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基于一道中考?jí)狠S題的“一課一題”教學(xué)微設(shè)計(jì)與思考

2020-09-10 07:22徐偉建李云萍
關(guān)鍵詞:中考試題教學(xué)設(shè)計(jì)

徐偉建 李云萍

摘? 要:“一課一題”具有切口小、針對(duì)性強(qiáng)的特點(diǎn),是深受師生喜愛的小專題復(fù)習(xí)課型. 文章以一道中考?jí)狠S題為載體,從不同的提問角度設(shè)計(jì)案例,展示“一課一題”的設(shè)計(jì)思路與方法,體現(xiàn)系統(tǒng)架構(gòu)、整體設(shè)計(jì)、拾級(jí)而上的教學(xué)理念,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展.

關(guān)鍵詞:中考試題;一課一題;教學(xué)設(shè)計(jì)

筆者曾在一次名師工作室開展的“一課一題”教學(xué)研討活動(dòng)中,要求教師根據(jù)所給的一道中考?jí)狠S題,以“一課一題”的形式進(jìn)行教學(xué)微設(shè)計(jì). 大家在剖析試題立意,挖掘問題內(nèi)涵,架構(gòu)知識(shí)體系上下工夫,設(shè)計(jì)出多個(gè)“一課一題”教學(xué)微案例,現(xiàn)做整理,供大家研討參考.

一、試題呈現(xiàn)

題目 (2017年湖南·懷化卷)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線[y=ax2+bx-5]與x軸交于[A-1,0,] [B5,0]兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn),且以B,C,D為頂點(diǎn)的三角形與[△ABC]相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)如圖2,[CE∥Ox]與拋物線相交于點(diǎn)E,點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)H且與y軸平行的直線與BC,CE分別相交于點(diǎn)F,G,試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形CHEF的面積最大,求點(diǎn)H的坐標(biāo)及最大面積;

(4)若點(diǎn)K為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)[M4,m]是該拋物線上的一點(diǎn),在x軸,y軸上分別找點(diǎn)P,Q,使四邊形PQKM的周長(zhǎng)最小,求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo).

【評(píng)析】該題的4道小題分別是:求二次函數(shù)表達(dá)式;特征幾何圖形(相似三角形)存在性;動(dòng)態(tài)四邊形面積的最大值;利用“將軍飲馬”模型求四邊形周長(zhǎng)的最小值. 除了第(1)小題較為基礎(chǔ),第(2)(3)(4)小題層層遞進(jìn),且都有一定的綜合性,蘊(yùn)涵著眾多數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法,對(duì)一般學(xué)生而言并非一蹴而就.

本文基于對(duì)學(xué)情的分析,以題目的4道小題為切入點(diǎn),依據(jù)“系統(tǒng)架構(gòu)、整體設(shè)計(jì)、拾級(jí)而上”的思路,設(shè)計(jì)出以下“一課一題”教學(xué)微設(shè)計(jì)案例,運(yùn)用于二次函數(shù)小專題復(fù)習(xí).

二、設(shè)計(jì)案例

案例1:從梳理二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì).

原題第(1)小題是求拋物線的函數(shù)表達(dá)式,屬于二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí). 眾所周知,二次函數(shù)的性質(zhì)豐富、運(yùn)用廣泛. 因此,將二次函數(shù)的重要性質(zhì)與思想方法進(jìn)行系統(tǒng)梳理,并融入該拋物線背景中,可以設(shè)計(jì)二次函數(shù)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)課.

如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線[y=ax2+][bx-5]與x軸交于[A-1,0,B5,0]兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.

問題1:求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

問題2:結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的幾條性質(zhì).

【評(píng)析】問題2屬于開放式設(shè)計(jì),“以題帶點(diǎn)”讓學(xué)生自主梳理二次函數(shù)的基本性質(zhì),如開口方向、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值、增減性、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等性質(zhì),最后師生歸納小結(jié).

問題3:若拋物線的圖象上有三點(diǎn)[-2,y1,] [1,y2,][4,y3,] 則[y1,y2,y3]的大小關(guān)系為? ? ? .

問題4:拋物線變換.

