毛大平 應佳成

摘? 要：通過對正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的教學內(nèi)容及教學目標進行解析，提出研究的問題，然后從“數(shù)”到“形”，研究正比例函數(shù)圖象，再借助圖象，研究正比例函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)建起數(shù)形結(jié)合的研究路徑，體現(xiàn)了為學生的數(shù)學理解而教.

關(guān)鍵詞：正比例函數(shù);數(shù)形結(jié)合;教學設計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì).

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課選自北師大版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第四章第3節(jié)“一次函數(shù)的圖象”（第1課時）——正比例函數(shù)的圖象.

本節(jié)課主要從兩個方面對正比例函數(shù)的性質(zhì)進行研究. 一方面，從“數(shù)”的角度進行研究，借助正比例函數(shù)解析式[y=kx][k≠0，] 取一些特殊點，觀察當自變量x的值增大時，函數(shù)值y是增大還是減小，然后進一步觀察當自變量x等距變化時函數(shù)值y的變化情況;另一方面，從“形”的角度進行研究，用描點法畫出函數(shù)圖象，在得到“正比例函數(shù)的圖象是一條直線”后，根據(jù)“兩點確定一條直線”，得到簡便畫法——兩點法. 自變量增大意味著圖象上動點的位置是從左向右移動，從函數(shù)值的增大（或減?。┛梢钥闯鰟狱c是上升（或下降），這樣借助圖象可以直觀地認識正比例函數(shù)的性質(zhì). 數(shù)形結(jié)合法是研究函數(shù)的性質(zhì)的基本方法.

正比例函數(shù)性質(zhì)的核心是其增減性與系數(shù)k的符號之間的關(guān)系.

正比例函數(shù)性質(zhì)的研究方法，不僅可以用在一次函數(shù)性質(zhì)的研究中，而且可以用在后續(xù)要學習的反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究中，體現(xiàn)了函數(shù)學習方法的一致性.

綜上所述，確定本節(jié)課的教學重點是：運用數(shù)形結(jié)合思想方法，通過畫圖、觀察，概括正比例函數(shù)的性質(zhì)（函數(shù)的增減性與系數(shù)[k]的符號之間的關(guān)系）.

二、目標和目標解析

1. 目標

（1）會畫正比例函數(shù)的圖象.

（2）能根據(jù)正比例函數(shù)的圖象和表達式[y=kx]（k[≠]0），理解當[k>0]或[k<0]時圖象的變化情況，從而理解正比例函數(shù)的增減性.

（3）在觀察正比例函數(shù)圖象，歸納正比例函數(shù)性質(zhì)的過程中體會數(shù)形結(jié)合思想.

2. 目標解析

達成目標（1）的標志：面對一個陌生的初等函數(shù)，觀察和歸納是直觀認識函數(shù)圖象性質(zhì)的基本方法. 在用描點法畫出正比例函數(shù)圖象后猜測并驗證其圖象是一條直線，再根據(jù)“兩點確定一條直線”獲得正比例函數(shù)圖象的兩點畫圖法. 要求學生能熟練應用“兩點法”畫出一個具體的正比例函數(shù)圖象.

達成目標（2）的標志：結(jié)合圖象理解當[k>0]和[k<0]時正比例函數(shù)圖象的變化情況. 知道k的符號變化是影響正比例函數(shù)圖象走向，進而造成增減性變化的唯一因素;能根據(jù)[k>0]和[k<0]分別畫出函數(shù)圖象并確定函數(shù)的增減性.

達成目標（3）的標志：體會數(shù)形結(jié)合思想，引導學生感受“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，并在這種用圖象表示數(shù)學對象的過程中發(fā)展數(shù)學直觀;發(fā)展數(shù)學感知能力，要求學生能通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)圖象的特征;發(fā)展數(shù)學表征能力，要求學生會用圖象描述變量之間的對應關(guān)系，用變量的變化規(guī)律解釋圖象特征;發(fā)展數(shù)學概括能力，要求學生能在教師的引導下概括出正比例函數(shù)的性質(zhì).

