王 嵐

【背景】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。在數(shù)學(xué)問題解決過程中，如何基于已有經(jīng)驗(yàn)展開過程的體驗(yàn)，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，透過數(shù)學(xué)現(xiàn)象聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而引導(dǎo)學(xué)生從認(rèn)識內(nèi)容結(jié)構(gòu)走向建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)呢？

事實(shí)上，每個(gè)學(xué)生都是帶著自我建構(gòu)的全部經(jīng)驗(yàn)走進(jìn)課堂的。數(shù)學(xué)課堂需要有效激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，鼓勵(lì)他們自主創(chuàng)造經(jīng)驗(yàn)，引領(lǐng)他們相互分享經(jīng)驗(yàn)，從而使他們在原有經(jīng)驗(yàn)與新創(chuàng)經(jīng)驗(yàn)之間建構(gòu)起關(guān)聯(lián)，在直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)之間建立起聯(lián)結(jié)，最終實(shí)現(xiàn)個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的升級與群體經(jīng)驗(yàn)的升華。這就需要教師基于核心問題串設(shè)計(jì)專題任務(wù)單，引導(dǎo)學(xué)生從原有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，嘗試新創(chuàng)經(jīng)驗(yàn)，并積極分享經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提煉經(jīng)驗(yàn)并應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，最終形成經(jīng)驗(yàn)的生長鏈與思想的輻射場。筆者以蘇教版六上第68～71 頁的內(nèi)容為載體，以“解決問題的策略（假設(shè)）”為研究專題，進(jìn)行了如下嘗試。

【教學(xué)過程及分析】

一、情境再現(xiàn)，引出策略

課件出示烏鴉喝水、曹沖稱象、司馬光砸缸這三幅學(xué)生特別熟悉的故事畫面。

師：咱們今天的數(shù)學(xué)課，用語文的方式開始。你能用最簡短的詞語或句子介紹每一幅圖所描繪的場景嗎？

生：烏鴉喝水；曹沖稱象；司馬光砸缸。

師：這三幅圖中的烏鴉、曹沖和司馬光都遇到了一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的——問題，他們都通過思考想出了解決問題的辦法——策略，最終把問題——解決了。（板書：解決問題的策略）是啊，解決問題需要策略，運(yùn)用策略可以更好地解決問題。今天這節(jié)數(shù)學(xué)課，我們繼續(xù)研究——解決問題的策略。

本節(jié)數(shù)學(xué)課以看圖說話導(dǎo)入，激發(fā)了學(xué)生的好奇心與求知欲，引導(dǎo)學(xué)生聚焦“解決問題的策略”這一核心話題。

二、自主探究，聚焦策略

1.在研究“倍比關(guān)系”的過程中初步感知假設(shè)的策略。

師：小明也遇到了一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題。（出示課件，如圖1）

（圖1）

師：面對“小杯和大杯的容量各是多少毫升”這個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題，你敢不敢自己嘗試解決一下？

學(xué)生紛紛表示愿意接受挑戰(zhàn)。各小組成員先理解題意，獨(dú)立思考，在白板上寫下解題過程后，相繼進(jìn)入討論環(huán)節(jié)。教師巡視課堂，指導(dǎo)學(xué)生將部分作品貼在黑板上。

大杯和小杯的容量都需要學(xué)生求出，看似有一定的難度，但如果我們將視線放到學(xué)生的整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生已經(jīng)有過解決此類問題的經(jīng)驗(yàn)。蘇教版五下第13 頁就已經(jīng)出現(xiàn)過“和倍問題”類型的實(shí)際問題，只不過當(dāng)時(shí)是用方程進(jìn)行解答的。而將挑戰(zhàn)的權(quán)利還給學(xué)生，面對這一新的問題情境，學(xué)生就有可能調(diào)動自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，跨越原有“用方程解答”的思維定勢，在多樣的思路與不同的表達(dá)中深度聚焦數(shù)學(xué)的本質(zhì)與方法的本源。

師：各個(gè)小組都展示了他們組的不同作品。黑板上的11 份作品都完全不同嗎？仔細(xì)觀察，這些作品中有哪些在思路上是一脈相承的，可以分為一類？

請四位學(xué)生上黑板對11 種解題方法進(jìn)行分類，其他學(xué)生幫助補(bǔ)充與調(diào)整。

師：在大家的齊心協(xié)力下，我們把這11 份作品分成了三類。提出第一類方法的同學(xué)緊緊抓住數(shù)量之間的關(guān)系，運(yùn)用方程來解決實(shí)際問題。能否派一個(gè)代表來和大家分享一下你們是怎么想的？

