張海琛，佟麗莉，王麗君，沈羿充，劉浩

哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

海洋立管是指用于連接水面浮體和海床井口的隔水套管系統(tǒng)，是深海生產(chǎn)系統(tǒng)中最復(fù)雜的一類設(shè)備。非粘結(jié)柔性立管是由柔性管發(fā)展而來的，是一種多層復(fù)合壁管，各層管壁采用不同的材料制成，且在承受外部或內(nèi)部載荷時(shí)，各層管壁相互間能夠發(fā)生輕微的滑動(dòng)，因此具有較低的彎曲剛度。因?yàn)槿嵝粤⒐芫哂许槕?yīng)性強(qiáng)、便于安裝與回收、設(shè)計(jì)空間很大等優(yōu)點(diǎn)，在深海中得到了廣泛的應(yīng)用。非粘結(jié)柔性立管常由多層不同的結(jié)構(gòu)組成[1?2]。柔性立管所處的環(huán)境復(fù)雜，需要對于柔性管在各種荷載作用下進(jìn)行分析研究，以保證立管的安全可靠。

針對柔性立管的截面靜力分析，國內(nèi)外學(xué)者展開了大量的研究。Felippe 等[3]和Chung 等[4]利用可以產(chǎn)生軸向變形、彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形的三維梁單元來模擬管道模型，分析得出了海洋立管靜態(tài)下的非線性平行構(gòu)型方程。Witz 等[5]和Tan等[6]推導(dǎo)出了柔性管在彎曲荷載下的臨界曲率以及螺旋條帶的曲率表達(dá)式，以及柔性立管在未滑移階段和完全滑移階段的彎曲剛度。任少飛等[7?8]、陸鈺天[9]和陳耕[10]根據(jù)最小勢能原理推導(dǎo)出多層柔性立管的整體剛度矩陣。Yoo 等[11]考慮了柔性立管的非線性特性，使用整體剛度矩陣，計(jì)算了柔性立管的抗拉剛度。董磊磊等[12]基于能量法推導(dǎo)出了柔性立管結(jié)構(gòu)分析模型。郭有松等[13]和陳希恰[14]基于靜力平衡、變形協(xié)調(diào)、本構(gòu)關(guān)系和層間接觸關(guān)系，推導(dǎo)出了柔性立管軸對稱響應(yīng)的理論模型。裴曉梅等[15]推導(dǎo)了柔性立管的整體抗拉剛度和抗扭剛度計(jì)算公式。

本文基于最小勢能原理推導(dǎo)出了柔性立管各層的剛度矩陣，并疊加得到整體剛度矩陣。使用罰函數(shù)的方法引入層間接觸，并建立接觸的剛度矩陣，加到整體剛度矩陣上得到考慮層間接觸的柔性立管整體剛度矩陣。然后使用該矩陣計(jì)算非粘結(jié)柔性立管在拉伸、內(nèi)壓以及扭轉(zhuǎn)作用下的變形響應(yīng)。并將結(jié)果與有限元軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。

1 理論模型

根據(jù)非粘結(jié)柔性立管在在軸對稱荷載作用下的力學(xué)性能研究，可以將將柔性管分為2 個(gè)基本構(gòu)件：圓柱層和螺旋層。螺旋層包括抗拉鎧裝層、抗壓鎧裝層、骨架層，其主要為金屬材料，為立管提供軸向和徑向剛度。圓柱層包括防磨層、防滲漏層等，主其要材質(zhì)為聚合物，為立管提供密閉性，減小層間摩擦損傷。各層之間采用非粘結(jié)的接觸方式連接。典型非粘結(jié)柔性立管結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 典型非粘結(jié)柔性立管結(jié)構(gòu)