三、教學問題診斷分析

通過學習正比例函數(shù)，體會正比例函數(shù)圖象的位置和增減性受系數(shù)[k]的影響. 在具體的學習過程中，如果學生沒有經(jīng)歷畫圖、觀察、概括的過程，可能只是記住結(jié)論. 學生在探究性質(zhì)時，會跟著教師畫圖、觀察、概括，但在理解、記憶和應用性質(zhì)時，往往又拋開了圖象. 學生在觀察圖象時，并沒有把圖象特征通過坐標的意義轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)，只是停留在語義記憶層次上.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點是：以坐標為中介，把函數(shù)圖象特征解釋成變量的對應關(guān)系和變化規(guī)律.

四、教學支持條件分析

觀察直線[y=kx k≠0]中[y]隨[x]的變化情況及[k]的符號變化導致函數(shù)增減性的變化時，在學生獨立畫圖象、觀察圖象的基礎(chǔ)上，教師用幾何畫板軟件充分展示其運動變化過程，以便于學生理解和記憶.

五、教學過程設計

環(huán)節(jié)1：復習回顧，引出問題.

問題1：我們研究一個函數(shù)，主要研究什么？

回顧函數(shù)的定義：一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量[x]和[y]，并且對于變量[x]的每一個值，變量[y]都有唯一的值與它對應，那么我們稱[y]是[x]的函數(shù)，其中[x]是自變量.

根據(jù)函數(shù)的定義，我們知道函數(shù)主要研究的是“在一個變化過程中，當[x]變化時，[y]是怎樣變化的？”

【設計意圖】在本章第1節(jié)，學生已經(jīng)學習了函數(shù)的概念，研究對象已經(jīng)確定. 通過復習回顧函數(shù)概念，引出本節(jié)課要研究的問題.

環(huán)節(jié)2：從“數(shù)”到“形”，研究正比例函數(shù)圖象.

問題2：我們先來研究一個較為簡單的正比例函數(shù)[y=2x.] 當[x]變化時，[y]是怎么變化的？

學生發(fā)現(xiàn)[y]隨[x]的增大而增大.

問題3：對于[y=-3x，] [y]隨[x]的變化而怎么變化？

學生發(fā)現(xiàn)[y]隨[x]的增大而減小.

【設計意圖】在學習正比例函數(shù)的圖象之前，學生已經(jīng)了解正比例函數(shù)的解析式. 此環(huán)節(jié)借助正比例函數(shù)的解析式，從“數(shù)”的角度研究具體的正比例函數(shù)中[y]隨[x]的變化情況.

問題4：當[x]怎樣取值，能更好地研究[y]的變化？

教師先讓學生計算表1和表2中的y值.

追問：以上表格中，[x]是按從小到大的順序取值的，選取的每兩個相鄰自變量的增加量并沒有規(guī)律，對應的[y]值也沒有規(guī)律. 那么[x]怎樣取值，能更好地研究[y]的變化？

學生會發(fā)現(xiàn)當將[x]取-2，-1，0，1，2時，[x]值等距增長，[y]的變化規(guī)律如表3所示.

分析發(fā)現(xiàn)：在正比例函數(shù)中，當x的值等距變化時，y的值也等距變化.

【設計意圖】通過對自變量[x]按從小到大的順序取值，歸納出對于具體的正比例函數(shù)，當自變量x等距變化時，函數(shù)值y也等距變化.

問題5：怎樣利用圖象研究以上函數(shù)？

圖1是教材第四章第1節(jié)“函數(shù)”中給出的摩天輪上一點的高度h（m）與旋轉(zhuǎn)時間t（min）之間的關(guān)系. 由此可以看出，圖象是由點構(gòu)成的，每個自變量的值是點的橫坐標，相應的函數(shù)值是點的縱坐標. 從而引出函數(shù)圖象的概念，即把一個函數(shù)自變量的每一個值與對應的函數(shù)值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內(nèi)描出相應的點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象.

問題6：如何畫出正比例函數(shù)[y=2x]的圖象？

學生將表3中列舉的5組特殊值，轉(zhuǎn)化成5個有序?qū)崝?shù)對[-2，-4，] [-1，-2，] [0，0，] [1，2，] [2，4，] 描出5個點，觀察并猜測[y=2x]的圖象是一條直線.