生1：我個(gè)人認(rèn)為當(dāng)兩個(gè)條件都不知道時(shí)可以列方程來解答，首先題目給我們的條件是大杯的容量是小杯的3 倍，我們可以把小杯的容量設(shè)為x毫升，那大杯的容量就是3x毫升，之后我們列方程3x＋6x=360，再通過解這個(gè)方程得到x=40，再根據(jù)題意，40×3=120，得出小杯的容量是40毫升，大杯的容量是120毫升。

師：思路特別清晰，表達(dá)也很簡潔，大家理解了嗎？

生：理解了！

師：我們再來聚焦另外兩類沒有用方程來解題的同學(xué)，他們都不約而同借助了一些工具，如示意圖和線段圖?？炊枰腔郏窒硇枰職?。誰愿意和大家聊聊其中一類解題思路？

生2：我們其實(shí)都用了畫圖的策略。不同的是，有的同學(xué)用簡筆畫來表示，有的同學(xué)用線段圖來表示。其實(shí)我們表達(dá)的意思是一樣的，大杯的容量是小杯的3倍，我們可以把1個(gè)大杯看成3個(gè)小杯。

師：我特別喜歡“看成”這個(gè)詞，就是把1 個(gè)大杯假設(shè)成3個(gè)小杯，請繼續(xù)。

生2：然后把假設(shè)成的3 個(gè)小杯和題目中原有的6 個(gè)小杯加在一起，一共就是9 個(gè)小杯，它們的總量是360 毫升，用360÷9=40（毫升），就求出每個(gè)小杯的容量，再用小杯的容量乘3 就算出大杯的容量。你們聽懂了嗎？

其他學(xué)生紛紛點(diǎn)頭，表示聽懂了。

師：聽明白的同學(xué)可以來總結(jié)一下這類方法。

生3：這類方法其實(shí)就是把1 個(gè)大杯假設(shè)成3 個(gè)小杯，這樣就把大、小杯的問題變成小杯的問題了。

師：假設(shè)全是小杯，讓問題迎刃而解，是個(gè)好辦法！還有一類，哪位代表來分享？

生4：我們是這樣想的，3 個(gè)小杯的容量等于1 個(gè)大杯的容量，一共有6 個(gè)小杯和1 個(gè)大杯，就相當(dāng)于一共有3 個(gè)大杯，一共倒了360毫升果汁，就要除以3，得到每個(gè)大杯的容量是120 毫升。又因?yàn)? 個(gè)小杯的容量等于1 個(gè)大杯的容量，因而小杯的容量就是120÷3=40（毫升）。你們聽懂了嗎？有什么問題要問我嗎？

生5：這個(gè)3 是什么意思？我不知道3 是從哪里來的。（其他學(xué)生紛紛點(diǎn)頭）

生4：3 是每3 個(gè)小杯等于1 個(gè)大杯，6 里面有2個(gè)3，因而6個(gè)小杯就等于2個(gè)大杯，再加上原來的1 個(gè)大杯，就是3 個(gè)大杯。還有其他問題嗎？

生：沒有了。

師：有沒有人跟他的思路一樣？

兩位學(xué)生舉起了手，教師把這兩位學(xué)生的解法也作了展示。

師：他們的解法有什么相同點(diǎn)呢？

生5：都是把小杯全部假設(shè)成了大杯。

師：接下來請同學(xué)們看黑板，我們把這些解法分成了三類，第一類是方程，第二類是把大杯假設(shè)成小杯，第三類是把小杯假設(shè)成大杯。仔細(xì)思考，還有可以合并的類別嗎？

生6：方程也是把大杯假設(shè)為小杯。

師：說得好！那現(xiàn)在我們再次調(diào)整，第一類是把大杯假設(shè)成小杯，第二類是把小杯假設(shè)成大杯?？瓷先シ殖闪藘深?，這兩類有什么相同點(diǎn)嗎？

生7：它們都是把兩個(gè)不同的類型轉(zhuǎn)化成一個(gè)相同的類型。

師：是呀，大杯的容量我們不知道，小杯的容量也不知道。我們把兩個(gè)未知量假設(shè)成了一個(gè)未知量。（板書：假設(shè)）假設(shè)，是一種解決問題的策略。

本環(huán)節(jié)，通過小組交流推選出小組中具有代表性的作品，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)分享。有的學(xué)生用了方程解法，有的學(xué)生用了算術(shù)解法。有相同的思路，內(nèi)心就會受到鼓舞；有不同的想法，思維就會受到啟發(fā)。進(jìn)而通過分類比較，聚焦解法差異。在觀察、比較、分類中，學(xué)生對假設(shè)策略的認(rèn)知也越來越深入。小組內(nèi)的不同想法，大組間的不同表達(dá)，都是教學(xué)的最好資源。而學(xué)習(xí)，就在分享與交流中，在相同與不同中，悄然發(fā)生；經(jīng)驗(yàn)，也在獨(dú)創(chuàng)與共創(chuàng)中不斷進(jìn)化，在對比與交流中不斷升級。在這樣的過程中，學(xué)生個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)、小組內(nèi)的經(jīng)驗(yàn)與班級內(nèi)的經(jīng)驗(yàn)從相互分離到彼此融合，形成了從單一經(jīng)驗(yàn)到多種經(jīng)驗(yàn)的物理疊加，最終實(shí)現(xiàn)了從單維經(jīng)驗(yàn)到多維經(jīng)驗(yàn)的化學(xué)提煉。

