江蘇省常熟市王淦昌中學(xué) 徐 佳

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“在教學(xué)中突出課程的工具性，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。”由此可見，新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以“凸顯數(shù)學(xué)思維、強(qiáng)調(diào)教育本真”為重心，帶動學(xué)生在與數(shù)學(xué)的交流和思維碰撞中掌握數(shù)學(xué)的思想方法，從而提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)。那么，什么是數(shù)學(xué)思維？新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)思維是指用數(shù)學(xué)的方法來思考問題并解決問題的思維活動。數(shù)學(xué)思維的形成并非朝夕之功，需要教師不斷調(diào)整教學(xué)思路、優(yōu)化教學(xué)方法。僅就單獨(dú)的一堂課來說，教師一方面需要挖掘?qū)W生的個體潛力，另一方面需要從課前、課中和課后來綜合審量數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。本文現(xiàn)以高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的奇偶性”一課為例，對此進(jìn)行探討。

一、課前注重師生聯(lián)動，確立學(xué)習(xí)的思路

通常來說，一堂課的教學(xué)融合了課前、課中與課后三個環(huán)節(jié)。因此，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師需要著眼于全局，充分利用好教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)，構(gòu)建立體化的教學(xué)框架。從課前的角度來看，這一環(huán)節(jié)中包含了教師備課和學(xué)生預(yù)習(xí)兩部分內(nèi)容，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維為著眼點(diǎn)，教師需注重課前師生聯(lián)動，引導(dǎo)學(xué)生確立學(xué)習(xí)的思路與方法。

如“函數(shù)的奇偶性”一課的課前，教師需讓學(xué)生掌握好課前預(yù)習(xí)的兩個重點(diǎn)：

其一是確定“用什么方法來解決什么問題”。本課的主題是“函數(shù)的奇偶性”，從題意分析，本課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)，理解函數(shù)的性質(zhì)，而這也正是本課所要解決的具體問題。進(jìn)一步，用哪些方法可以解決這一問題？讓學(xué)生帶著這樣的思路，進(jìn)一步確立學(xué)習(xí)的方法，如通過類比來分析奇函數(shù)與偶函數(shù)的差異和概念，運(yùn)用函數(shù)思想來掌握“函數(shù)的奇偶性”能夠解決哪些問題。

其二是理順學(xué)習(xí)的思路，即從函數(shù)的概念入手，首先梳理已學(xué)的相關(guān)函數(shù)知識，對函數(shù)的不同類型進(jìn)行大致的梳理，其次運(yùn)用類比的方法概括奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，最后運(yùn)用函數(shù)思想，確立奇函數(shù)和偶函數(shù)的功能，能夠運(yùn)用它們來解決哪些問題。

此外，教師可引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的課前預(yù)習(xí)方法，一方面，通過預(yù)習(xí)理順學(xué)習(xí)的思路，另一方面，通過確立“用什么方法來解決什么問題”，對本課知識進(jìn)行系統(tǒng)的建構(gòu)，從而形成數(shù)學(xué)思維。久而久之，就能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，并培養(yǎng)他們的學(xué)科素養(yǎng)。

二、課中強(qiáng)調(diào)問題解決，優(yōu)化知識的呈現(xiàn)

在課堂教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維往往是伴隨著知識的逐漸呈現(xiàn)而不斷發(fā)展、積累和鞏固的。因此，課堂教學(xué)應(yīng)遵循“小步子、低起點(diǎn)”的基本原則。教師可從已學(xué)知識入手，讓學(xué)生們通過回顧之前所學(xué)而形成“原初經(jīng)驗”，進(jìn)而通過運(yùn)用經(jīng)驗來確立相關(guān)概念，使“原初經(jīng)驗”轉(zhuǎn)化為“再生經(jīng)驗”，在這一過程中助力學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維。

如“函數(shù)的奇偶性”一課的課堂教學(xué)中，在課堂開篇首先設(shè)問：我們之前接觸過較多的函數(shù)知識，那么，可否概括一下之前所學(xué)的函數(shù)知識包括哪些內(nèi)容？學(xué)生回顧已學(xué)知識并概括：一次函數(shù)及其圖像、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、函數(shù)的概念及圖像等等。

總結(jié)：因此，本課所要解決的主要問題是從奇偶兩個層面來了解函數(shù)。

問題引導(dǎo)：根據(jù)之前的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，如何才能正確解決本課的主要問題？

學(xué)生合作探究：函數(shù)中包括了概念與圖像，因此，可從函數(shù)的概念與圖像入手來解決問題。

學(xué)生討論交流：對稱性。

問題引導(dǎo)：如何證明？

教師：怎樣用數(shù)量關(guān)系來準(zhǔn)確刻畫函數(shù)圖像的這種對稱性？

板書：f（x）=x2，求f（-1），f（1），f（-2），f（2）及f（-x），并畫出它們的圖像。

學(xué)生運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗解題并作圖。

問題引導(dǎo)：通過剛才的探究可以得到一個結(jié)論，即：若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱，那么，f（x）和f（x）之間具有哪些關(guān)系？