為了便于推導(dǎo)，本文假設(shè)：

1)柔性管具有較大的軸向和徑向剛度，所以各層變形均為小變形；

2)模型中的材料視為線彈性且各向同性；

3)柔性管各層的軸向變換量和繞軸向扭轉(zhuǎn)角度相同。

1.1 螺旋層剛度矩陣

螺旋條帶在軸對稱荷載作用下可能發(fā)生軸向應(yīng)變、徑向應(yīng)變以及彎曲和扭轉(zhuǎn)變形[9]。

1.1.1 螺旋鎧裝層條帶的軸向和徑向應(yīng)變

抗拉鎧裝層以30°為主的角度纏繞而成，多為矩形截面，如圖2 所示。柔性立管長度為L；螺旋鎧裝層半徑為R；纏繞角度為 α。

圖2 螺旋鎧裝層

螺旋條帶的軸向應(yīng)變?yōu)閇7?10]

式中： μZ為立管螺旋層軸向位移； μR為徑向位移；μθ軸向扭轉(zhuǎn)角。

螺旋條帶的徑向應(yīng)變?yōu)?/p>

式中： ?t 為螺旋條帶厚度變化； t為螺旋條帶初始厚度。

根據(jù)彈性力學(xué)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

式中： σ1為 螺旋條帶軸向應(yīng)變； σ2為螺旋條帶徑向應(yīng)變； E 為螺旋條帶材料彈性模量； ν為螺旋條帶材料泊松比。

螺旋條帶在軸對稱荷載作用下的應(yīng)變能為

式中 v為螺旋條帶體積。

螺旋層在軸對稱荷載作用下的外力勢能為

式中： PI為 螺旋層受到的內(nèi)壓； PO為螺旋層受到的外壓； ?VI為螺旋層內(nèi)表面體積變化； ?VO為螺旋層外表面體積變化；F 為螺旋層受到的軸向拉力；T 為螺旋層受到的軸向扭矩。

1.1.2 螺旋層條帶的彎曲和扭轉(zhuǎn)

條帶局部彎曲和扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的應(yīng)變能為

式中： Ib為螺旋條帶截面對副法線向量方向的慣性矩， G為 螺旋條帶的剪切模量， J為螺旋條帶截面的極慣性矩。

螺旋層在軸對稱荷載作用下的總勢能為

1.2 圓柱層剛度矩陣

在小變形范圍內(nèi)，將聚合物材料視為線彈性且各向同性。對于聚合物圓柱殼采用厚壁理論分析。受力及變形圖如圖3 所示。

圖3 圓柱層受力及變形

由圖3 可知，圓柱層軸向應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?σ1、 ε1；徑向應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?σ2、 ε2；環(huán)向應(yīng) 力和應(yīng)變?yōu)?σ3、ε3； 剪切 應(yīng) 力和 應(yīng) 變?yōu)?τ12、 γ12；徑 向位 移為 μR。其中 ε1、 ε2、 ε3、 γ12為

彈性階段，平面應(yīng)變問題應(yīng)變和應(yīng)力分量之間的關(guān)系可表示為

圓柱層的外力勢能計(jì)算公式和螺旋層相同，應(yīng)變能可表示為

1.3 接觸附加矩陣

非粘結(jié)柔性立管在受力情況下，各層之間可能發(fā)生接觸或者分離，因此對其分析的過程中需要考慮層間接觸的影響。

在柔性立管中，根據(jù)幾何連續(xù)條件可得各相鄰層之間的空間幾何關(guān)系[7?10]：

文獻(xiàn)[9]將法向接觸條件引入柔性管的整體剛度矩陣。由約束變分原理可知，對于有附加條件的問題可以使用罰函數(shù)法將附加條件引入泛函，構(gòu)造一個(gè)新的泛函。附加泛函為

式中： j為柔性管的層數(shù)(一共為m 層)； ωju和 ωjP為第 j層的罰參數(shù)； μjRo為第 j層外表面的徑向位移；μ(j+1)RI為第 j+1層 內(nèi)表面的徑向位移； PjO為 第 j層外表面的外壓； P(j+1)I為第 j+1層內(nèi)表面的內(nèi)壓。在未接觸時(shí)， μjRO=μ(j+1)RI=0。