教師在幾何畫板軟件上追蹤點[Px，2x，] 畫出更多的點，猜想滿足[y=2x]的點在一條直線上. 將這條直線畫出來后，學生發(fā)現(xiàn)直上線任意一點的橫、縱坐標都滿足解析式，進一步驗證了[y=2x]的圖象是一條直線.

問題7：如何推理證明[y=2x]的圖象是一條直線？

接著取更多的單位增長量，可以得到所有單位增長的點都共線，從而證明所有的點都是共線的.

【設計意圖】通過問題6和問題7引導學生經(jīng)歷對正比例函數(shù)圖象觀察、猜想、驗證、證明的完整探究體驗過程，促進學生對“正比例函數(shù)的圖象是一條直線”的深刻理解，為后面研究正比例函數(shù)的性質(zhì)做好鋪墊.

師生總結(jié)運用描點法畫函數(shù)圖象的步驟：列表、描點、連線.

練習1：用描點法畫出正比例函數(shù)[y=-3x]的圖象.

你說我畫：學生說出一個正比例函數(shù)，教師在幾何畫板軟件上畫圖.

【設計意圖】通過練習1鞏固用描點法畫函數(shù)圖象的步驟，在“你說我畫”的活動中，讓學生進一步直觀感受“任意正比例函數(shù)的圖象都是一條直線”.

問題8：你能找到畫正比例函數(shù)圖象的簡便方法嗎？

師生總結(jié)：只需要兩個點就可以畫出正比例函數(shù)的圖象，簡稱“兩點法”.

練習2：用“兩點法”在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)[y=x，y=4x]和[y=-12x]的圖象.

【設計意圖】在得到“正比例函數(shù)的圖象是一條直線”的結(jié)論后，可以繼續(xù)得到畫正比例函數(shù)圖象的簡便方法——兩點法. 在學生利用“兩點法”畫出多個正比例函數(shù)圖象過程中，積累和提煉出常用的“兩點”.

環(huán)節(jié)3：借助圖象，研究正比例函數(shù)的性質(zhì).

問題9：如圖3，觀察函數(shù)[y=2x，] [y=-3x，] [y=x，] [y=4x]和[y=-12x]的圖象，根據(jù)相應圖象上的點從左到右的變化趨勢，將函數(shù)分類，你認為可以怎樣分？理由是什么？

按[k>0]和[k<0]分成兩類. 當[k>0]時，圖象從左到右逐漸上升，經(jīng)過第一、三象限;當[k<0]時，圖象從左到右逐漸下降，經(jīng)過第二、四象限. 也就是說，當[k>0]時，[y]隨[x]的增大而增大;當[k<0]時，[y]隨[x]的增大而減小. 教師利用幾何畫板軟件進行驗證，如圖4和圖5所示.

追問：對于正比例函數(shù)[y=2x]和[y=4x]，隨著x值的增大，[y]的值都增大了，哪一個增加得更快？你能解釋其中的道理嗎？對于正比例函數(shù)[y=-12x]和[y=][-4x]呢？

在幾何畫板軟件上觀察圖4和圖5的變化過程，發(fā)現(xiàn)：當[k>0]時，[k]的值越大，直線越陡;當[k<0]時，[k]的值越小，直線越陡. 因此，歸納出正比例函數(shù)的函數(shù)值增減速度與[k]的絕對值有關(guān)：[k]的絕對值越大，[y]的變化速度越快;[k]的絕對值越小，[y]的變化速度越慢.

【設計意圖】以上“利用數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)正比例函數(shù)圖象性質(zhì)”的方法也為后續(xù)研究反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)提供了可操作的思路.

環(huán)節(jié)4：初步應用，鞏固知識.

【設計意圖】通過以上練習考查學生對正比例函數(shù)性質(zhì)的掌握情況.

環(huán)節(jié)5：課堂小結(jié)，呈現(xiàn)研究路徑.

師生總結(jié)本節(jié)課的研究框架圖，如圖7所示.