(1)將拋物線[y=x2-4x-5]向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是? ? ? ;

(2)將拋物線先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線[y=x2-4x-5,] 則原拋物線的函數(shù)表達(dá)式是? ? ? ;

(3)將拋物線[y=x2-4x-5]繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)[180°]后,得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是? ? ? ;

(4)將拋物線[y=x2-4x-5]沿直線[y=-3]作軸對(duì)稱變換后,得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是? ? ? ;

(5)將拋物線[y=x2-4x-5]沿直線[x=1]作軸對(duì)稱變換后,得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是? ? ? .

【評(píng)析】問題3回顧了二次函數(shù)中函數(shù)值大小比較的常用方法——軸對(duì)稱變換法、代入法. 問題4系統(tǒng)梳理了二次函數(shù)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的圖象變換,最后提煉方法,當(dāng)拋物線形狀不變時(shí),只關(guān)注拋物線頂點(diǎn)與開口方向的變化.

問題5:函數(shù)與方程.

如圖3,根據(jù)函數(shù)圖象,回答以下問題.

(1)在拋物線的圖象上找到方程[x2-4x-5=][0][的解;]

(2)在拋物線的圖象上找到方程[x2-4x-5=][-3]的近似解;

(3)在拋物線的圖象上找到方程[x2-4x-7=0]的近似解.

解析:(1)略;(2)找到該拋物線與直線[y=-3]的交點(diǎn)的橫坐標(biāo);(3)將方程變形為[x2-4x-][5=2,] 再找到該拋物線與直線[y=2]的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),如圖4所示.

問題6:函數(shù)與不等式.

如圖3,根據(jù)函數(shù)圖象,回答以下問題.

(1)不等式[x2-4x-5>0]的解集是? ? ? ;

(2)不等式[x2-4x-5≤0]的解集是? ? ? ;

(3)不等式[x2-4x-3>0]的解集是? ? ? .

問題7:函數(shù)值的大小比較.

如圖3,已知二次函數(shù)[y1=x2-4x-5,] 直線BC的解析式為[y2=x-5].

(1)當(dāng)x? ? ? 時(shí),[y1=y2;]

(2)當(dāng)x? ? ? 時(shí),[y1≥y2;]

(3)當(dāng)x? ? ? 時(shí),[y1<y2.]

【評(píng)析】二次函數(shù)集中體現(xiàn)了數(shù)與形的高度統(tǒng)一.同時(shí),二次函數(shù)與方程、不等式等數(shù)學(xué)模型又相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)換,這是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 問題5 ~ 問題7梳理了二次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系,每個(gè)問題又設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的小問題,問題層層深入,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、實(shí)踐、操作、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),體會(huì)到“形”的直觀與便捷,直指學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的深刻理解與熟練運(yùn)用.

案例2:從特征幾何圖形的存在性設(shè)計(jì)問題.

原題第(2)小題是拋物線背景下相似三角形的存在性問題,類似問題在二次函數(shù)中廣泛存在. 為此,以該拋物線為背景,系統(tǒng)梳理此類問題,達(dá)到整體架構(gòu)的目的.

如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線[y=ax2+][bx-5]與x軸交于[A-1,0,] [B5,0]兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C. 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

解:由題意,得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為[y=x2-][4x-5.] 可得點(diǎn)[C0,-5,BC=52.]

問題1:若點(diǎn)P是y軸上的一點(diǎn),是否存在以點(diǎn)B,C,P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

解:如圖6,當(dāng)以BC為腰時(shí),易得點(diǎn)[P10,52-5,] [P20,-52-5,] [P30,5.]

當(dāng)以BC為底邊時(shí),易求得點(diǎn)[P40,0.]

綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為[0,52-5]或[0,-52-5]或[0,5]或[0,0].

問題2:若點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn),使以點(diǎn)B,C,P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,試直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:如圖7,點(diǎn)P除了問題1中的位置外,還在x軸上存在,易得點(diǎn)[P55+52,0,P65-52,0,][P7-5,0.]

綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為[0,52-5]或[0,-52-5]或[0,5]或[0,0]或[5+52,0]或[5-52,0]或[-5,0.]

問題3:若B,C兩點(diǎn)不變,能否再找一條直線,在該直線上找到一點(diǎn)P,使以點(diǎn)B,C,P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

問題4:類比以上問題,試提出一個(gè)問題,使以點(diǎn)P,A,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.