2.在聚焦兩個(gè)量關(guān)系的過程中逐步深化假設(shè)的策略。

師：同學(xué)們，剛才的這些算法都是把兩個(gè)未知量假設(shè)成一個(gè)未知量。是不是所有情況下的兩個(gè)未知量都可以假設(shè)成一個(gè)未知量呢？

生1：這兩個(gè)未知量必須要有一定的關(guān)系。師：這道題的兩個(gè)量有什么關(guān)系呢？

生：倍比關(guān)系。

師：這樣的倍比關(guān)系只能用題目中的這句話來表述嗎？還可以怎樣表述？

生2：小杯的容量是大杯的三分之一。

生3：1個(gè)大杯的容量等于3個(gè)小杯的容量。

生4：小杯的容量和大杯的容量比是1∶3。

師：當(dāng)然，倍比關(guān)系還有其他的表述方法。表述不同，它們之間的關(guān)系變了嗎？

生：沒有，還是倍比關(guān)系。

3.在研究“相差關(guān)系”的過程中優(yōu)化假設(shè)的策略。

師：題目中的40和120這兩個(gè)量，除了可以用倍比關(guān)系來表達(dá)，還可以用什么關(guān)系來表達(dá)？

生5：大杯比小杯多80毫升。

生6：小杯比大杯少80毫升。

師：如果是相差關(guān)系的話，可以這樣表述。（出示課件，如圖2）你還能解決嗎？

（圖2）

學(xué)生解題，教師巡視，學(xué)生小組討論后將具有代表性的解法在黑板上展示，并讓學(xué)生進(jìn)行分類。

師：我們請?zhí)岢龅谝活惙椒ǖ拇韥磉M(jìn)行分享。

生1：我們是這樣思考的，大杯和小杯的容量加起來是360 毫升，有6 個(gè)小杯和1 個(gè)大杯，那我們可以用360-80，就等于把大杯里面多出來的80 毫升從總?cè)萘坷餃p去了，那個(gè)大杯就假設(shè)成了小杯，就相當(dāng)于有7 個(gè)小杯，280÷7＝40，得出每個(gè)小杯有40毫升，再根據(jù)題意加上80毫升，每個(gè)大杯就等于120毫升。大家有什么問題嗎？

生2：為什么要除以7？7是從哪里來的？

生1：本來有6 個(gè)小杯，從1 個(gè)大杯里減去80毫升就可以把它假設(shè)成1個(gè)小杯，總共就有7個(gè)小杯了。

生3：為什么要把大杯假設(shè)成小杯？

生1：因?yàn)轭}目中有兩個(gè)未知量，不好求，所以要把其中一個(gè)未知量假設(shè)成另一個(gè)未知量。

師：把小杯假設(shè)成大杯的同學(xué)又是怎么想的呢？

生4：請同學(xué)們聽我說，因?yàn)轭}目中說大杯的容量比小杯多80毫升，這里面有6個(gè)小杯，每個(gè)小杯比大杯少80 毫升，題目可以假設(shè)成6 個(gè)大杯但少480 毫升，用360＋480=840，在360 里面把差的480毫升補(bǔ)上，現(xiàn)在就有7個(gè)大杯共有840 毫升，那么每個(gè)大杯就有120 毫升，再根據(jù)題意，就能求出每個(gè)小杯的容量是40 毫升，同學(xué)們聽懂了嗎？還有什么問題嗎？

生5：為什么要用360加上6個(gè)80？

生4：因?yàn)轭}目中有兩個(gè)量不好求，所以要轉(zhuǎn)化成一個(gè)未知量。

生6：7是從哪里來的？

生4：我們這里是把6 個(gè)小杯假設(shè)成6 個(gè)大杯，再加上題目中原本的1 個(gè)大杯，所以現(xiàn)在題目中有7個(gè)大杯。

師：我也有一個(gè)問題，可以全部假設(shè)成小杯，也可以全部假設(shè)成大杯?？墒牵僭O(shè)成小杯的同學(xué)有好多，而假設(shè)成大杯的同學(xué)很少。為什么大多數(shù)同學(xué)都選擇假設(shè)成小杯呢？