學(xué)生合作探究：兩者相等。

師生討論交流，并概括奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義：若對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=f（x），則y=f（x）是偶函數(shù)。相反，如果f（-x）=-f（x），則y=f（x）是奇函數(shù)。

師生共同總結(jié)：函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，在定義域上，奇函數(shù)和偶函數(shù)有著共同的特點(diǎn)，即都是關(guān)于原點(diǎn)對稱。

問題引導(dǎo)：那么，在函數(shù)知識中，它們的主要功能是什么？按照奇偶性，函數(shù)可分為幾個類型？

板書：函數(shù)思想。

學(xué)生合作探究：函數(shù)的研究對象是數(shù)量關(guān)系，包括定量與變量。在一組數(shù)據(jù)中，通過判斷函數(shù)的奇偶性，可簡化數(shù)量關(guān)系及其圖像。

在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生們閱讀教材，根據(jù)之前的探究以及課前預(yù)習(xí)，對函數(shù)的奇偶性進(jìn)行總體概括，最后歸納出它們的類別：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既屬于奇函數(shù)又屬于偶函數(shù)、既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。

最后讓學(xué)生們進(jìn)行拓展練習(xí)。

在“函數(shù)的奇偶性”的課堂授課中，筆者運(yùn)用了“小步子、低起點(diǎn)”的設(shè)計思路，在課堂開篇引導(dǎo)學(xué)生由已學(xué)知識入手，首先將函數(shù)類知識建立起一個認(rèn)知的圖式，在此基礎(chǔ)上，通過概括本課需要解決的主要問題來定位本課在“函數(shù)認(rèn)知圖式”中的地位。同時，界定概念環(huán)節(jié)，筆者以問題引導(dǎo)學(xué)生們充分運(yùn)用類比和函數(shù)思想，按部就班地向?qū)W生們呈現(xiàn)知識，帶動學(xué)生由“原初經(jīng)驗”向“再生經(jīng)驗”過渡，并在這一過程中形成數(shù)學(xué)思維，掌握從函數(shù)系列知識的整體性視角來審視奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的升華。

三、課后開展學(xué)習(xí)反思，助力思維的升華

課后反思是教學(xué)活動中的重要一環(huán)，通過反思，教師可汲取更多的成功經(jīng)驗，并理性審視教學(xué)中出現(xiàn)的問題，通過調(diào)整教學(xué)思路和優(yōu)化教學(xué)方法來完善教學(xué)過程。而對于學(xué)生來說，有效反思能使他們找到自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的優(yōu)缺點(diǎn)，從而對癥下藥，提高學(xué)習(xí)能力。

在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的過程中，課后反思應(yīng)立足數(shù)學(xué)思維的主要內(nèi)容展開，以“函數(shù)的奇偶性”為例，具體包含兩個方面：

其一是相關(guān)概念的認(rèn)知。從函數(shù)的整體性視角來審視“函數(shù)的奇偶性”一課的學(xué)習(xí)收獲，包括奇函數(shù)和偶函數(shù)的基本概念、判斷方法、圖像特點(diǎn)、與函數(shù)系列知識的內(nèi)在聯(lián)系等等。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生加大反思力度，從數(shù)學(xué)思維的角度對本課學(xué)習(xí)進(jìn)行反思，包括函數(shù)思想的概念、課堂學(xué)習(xí)的主要方法、原初經(jīng)驗與再生經(jīng)驗的發(fā)展情況等等。

其二是認(rèn)知圖式的建構(gòu)。學(xué)生每堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容都不是孤立的，而是某個知識系列中的片段。如“函數(shù)的奇偶性”，是初高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識中的一個重要環(huán)節(jié)，是學(xué)生認(rèn)識函數(shù)的路徑之一，同時也是掌握函數(shù)思想、形成數(shù)學(xué)思維的必經(jīng)階段。因此，在課后反思過程中，學(xué)生不能僅就本課的學(xué)習(xí)結(jié)果來判斷學(xué)習(xí)是否有效，更重要的是通過本課學(xué)習(xí)是否建立起了關(guān)于函數(shù)及其概念和圖像的認(rèn)知圖式。而反思的重點(diǎn)則集中在是否理解本課的媒介作用這一維度，即本課在函數(shù)知識的承上啟下中發(fā)揮了哪些作用。如此則有利于提高學(xué)生的反思能力，并在每堂課的反思中逐漸積累和形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

概括來說，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是教學(xué)目標(biāo)之一，同時也是凸顯學(xué)科特性、反映學(xué)科價值的主要路徑。教學(xué)的關(guān)鍵在于學(xué)生，只有在教學(xué)中突出學(xué)科特點(diǎn)，才能使學(xué)生揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)的基本方法，通過數(shù)學(xué)思維的形成來提高學(xué)科素養(yǎng)。因此，凸顯數(shù)學(xué)思維、追求教育本真，是教師組織教學(xué)的重要依據(jù)。