【評(píng)析】以上4個(gè)問題都是關(guān)于該拋物線背景下等腰三角形的存在性問題,問題由淺入深,層層遞進(jìn),系統(tǒng)梳理了拋物線中關(guān)于等腰三角形的存在性問題. 其中,問題3和問題4采用開放式設(shè)計(jì),既激活了學(xué)生的思維,又體現(xiàn)了類比思想方法的遷移運(yùn)用.

問題5:如圖8,若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)B,C,P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:易求得直線BC的解析式為[y=x-5.]

當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí),過點(diǎn)B且與直線BC垂直的直線解析式為[y=-x+5,] 該直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為[P12,3.]

當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí),同理,可得點(diǎn)[P22,-7.]

當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖9,構(gòu)造“K字型”相似三角形,過點(diǎn)P作x軸的平行線,交y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作[BE∥Oy,] 交DP于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)[P2,t,] 根據(jù)[△BEP∽△PDC,] 可得[2t=][t+53.] 解得[t1=1,t2=-6.] 所以點(diǎn)[P32,1,P42,-6.]

【評(píng)析】問題5是探究拋物線背景下直角三角形存在性問題,通常采用解析法或構(gòu)造相似三角形列出方程,滲透了分類討論、方程、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法. 該問題還可以進(jìn)一步變式. 例如,在拋物線上找到一點(diǎn)P,使得B,C,P三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形.

問題6:若點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在x軸上,當(dāng)以點(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:如圖10,當(dāng)以BC為邊時(shí),向左平移線段BC,分別交拋物線和x軸于點(diǎn)[P1,Q1,] 過點(diǎn)[P1]作[P1T⊥Ox]于點(diǎn)T,易證[△Q1TP1≌△BOC.] 易得點(diǎn)[P1]的縱坐標(biāo)為5. 所以點(diǎn)[P12-14,5,] 同理,可以求出點(diǎn)[P22+14,5,] [P34,-5.]

如圖11,當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí),易求得點(diǎn)[P4]與點(diǎn)[P3]重合,即[P44,-5.]

問題7:若點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上,當(dāng)以點(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:如圖12,當(dāng)以BC為邊時(shí),易求得點(diǎn)[P1-3,16,] [P27,16.]

如圖13,當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí),易求得點(diǎn)[P33,-8.]

綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為[-3,16]或[7,16]或[3,-8.]

【評(píng)析】問題6和問題7是在該拋物線背景中,系統(tǒng)羅列了平行四邊形存在性的常見類型. 其解法是運(yùn)用圖形性質(zhì),將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為全等直角三角形,建立方程求解,滲透數(shù)形結(jié)合、化歸、方程等思想方法.

問題8:若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn),且以B,C,D為頂點(diǎn)的三角形與[△ABC]相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

解:如圖14,根據(jù)[∠OBC=∠OCB=45°,] 分兩種情況討論.

當(dāng)[△ABC∽△DCB]時(shí),得[ABDC=CBBC.] 因?yàn)閇CD=AB=6,] 易求得點(diǎn)[D10,1.]

當(dāng)[△ABC∽△BCD]時(shí),得[ABBC=CBDC,] 即[652=52CD.] 所以[CD=253.] 所以點(diǎn)[D20, 103.]

綜上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為[0,1]或[0, 103.]

【評(píng)析】通過設(shè)計(jì)問題1 ~ 問題8,依托同一問題背景,將平時(shí)學(xué)習(xí)中割裂的、零散的有關(guān)拋物線背景中特征幾何圖形的存在性問題進(jìn)行有效鏈接、系統(tǒng)梳理、整體架構(gòu),促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí),達(dá)到由此及彼、融會(huì)貫通的目的.

案例3:利用圖形面積設(shè)計(jì)問題.

原題第(3)小題考查的是動(dòng)態(tài)四邊形面積,動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)問題往往是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一. 我們從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、特殊到一般、三角形到四邊的設(shè)計(jì)思路出發(fā),為學(xué)生的思維與推理搭建“腳手架”,促進(jìn)學(xué)生高認(rèn)知水平和能力的發(fā)展.

如圖15,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線[y=ax2+bx-][5]與x軸交于[A-1,0,B5,0]兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.

問題1:求[△ABC]的面積.

問題2:點(diǎn)M在拋物線上,求滿足條件[S△ABC=S△ABM]的點(diǎn)M的坐標(biāo)(點(diǎn)M異于點(diǎn)C).