生7：假設(shè)成小杯只要去掉1 個(gè)80，假設(shè)成大杯卻要增加6 個(gè)80，當(dāng)然是去掉1 個(gè)80 更好算了。

師：同學(xué)們不僅找到了各種解題思路，還能進(jìn)行觀察與比較、選擇與優(yōu)化，真會思考！

教材例1 是倍比關(guān)系，例2 是相差關(guān)系，教學(xué)參考用書建議用兩課時(shí)完成這部分內(nèi)容。從兩個(gè)例題的關(guān)系來看，也是層層遞進(jìn)的。例1假設(shè)前后總量不變但份數(shù)在變，例2 假設(shè)前后總量在變但份數(shù)不變。對學(xué)生而言，例1 有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)與基礎(chǔ)，而例2 與之相比可借鑒的經(jīng)驗(yàn)較少。本節(jié)課以關(guān)系為切入點(diǎn)，通過變化兩個(gè)例題中數(shù)量關(guān)系的表達(dá)方式將兩課時(shí)的內(nèi)容整合為一個(gè)課時(shí)，從結(jié)構(gòu)化的角度給學(xué)生提供了很好的思維支架。兩者不同的是數(shù)量關(guān)系的表達(dá)方式，相同的則是都要將有關(guān)系的兩個(gè)未知量假設(shè)成同一個(gè)未知量。

統(tǒng)整內(nèi)容，從高位聚焦結(jié)構(gòu)的一致性；統(tǒng)整經(jīng)驗(yàn)，從實(shí)處彰顯建構(gòu)的同源性。同樣的分類，同樣的提問，從第一次有困難到第二次漸入佳境，可以感受到學(xué)生對于經(jīng)驗(yàn)的分享從任務(wù)驅(qū)動逐步走向興趣驅(qū)動。在不斷推進(jìn)和追問的過程中，學(xué)生對假設(shè)策略的認(rèn)識也不斷走向深入。而教師的提問“為什么大多數(shù)同學(xué)都選擇假設(shè)成小杯呢？”，則似在平靜的湖面投擲了一顆石子，在學(xué)生思維過程中引發(fā)了陣陣漣漪，使學(xué)生對經(jīng)驗(yàn)的對比分析和策略的優(yōu)化選擇水到渠成。

三、總結(jié)全課，反思提升

師：在以前的學(xué)習(xí)中，你用假設(shè)的策略來解決過問題嗎？

生1：我覺得列方程解決實(shí)際問題其實(shí)也是在運(yùn)用假設(shè)的策略。

生2：解決“雞兔同籠”問題的時(shí)候，可以假設(shè)雞也有四條腿，或者假設(shè)兔子收起兩條腿。

師：這位同學(xué)很形象地表達(dá)了假設(shè)全部是兔和假設(shè)全部是雞的兩種思路。

生3：我們在計(jì)算除法時(shí)，常常把32看作30來試商。

生4：我還想到小時(shí)候遇到的天平上水果的重量問題也可以用假設(shè)的策略來求解。

師：是呀，回顧我們的學(xué)習(xí)過程，假設(shè)的策略原來早就在我們的經(jīng)驗(yàn)庫里了。而我們今天的自主嘗試、小組分享、全班交流就是升級自己經(jīng)驗(yàn)庫的很好路徑。讓我們帶著每個(gè)人的獨(dú)特發(fā)現(xiàn)和共同收獲走進(jìn)更為廣闊的數(shù)學(xué)世界！

學(xué)習(xí)往往不止于課本知識，課堂也往往不限于四十分鐘。本節(jié)課以蘇教版六年級教材為素材，引導(dǎo)學(xué)生在記憶中尋找、再認(rèn)與強(qiáng)化，將過程體驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)集群化；以內(nèi)容的整合為載體，以方式的整合為路徑，以經(jīng)驗(yàn)的整合為核心，不斷觸發(fā)學(xué)生個(gè)體經(jīng)驗(yàn)發(fā)展的生長點(diǎn)，不斷關(guān)注學(xué)生群體經(jīng)驗(yàn)升華的銜接點(diǎn)，不斷聚焦學(xué)生自主建構(gòu)的關(guān)鍵點(diǎn)。

基于內(nèi)容的關(guān)系結(jié)構(gòu)，聚焦方法的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上重組、遷移、拓展結(jié)構(gòu)，從關(guān)注知識結(jié)構(gòu)走向關(guān)注方法結(jié)構(gòu)、關(guān)注經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，甚或更進(jìn)一步地幫助學(xué)生完善思維結(jié)構(gòu)，這本身就是一種教學(xué)的意義建構(gòu)。統(tǒng)整經(jīng)驗(yàn)，需要從結(jié)構(gòu)到建構(gòu)，讓學(xué)生在共享知識、共享方法、共享經(jīng)驗(yàn)、共享成就的過程中最終走向共享“數(shù)學(xué)地成長”。