福建省廈門第一中學(361003) 黃昌毅

向量是近代數(shù)學中重要和基本的概念之一,向量既是代數(shù)研究對象也是幾何研究對象,是溝通幾何和代數(shù)的橋梁.兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,向量的數(shù)量積是連接向量與數(shù)量的橋梁,而利用向量數(shù)量積的幾何意義是求解兩向量數(shù)量積的常用方法.

1 向量數(shù)量積幾何意義

人教A 版高中數(shù)學必修四教材第105 頁提出:

由向量投影的定義,我們可以得到a·b的幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的長度|a| 與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積[1],其中θ為a與b夾角.

圖1

圖2

向量數(shù)量積的幾何意義將兩向量的數(shù)量積轉化為兩線段長度之積,把向量問題數(shù)量化.柴化安老師在文[2]中給出了一系列利用數(shù)量積幾何意義求解向量數(shù)量積的方法,都是將兩向量的數(shù)量積轉化為兩個數(shù)量的乘積,那么在實際應用中能否將兩個數(shù)量的乘積轉化為向量之積來破解問題呢?

2 逆用數(shù)量積幾何意義

題1(圓冪定理) 過任意一點P向圓O引一直線,交圓于A、B點(若A、B重合則為切線),圓O半徑為r,證明:PA·PB=|PO2-r2|.

證明如圖3,連接直線BO交圓O于C點,則有AC⊥AB,

圖3

評注若用平幾知識證明或是建系方法代數(shù)運算,難度較大,計算復雜,但若能將兩線段長度之積轉化為兩向量之積,將數(shù)量運算轉化為向量運算,借助向量運算性質,就能快速解決該問題.

題2(2014年大慶中學高一月考)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4,直線l1過定點A(1,0).

(1)若l1與圓相切,求l1的方程;

(2)若l1與圓相交于P,Q兩點,線段PQ的中點為M,又l1與l2:x+2y+2=0 的交點為N,判斷AM·AN是否為定值,若是,則求出定值;若不是,請說明理由.

解析(1)略;

(2)如圖4,M為PQ的中點,則有CM⊥PQ,所以

設N(x0,y0),則有x0+2y0+2=0,則

評注本題常規(guī)方法是假設直線l1,通過聯(lián)立方程求得點M、N坐標,最后代入化簡求得AM·AN=6,計算過程繁瑣復雜,難度大,若能抓住CM⊥PQ,逆用數(shù)量積幾何意義,轉化利用點N在l2:x+2y+2=0,則可以快速化簡,求出定值,解答過程簡潔,計算簡單.

圖4

圖5

題3(2015年河北唐山一中高三期中) 已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=2 經(jīng)過橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點F和上頂點B.

(1)求橢圓Γ 的方程;

(2)如圖5,過原點O的射線l與橢圓Γ 在第一象限的交點為Q與圓C的交點為P,M為OP的中點,求的最大值.

解析(1)橢圓Γ:

(2)M為OP的中點,則有CM⊥OQ,所以

其中sinφ=所以的最大值為此時

評注本題若用代數(shù)法假設直線OP斜率k,通過聯(lián)立方程求得P、Q點坐標,得到

然后借助函數(shù)導數(shù)求得最大值,聯(lián)立方程求交點坐標過程繁瑣,求函數(shù)最大值難度較大,若能抓住CM⊥OQ,逆用數(shù)量積幾何意義,轉化利用橢圓參數(shù)方程,則可以快速求得最大值,過程簡潔,計算簡單.

圖6

題4(2017年高考浙江卷第21 題)如圖6,已知拋物線x2=y,點拋物線上的點過點B作直線AP的垂線,垂足為Q.

(1)求直線AP斜率的取值范圍;

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

解析(1)略;

(2)依題意得BQ⊥AP,則有

令f′(x)＞0 解得＜x＜1,令f′(x)＜0 解得所以f(x) 在上遞增,在上遞減,所以fmax(x)=f(1)=

綜上,|PA|·|PQ|的最大值為此時P(1,1).

評注命題者本意是通過假設直線AP的斜率為k,通過聯(lián)立方程得到點P及點Q的坐標,利用弦長公式得到|PA|·|PQ|=f(k)=-(k-1)(k+1)3,利用第(1)問的結果求得函數(shù)最大值,這種方法計算繁瑣,過程復雜,耗時耗力;若能逆用數(shù)量積幾何意義,將數(shù)量|PA|·|PQ|轉化為向量避開聯(lián)立方程求P、Q坐標,快速得到|PA|·|PQ|的表達式,從而求出最大值.

3 反思

向量數(shù)量積的幾何意義關鍵在于投影,而投影的關鍵在于垂直,尋找圖形中的垂直關系是解決這類問題的關鍵.

利用向量數(shù)量積的幾何意義,求解向量數(shù)量積問題,是教師在教學中講解的重點,但逆用數(shù)量積幾何意義,教師卻很少提及,數(shù)量與向量間的相互轉化就是代數(shù)與幾何之間的轉化.平常教學中,對于公式、恒等式教學,教師應當多思考、多關注公式、恒等式的逆用.