標志是：能從單項式要素之間的關系理解單項式定義的形成過程;能從式與式的關系認識多項式和整式概念的發(fā)生過程.

達成目標（2）的標志是：會進行單項式、多項式、整式的分類.

達成目標（3）的標志是：能借助數(shù)的結構分析單項式的結構，理解單項式的系數(shù)和次數(shù)的概念，能找出具體的單項式中的系數(shù)和次數(shù).

達成目標（4）的標志是：能理解多項式與單項式的內(nèi)在聯(lián)系，利用概念說出具體的多項式的項數(shù)，每項的系數(shù)和多項式的次數(shù)，注意到系數(shù)是帶著符號的.

達成目標（5）的標志是：能初步分析實際問題中各種量之間的關系，利用整式解決實際問題.

三、教學問題診斷分析

學生在分析、歸納代數(shù)式的結構特征時，抓住系數(shù)、字母和字母指數(shù)之間的關系，得出單項式、單項式的系數(shù)和次數(shù)的概念，再通過研究單項式與單項式之間的加減運算關系，得出多項式的結構特征. 根據(jù)這些特征得出多項式、多項式的項和多項式的次數(shù)的概念.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為理解單項式、多項式相關概念中的系數(shù)、次數(shù)的概念，尤其是系數(shù)應包括符號.

四、教學過程設計

環(huán)節(jié)1：設置問題情境，引出研究對象.

問題1：利用這一章前兩節(jié)所學知識完成下列列式.

（1）蘋果每千克x元，列式表示買3千克蘋果的價錢;

（2）某產(chǎn)品去年的產(chǎn)量是2n件，今年的產(chǎn)量是去年產(chǎn)量的m倍，列式表示今年的產(chǎn)量;

（3）一個長方體包裝盒的長和寬都是a cm，高是h cm，列式表示它的體積;

（4）列式表示體重由x kg減少2 kg后的質量;

（5）列式表示圖1中陰影部分的面積.

【設計意圖】通過設置學生熟悉的問題情境，既回顧了前面所學的“用字母表示數(shù)”和代數(shù)式，又為本節(jié)課的學習引出了研究對象.

環(huán)節(jié)2：單項式及其相關概念.

問題2：從運算符號來看，問題1中所列的五個式子有什么不同？如果分成兩類，可以怎么分？

前三個式子都是乘法運算，分為一類;后兩個式子中有加減運算，分為一類.

追問1：前三個代數(shù)式分別由哪些因數(shù)相乘？

3x是3和x的乘積;2mn是2，m，n的乘積;[a2]h是a，a，h的乘積. 這些式子都是數(shù)與字母的乘積，這樣的代數(shù)式叫做單項式.

【設計意圖】通過分析每個單項式各組成要素之間的關系，體會單項式概念的形成過程.

追問2：3x，2mn， [a2h]是單項式，那么x，a，0，-1是單項式嗎？

x可以看成1與x的乘積，a可以看成1與a的乘積，所以它們也是單項式. 我們約定：單獨的一個數(shù)或字母也是單項式.

【設計意圖】對單項式的定義給出補充定義，使單項式概念呈完備性和純粹性的統(tǒng)一.

問題3：觀察單項式的因數(shù)，這些因數(shù)有什么特點？

單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù).

3x的系數(shù)是3;2mn的系數(shù)是2;[a2]h的系數(shù)是1.

【設計意圖】通過類比數(shù)的結構，發(fā)現(xiàn)式的結構特征，從而得到單項式的系數(shù)概念.

練習1：分別求單項式-2x，-a，[xy2]的系數(shù).

【設計意圖】強調(diào)系數(shù)包括符號;對于只含字母因數(shù)的單項式，它們的系數(shù)是1或-1.

問題4：3x中有1個字母因數(shù)，2mn中有2個字母因數(shù)，[a2]h中有字母a和h，[a2]代表2個a相乘，所以[a2]h中有3個字母因數(shù). 我們可以用什么量來反映單項式的次數(shù)？

單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù).

練習2：試指出下列單項式的次數(shù)，并指出要注意哪些問題.

（1）3xy;（2） [-2x2y];（3） [5xy2].

【設計意圖】鞏固單項式的次數(shù)概念. 若不同的單項式中所含字母相同，而相同字母的指數(shù)可能不同，單項式的次數(shù)也可能不同.

問題5：填寫下表.

[單項式 -5y -a3b 1.2xy3 [3ab2] -[43]xy2 系數(shù) 次數(shù) ]

【設計意圖】單項式的系數(shù)可以是負數(shù)，不能漏掉負號. 單項式的系數(shù)也可以是分數(shù)，不能漏了分母. 單項式所含的字母相同時，若相同字母的指數(shù)不同，單項式的次數(shù)也可能不同.

環(huán)節(jié)3：多項式及其相關概念.

問題6：在代數(shù)式3x，2mn， [a2h，] x - 2， [x2]+ 3x + 6中，觀察后兩個代數(shù)式與前面三個單項式有什么不同，其與單項式有什么聯(lián)系？

總結：后兩個多項式是單項式之間的加減運算，我們把減法統(tǒng)一成加法，就得到了多項式的概念，即它是幾個單項式的和. 多項式中的每個單項式叫做多項式的項. 一個多項式中，次數(shù)最高項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù).