采用罰函數(shù)法將法向接觸條件引入泛函，可表示為

為方便計(jì)算，直接對式(1)取變分，并使其等于零?？梢缘玫饺嵝粤⒐芨鲗又g的接觸矩陣。矩陣階數(shù)與整體剛度矩陣相同，表示為 kcp，與整體剛度矩陣階數(shù)相同。

以常見8 層柔性立管結(jié)構(gòu)為例，其中骨架層和抗壓鎧裝層簡化為各向異性的殼，則剛度矩陣為18 階，接觸矩陣也為18 階。

1.4 建立剛度矩陣

柔性立管各層結(jié)構(gòu)的軸向變形和扭轉(zhuǎn)變形是相等的，因此m 層柔性立管共有2+2m 個(gè)自由度：

式中：X 表示自由度，上標(biāo)表示層號(hào)，下標(biāo)表示自由度類型。

整體剛度矩陣也應(yīng)為2+2m 階。將各層的剛度矩陣以自由度為依據(jù)，組合成自由狀態(tài)下的整體剛度矩陣k。最終考慮層間接觸的剛度矩陣為

式中 FZ、 PI、 PO、 N分別為軸向力、內(nèi)壓、外壓和扭矩。

2 有限元模型

2.1 立管基本參數(shù)

本文根據(jù)de Sousa[16]已發(fā)表的關(guān)于非粘結(jié)柔性立管的實(shí)驗(yàn)論文，在表1、2 給出了2.5 英寸柔性管各層幾何參數(shù)和材料參數(shù)。

表1 實(shí)驗(yàn)柔性立管幾何參數(shù)

表2 材料參數(shù)

2.2 模型與網(wǎng)格

使用三維建模軟件建立8 層柔性立管三維模型，導(dǎo)入ABAQUS 對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，使用C3D8R單元，如圖4 所示。層間接觸采用庫倫摩擦來模擬，摩擦系數(shù)取0.1。

圖4 柔性立管有限元模型

2.3 分析步和邊界條件

先定義一個(gè)很小的荷載的分析步，讓接觸關(guān)系平穩(wěn)地建立起來，然后在下一個(gè)分析步中再施加真實(shí)的荷載。這樣雖然分析步數(shù)目增多，但減小了收斂的困難，計(jì)算時(shí)間反而縮短[17]。采用ABAQUS/Explicit 準(zhǔn)靜態(tài)方法進(jìn)行計(jì)算，采用Smoot step 的加載方式[18]。

本文先在端部截面中心設(shè)置參考點(diǎn)，然后對截面上所有節(jié)點(diǎn)的自由度與參考點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)耦合。在一端參考點(diǎn)施加固定約束，另一端參考點(diǎn)施加拉伸或扭轉(zhuǎn)荷載[18]。

3 計(jì)算結(jié)果分析

3.1 罰參數(shù)計(jì)算

罰函數(shù)法在接觸問題中可以不增加問題的自由度，所以應(yīng)用較為廣泛。但是求解的精度與罰參數(shù)相關(guān)。圖5 為在純軸向拉伸作用下，軸向變形與罰參數(shù)w 之間的關(guān)系曲線。

圖5 罰參數(shù)對結(jié)果的影響

將結(jié)果與文獻(xiàn)[16]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比，可以發(fā)現(xiàn)，隨著罰參數(shù)的增大，計(jì)算結(jié)果越來越準(zhǔn)確；但是當(dāng)罰參數(shù)大于7 000 后，軸向伸長率出現(xiàn)了大幅度的變化，這就是由于罰參數(shù)過大造成了方程的病態(tài)。因此本文的罰參數(shù)的選擇在6 000～7 000。

3.2 拉伸工況

使用第1 節(jié)中的整體剛度矩陣Kc計(jì)算軸向拉力作用下立管的受力情況。700 kN 作用下各層的徑向變形值可從位移理論方法計(jì)算所得的變形向量中得到，結(jié)果見表3。對比各層內(nèi)外徑的徑向變形值，如第5 層外徑變化較第6 層內(nèi)徑變化大，可以推斷出層間發(fā)生了分離。從表中可以看出：第4 和第5 層、第6 和第7 層是相互接觸的；但是第5 和第6 層、第7 和第8 層發(fā)生了分離。