解:如圖16,運(yùn)用三角形等積變換,同底等高的三角形面積相等,易求得[M14,-5,M22-14,5,][M32+14,5.]

【評(píng)析】問題1和問題2均為靜態(tài)三角形的面積問題,以低起點(diǎn)的問題調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,為后續(xù)探究打好基礎(chǔ).

問題3:如圖17,若點(diǎn)H是直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為t,連接BH,CH.

(1)求[△BCH]的面積;

(2)當(dāng)[△BCH]的面積最大時(shí),求點(diǎn)H的坐標(biāo);

(3)若[S△BCH∶S△ABC=2∶3],求點(diǎn)H的坐標(biāo).

解:(1)求[△BCH]的面積,可采用分割法.

方法1:水平分割,過點(diǎn)C作x軸的平行線,將[△BCH]分割為兩個(gè)水平放置的三角形.

方法2:豎直分割,過點(diǎn)H作y軸的平行線,將[△BCH]分割為兩個(gè)豎直放置的三角形. 容易求得[S△BCH=][-52t2+252t 0<t<5.]

(2)略;(3)略.

【評(píng)析】該題是關(guān)于“一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的動(dòng)態(tài)三角形面積,相比問題1,思維含量明顯提升. 問題3第(1)小題求[△BCH]的面積是關(guān)鍵,可以采用多種方法,而分割法尤其重要. 教師需講清怎樣分割,為什么要這樣分割,既滲透化歸思想方法(將問題3轉(zhuǎn)化為問題1的形式),又順勢(shì)推出求斜三角形的面積公式,即[S=12×水平寬×鉛直高.]

問題4:如圖18,[CE∥Ox]與拋物線相交于點(diǎn)E,點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為t,過點(diǎn)H且與y軸平行的直線與BC,CE分別交于點(diǎn)F,G,如何求四邊形CHEF的面積?你有幾種求法?

解:求四邊形面積有以下3種方法.

方法1:水平分割,將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為[△CEF]與[△CEH]的面積之和. 由已知可得點(diǎn)[Ht,t2-4t-5,] [CE=4,] 直線BC的解析式為[y=x-5],則點(diǎn)[Ft,t-5.] 易求得[S四邊形CHEF=][-2t-522+252.]

方法2:豎直分割,將四邊形面積轉(zhuǎn)化為[△FHC]與[△FHE]的面積之和. 過程略.

方法3:利用對(duì)角線互相垂直四邊形的面積公式[S四邊形CHEF=12CE ? HF]求解. 過程略.

問題5:當(dāng)四邊形CHEF的面積最大時(shí),求點(diǎn)H的坐標(biāo)及最大面積.

解:當(dāng)[t=52]時(shí),四邊形CHEF的面積最大,最大值為[252.] 此時(shí)點(diǎn)[H52,-354.]

【評(píng)析】問題4是求由“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)”構(gòu)成的動(dòng)態(tài)四邊形面積,問題更加復(fù)雜. 但在問題3解法的正向遷移下,學(xué)生不難想到采用水平或豎直分割的方法(此處分割線已存在),可將四邊形面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積之和,起到化生為熟、化難為易的目的.

案例4:借助數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)問題.

原題第(4)小題是根據(jù)確定的兩個(gè)點(diǎn),即頂點(diǎn)[K2,-9]和點(diǎn)[M4,-5],在坐標(biāo)軸上分別找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,Q,求四邊形PQKM周長(zhǎng)的最小值. 該問題是運(yùn)用“將軍飲馬”模型,分別將點(diǎn)M,K以x軸,y軸進(jìn)行軸對(duì)稱變換,采用“化曲為直”的求解方法. 第(4)小題綜合性強(qiáng),多數(shù)學(xué)生會(huì)“望題生畏”. 為此,可以以“將軍飲馬”模型的基礎(chǔ)運(yùn)用為切入點(diǎn),從易到難、從簡(jiǎn)到繁進(jìn)行設(shè)計(jì),攻克學(xué)習(xí)難點(diǎn).

已知,如圖19,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線[y=x2-4x-5]的頂點(diǎn)為K,點(diǎn)[M4,m]是該拋物線上的一點(diǎn).

問題1:在x軸上找一點(diǎn)P,使得[PK]與[PM]的和最小. 求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:如圖20,作點(diǎn)K關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)[K,] 連接[KM,] 當(dāng)點(diǎn)P為[KM]與x軸的交點(diǎn)時(shí),[PK]與[PM]的和最小. 由題意,得點(diǎn)[K2,-9,] [M4,-5,] 通過解析法易求得點(diǎn)P[237,0.]