【設計意圖】多項式研究的是式與式之間的關系. 通過問題6引導學生體會多項式與單項式之間的內(nèi)在關聯(lián).

練習3：多項式3x + 5y - 2z和2ar -[πr2]各由哪些項組成？每一項的系數(shù)是什么？各項的次數(shù)分別是多少？多項式的次數(shù)是多少？

【設計意圖】鞏固多項式的項和多項式的次數(shù)的概念，強調(diào)“多項式的每一項都包括它前面的符號”.

環(huán)節(jié)4：綜合練習.

練習4：下列代數(shù)式中哪些是單項式？哪些是多項式？分別填入圖2的所屬圈中. 指出其中各單項式的系數(shù)，以及哪個多項式的次數(shù)最高，最高次數(shù)是多少.

（1）[-15a2b;]（2）[3x2π;]（3） [2x-3y;]（4）[4a2b2]-4ab +[b2;]（5）-a;（6）[x3]+ 2y - x.

[單項式] [多項式][圖2]

【設計意圖】利用概念判斷單項式和多項式，落實對基本概念的理解.

練習5：小明和小亮各收集了一些廢電池，如果小明再多收集6個，他的廢電池個數(shù)就是小亮的2倍. 根據(jù)題意列出整式.

（1）若小明收集了x個廢電池，則小亮收集的廢電池的個數(shù)是? ? ? ;

（2）若小亮收集了x個廢電池，則小明的廢電池的個數(shù)是? ? ? ;兩人一共收集的廢電池的個數(shù)是? ? ? .

【設計意圖】通過練習5，培養(yǎng)學生列整式解決實際問題的能力. 對“兩人一共收集的廢電池的個數(shù)是多少？”這一問題的解決為接下來研究整式的加減埋下伏筆.

環(huán)節(jié)5：課堂小結.

師生在課堂上總結出結構框架圖，如圖3所示.

[列代數(shù)式] [歸納][概括][單項式][多項式] [系數(shù)][次數(shù)][項][次數(shù)][整式][整式的運算] [圖3]

【設計意圖】梳理、呈現(xiàn)整式的研究內(nèi)容和研究思路，并指明整式是后續(xù)學習整式的運算的基礎.

五、課堂目標檢測

1. 觀察下列整式：[7]h，[xy3]+[1]，[2]ab+[6]，[x3]-[2x2y2+3y2]. 其中，單項式有? ? ? ;多項式有? ? ? .

2. 多項式[-13x-x2y+2π]中有幾項？每項的系數(shù)和次數(shù)分別是多少？該多項式的次數(shù)是多少？

3. 圖4是一所住宅的建筑平面圖（單位：m），列整式表示這所住宅的建筑面積.

x【設計意圖】第1題檢測學生是否會區(qū)分單項式和多項式. 第2題檢測學生能否判斷單項式的系數(shù)和次數(shù)，以及多項式的項和次數(shù). 第3題檢測學生在實際問題中列整式表示數(shù)量關系的能力.

六、教學反思

1. 情境引入，旨在獲得研究對象

在環(huán)節(jié)1的情境引入中設置了五道小題，每個問題的背景都不復雜，目的是使學生能夠在熟悉的情境中快速列出代數(shù)式. 在這個過程中不僅回顧了用字母表示數(shù)，而且獲得了本節(jié)課的研究對象. 問題情境簡單，不會對學生的理解造成干擾，達到了課堂引入“高效率”的效果.

2. 要素分析，激活學生的數(shù)學思維

鄭毓信教授認為，數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基本含義是通過數(shù)學教學幫助學生學會數(shù)學思維. 在“整式”這一課的教學中，通過類比數(shù)的結構可以研究式的結構. 研究單項式，關鍵是要弄清楚單項式各要素之間的關系. 在研究單項式后，研究多項式和整式，體現(xiàn)了式與式之間的關系. 這樣就使原本碎片化的知識點結構化，激活了學生的數(shù)學思維. 由整式的學習到后續(xù)的分式、根式學習，它們之間也有內(nèi)在的關聯(lián)，這就是要素之間的關系.

3. 步驟化判斷，落實基本概念

在對要素與要素之間的關系進行分析，形成單項式、多項式和整式的概念后，利用概念進行步驟化的判斷訓練. 例如，在練習1中求單項式的系數(shù);通過問題5的填表鞏固落實單項式系數(shù)和次數(shù)的概念;在練習2和綜合練習中鞏固落實單項式、多項式和整式的概念. 以上練習實現(xiàn)了在課堂上落實基礎知識和基本技能，避免了在學習新知識的第一時間產(chǎn)生兩極分化.

參考文獻：

[1]章建躍，陶維林. 概念教學必須體現(xiàn)概念的形成過程：“平面向量的概念”的教學與反思[J]. 數(shù)學通報，2010，49（1）：25-29，33.