【設計意圖】呈現(xiàn)整節(jié)課對正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究路徑，為后續(xù)學習一次函數(shù)及其他函數(shù)的圖象和性質(zhì)提供借鑒.

環(huán)節(jié)6：目標檢測，評價課堂效果.

（1）對于正比例函數(shù)[y=3x，] 當自變量x的值增加1時，y的值增加? ? ? .

【設計意圖】考查學生對“正比例函數(shù)中，x的值等距增長時，y的值等距增長或減小”的規(guī)律的掌握情況.

（2）用“兩點法”畫出正比例函數(shù)[y=32x]的圖象.

【設計意圖】考查學生用“兩點法”畫正比例函數(shù)圖象的能力.

（3）若正比例函數(shù)[y=mx]（m是常數(shù)，[m≠0]）的圖象經(jīng)過點[Am，4，] 且y的值隨x值的增大而減小，則m的值等于（? ? ）.

（A）2? ? （B）-2? ? （C）4? ? （D）-4

（4）已知點[Ax1，y1，Bx2，y2]都在正比例函數(shù)[y=kx]的圖象上，若[k<0，] 且[x1]<[x2，] 則[y1]? ? [y2].（填“[>]”“[<]”或“[=]”）

【設計意圖】考查學生對正比例函數(shù)性質(zhì)的掌握情況.

六、教學反思

一次函數(shù)是學生在初中階段研究的第一類函數(shù)，研究經(jīng)驗的積累和總結(jié)非常重要. 將合理有效的研究方式遷移到其他函數(shù)的學習中是一種重要的能力，這種能力的形成體現(xiàn)在如下幾個方面.

1. 構(gòu)建函數(shù)的研究思路

面對一個新的函數(shù)，對其性質(zhì)進行研究是把握函數(shù)本質(zhì)的關(guān)鍵，函數(shù)圖象則是探索和發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的工具和手段. 從圖象的特征出發(fā)探索得到函數(shù)的性質(zhì)，體會正比例函數(shù)的變化規(guī)律. 例如，學生在學習正比例函數(shù)中圖象上的點從左到右的變化趨勢，能夠發(fā)現(xiàn)圖象的增減性;根據(jù)變化趨勢相同時，圖象的陡和緩對函數(shù)值變化速度的影響，發(fā)現(xiàn)[k]對函數(shù)性質(zhì)的影響，等等. 究其本質(zhì)，是對函數(shù)性質(zhì)的研究，以及性質(zhì)與解析式中系數(shù)的關(guān)系的研究. 盡管函數(shù)不同，但是思考方式都是類似的，主動用這樣的思路去研究一個新的對象是一種重要的能力.

2. 在“數(shù)”和“形”之間轉(zhuǎn)換

數(shù)形結(jié)合思想是重要的函數(shù)研究思想. 在畫函數(shù)圖象的過程中要注意分析解析式. 例如，本節(jié)課中，學生通過計算觀察解析式[y=2x]和[y=-3x]中y隨x的變化情況，從而對函數(shù)圖象有大致的判斷. 而在觀察函數(shù)圖象、歸納函數(shù)性質(zhì)的過程中，要重視對函數(shù)特征的代數(shù)表達，引導學生發(fā)現(xiàn)x變化時y的變化特征，發(fā)現(xiàn)“當x等距增長時，y也等距增長（減小）”. 再從“形”的角度研究，運用描點法發(fā)現(xiàn)“正比例函數(shù)的圖象是一條直線”，提出畫正比例函數(shù)圖象的簡便方法——兩點法. 以上操作是在“數(shù)”和“形”之間的自如轉(zhuǎn)換，同時讓學生體驗從具體到抽象、從特殊到一般的思想.

3. 嘗試對一個新的研究對象展開研究

在研究一次函數(shù)之后，教師應該及時引導學生遷移研究經(jīng)驗，為學生設計合適的學習材料，回顧、總結(jié)、提煉研究方法，為后續(xù)反比例函數(shù)和二次函數(shù)的學習做好鋪墊，讓數(shù)學學習能力切實得到提升.

參考文獻：

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