問題2:在y軸上找一點(diǎn)Q,使得[QK]與[QM]的和最小. 求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解:如圖21,作點(diǎn)K關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)[K,] 連接[KM,] 當(dāng)點(diǎn)Q為[KM]與y軸的交點(diǎn)時(shí),[QK]與[QM]的和最小. 由題意,得點(diǎn)[K2,-9,] [M4,-5,] 通過解析法易求得點(diǎn)Q[0,-233.]

問題3:觀察圖19,你能另外再找兩個(gè)點(diǎn)和一條直線(水平或豎直),設(shè)計(jì)一個(gè)類似問題嗎?

【評(píng)析】將模型的基礎(chǔ)運(yùn)用作為設(shè)計(jì)起點(diǎn),符合初中生的心理特征與認(rèn)知規(guī)律. 問題1和問題2既有在水平線上找點(diǎn),也有在豎直線上找點(diǎn),是該模型在拋物線背景中運(yùn)用的常見類型. 問題3運(yùn)用開放式設(shè)計(jì),讓學(xué)生自己提出問題、解決問題. 實(shí)踐表明,學(xué)生思維活躍,探究欲強(qiáng),方法靈活多樣. 例如,“K,M兩點(diǎn)”不變,“線”改變,或“兩點(diǎn)”改變,“線”不變,或“點(diǎn)”與“線”同時(shí)改變. 通過以上三個(gè)問題的解決,學(xué)生熟練掌握該模型在坐標(biāo)平面內(nèi)的基礎(chǔ)運(yùn)用,為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊.

問題4:在x軸上找一點(diǎn)P,使得[△PMK]的周長(zhǎng)最小. 求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【評(píng)析】[△PMK]的周長(zhǎng)等于[PM+PK+KM.] 因?yàn)镵M長(zhǎng)為定值,所以[△PMK]的周長(zhǎng)最小時(shí)就是[PM+PK]的值最小. 這就自然轉(zhuǎn)化到問題1,體現(xiàn)了化歸數(shù)學(xué)思想方法.

問題5:在x軸和y軸上,分別找點(diǎn)P,Q,使四邊形PQKM的周長(zhǎng)最小,求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo).

解:如圖22,先利用軸對(duì)稱變換找到點(diǎn)P,Q的位置,再分別求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo),點(diǎn)[P137,0,] 點(diǎn)[Q0,-133.]

該問題有一個(gè)疑惑,若“作點(diǎn)K關(guān)于x軸、點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)”,這樣可以嗎?這需要給學(xué)生解釋不可以的理由.

問題6:你還能提出一個(gè)類似的求四邊形周長(zhǎng)最小值的問題嗎?

【評(píng)析】以三角形周長(zhǎng)最小值為鋪墊,再求四邊形周長(zhǎng)的最小值,為學(xué)生鋪設(shè)臺(tái)階,拾級(jí)而上,有助于學(xué)生自主探究,掌握方法,攻克難點(diǎn). 問題6采用開放式設(shè)計(jì),既突出學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生自己提出問題、解決問題,也順勢(shì)遷移,達(dá)到及時(shí)鞏固的目的. 以上系列問題的層次逐漸提升,但萬變不離其宗,都是運(yùn)用軸對(duì)稱變換,化曲為直,將問題解決回歸到“兩點(diǎn)之間,線段最短”的基本原理上去,給學(xué)生豁然開朗的學(xué)習(xí)愉悅感,有助于學(xué)生消除畏難情緒,樹立學(xué)習(xí)信心.

三、思考

1. 題干是設(shè)計(jì)“一課一題”的“根”