表3 700 kN 軸向拉力作用下各層受力情況

在純拉力作用下，柔性立管的伸長率與有限元模型計(jì)算結(jié)果如圖6 所示。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[16]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，誤差在10%以內(nèi)，且數(shù)值模型誤差更小。

圖6 軸向拉力與軸向伸長率關(guān)系曲線

由圖6 結(jié)合文獻(xiàn)[16]可以看出，立管的軸向變形隨著軸向力的增大線性增加，比較理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果，二者誤差為5%。將位移向量中的值代入各層的計(jì)算方程中，可以得到每一層所承受的軸向拉力值。表3 中給出了700 kN軸向拉力作用下的各層結(jié)構(gòu)所承受的軸向拉力值。從中可以看出，第5、6 層承擔(dān)了柔性立管軸向拉力的84%。由此可得非粘結(jié)柔性立管的軸線剛度主要由抗拉鎧裝層提供。在拉伸工況下，應(yīng)力較其他層大，圖7 為純拉伸作用下有限元計(jì)算方法得到的抗拉鎧裝層應(yīng)力圖。

圖7 700 kN 軸向拉力作用下螺旋鎧裝層應(yīng)力分布

3.3 扭轉(zhuǎn)工況

取內(nèi)抗拉鎧裝層纏繞方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。根據(jù)各層徑向變形值，同樣可以得到各層之間的接觸關(guān)系。表4 為柔性立管在7 kN·m 的扭矩作用下，第4～8 層的受扭矩情況。從表中可以看出，在立管發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)，抗拉鎧裝層承受扭矩的86%。

表4 7 kN·m 扭矩作用下各層承受扭矩情況

扭矩作用下的理論計(jì)算結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果對比如圖8 所示。

圖8 扭矩與扭轉(zhuǎn)角關(guān)系曲線

從圖中可以看出，柔性立管的扭轉(zhuǎn)角隨著扭矩的增大而線性增長。理論計(jì)算結(jié)果與無軸向約束的立管的數(shù)值模擬結(jié)果相差1.5%。而由于順時(shí)針扭矩產(chǎn)生的整體剛度減小現(xiàn)象，理論方法無法表現(xiàn)出來。

4 結(jié)論

本文依據(jù)柔性立管各層的結(jié)構(gòu)特性，建立了用于計(jì)算軸對稱荷載作用下柔性立管各層的剛度矩陣，并將其組裝得到自由狀態(tài)下的剛度矩陣。通過罰函數(shù)的方法將層間法向接觸引入立管整體矩陣，利用式(1)推導(dǎo)出接觸矩陣，并加到自由狀態(tài)下的剛度矩陣上，得到非粘結(jié)柔性立管的整體剛度矩陣。本文算例中計(jì)算了典型8 層結(jié)構(gòu)的柔性立管，并建立了三維有限元模型。討論了接觸矩陣中罰參數(shù)的取值，并對比了柔性立管在軸向拉力和扭矩作用下變形的理論解和數(shù)值模擬值。最終得出結(jié)論如下：

1) 8 層柔性立管結(jié)構(gòu)，罰參數(shù)可以在6 000～7 000 取值。層間接觸矩陣中的罰參數(shù)取值對計(jì)算結(jié)果影響較大，在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下需要先確定罰參數(shù)的取值。

2)參考文獻(xiàn)中的試驗(yàn)結(jié)果，并將本文中的理論模型與數(shù)值模型計(jì)算結(jié)果與之對比，發(fā)現(xiàn)誤差在10%以內(nèi)，證明了本文的剛度矩陣計(jì)算方法可以在設(shè)計(jì)前期使用，以便節(jié)省時(shí)間，但是在具體設(shè)計(jì)階段，仍需要實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。