有教師曾問,“一課一題”與通常的變式教學(xué)有什么區(qū)別?“一課一題”設(shè)計(jì)思路是什么?筆者淺見,認(rèn)為“一題”即指問題的題干不變,依托同一個(gè)問題背景或情境,從某些重要的知識(shí)、方法或模型運(yùn)用等為切入點(diǎn),將平時(shí)學(xué)習(xí)中割裂的、碎片化的知識(shí)有效連接起來,系統(tǒng)架構(gòu),整體設(shè)計(jì)“一課”,使學(xué)生由此及彼,達(dá)到知識(shí)與方法的融會(huì)貫通. 顯然,問題題干是設(shè)計(jì)“一課一題”的“根”,“一課一題”的設(shè)計(jì)具有更強(qiáng)的針對(duì)性,是具有更高要求的專題變式教學(xué)設(shè)計(jì). 例如,本文四個(gè)案例均以拋物線[y=x2-4x-5]為“根”,以原題為切入點(diǎn),將二次函數(shù)的基本性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想方法,特征幾何圖形的存在性,三角形、四邊形的面積計(jì)算,“將軍飲馬”模型運(yùn)用等融入同一個(gè)拋物線背景中,對(duì)知識(shí)與方法進(jìn)行系統(tǒng)整合,給人以變式自如、結(jié)構(gòu)緊湊、渾然一體之美感,彰顯“一課一題”的魅力.

2. 系統(tǒng)架構(gòu)是“一課一題”的“徑”

如果在教學(xué)設(shè)計(jì)中能夠強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)地、整體地、聯(lián)系地看待問題,把握好整體性,那么教師在教學(xué)中就能夠?qū)?nèi)容的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)了如指掌,心中有一張“網(wǎng)絡(luò)圖”,從而把握教學(xué)的方向,使教學(xué)有的放矢. 也只有這樣,才能使學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)化的、聯(lián)系緊密的、遷移能力強(qiáng)的知識(shí). 例如,案例2中關(guān)于二次函數(shù)中特征幾何圖形的存在性問題,在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中反復(fù)出現(xiàn),在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),教師可以細(xì)細(xì)梳理,并做如下思考:主要有哪幾類常見圖形?它們以何種方式存在?解決問題的思想方法是什么?這樣系統(tǒng)地思考,我們就有了“一課一題”設(shè)計(jì)的路“徑”,可以圍繞題干,采用橫向拓展、縱向延伸的策略,系統(tǒng)架構(gòu),整體呈現(xiàn),指向?qū)W生的深度學(xué)習(xí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 揭示本質(zhì)是“一課一題”的“魂”

授人以魚,不如授人以漁.“一課一題”的設(shè)計(jì)其實(shí)質(zhì)就是通過這一課的學(xué)習(xí),要讓學(xué)生探究出一類問題的本質(zhì)規(guī)律,掌握解題的本質(zhì)方法,實(shí)現(xiàn)思想方法的歸一,讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地. 為此,在教學(xué)環(huán)節(jié)或者課堂小結(jié)中,教師要適時(shí)讓學(xué)生自主提煉(或師生共同提煉),并感悟解決問題的思想方法,這樣學(xué)生才能舉一反三、遷移運(yùn)用、融會(huì)貫通. 例如,案例2中幾何圖形的存在性,滲透了分類討論思想,為此,就需要學(xué)生提煉并感悟到:分幾類?如何分類?為什么要這樣分類?同時(shí),在直角三角形和平行四邊形的存在性問題中,還需要揭示出“如何將圖形化歸到相似(全等)直角三角形,并建立方程”,深刻領(lǐng)悟化歸、方程等數(shù)學(xué)思想方法. 案例4中關(guān)于“將軍飲馬”模型的運(yùn)用,雖然問題多變,但萬變不離其宗,其本質(zhì)都是運(yùn)用軸對(duì)稱變換“化曲為直”,將問題解決回歸到“兩點(diǎn)之間,線段最短”的基本原理. 史寧中教授曾說:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)思想方法的具體體現(xiàn). 加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng),就需要我們?cè)诮忸}過后,適時(shí)提煉數(shù)學(xué)思想方法,這就是“一課一題”的“魂”之所在.

“一課一題”具有切口小、內(nèi)容精、方法準(zhǔn)的特點(diǎn),廣受師生喜愛,是一種行之有效的小專題復(fù)習(xí)課類型. 加強(qiáng)“一課一題”的教學(xué)設(shè)計(jì)與研究,既能使學(xué)生將所學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)化、體系化,促進(jìn)知識(shí)方法的聯(lián)通與融合,也有助于教師更好地把握教材體系,提升教師的教學(xué)設(shè)計(jì)能力,促進(jìn)教師的專業(yè)成長(zhǎng).

參考文獻(xiàn):

[1]章建躍. 從整體性上把握好數(shù)學(xué)內(nèi)容[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2010(3):封底.

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