朱艷艷

平均數(shù)能再平均嗎？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，小學(xué)生會(huì)怎樣來(lái)理解呢？近期，我市針對(duì)四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了一次分類調(diào)查，其中有這樣一道題：甲從A 地到B 地，去時(shí)的平均速度是60 千米/小時(shí)，回來(lái)時(shí)的平均速度是40 千米/小時(shí)，甲往返的平均速度是（ ）千米/小時(shí)。（A.60 B.50 C.40 D.48）這道題全市的得分率僅為4.7%，絕大部分學(xué)生選B，認(rèn)為往返平均速度就是用來(lái)時(shí)平均速度加上回時(shí)平均速度的和除以2。由此不難看出，相當(dāng)一部分學(xué)生認(rèn)為平均數(shù)能再平均。他們對(duì)于平均數(shù)的運(yùn)用還停留在簡(jiǎn)單的方法運(yùn)用上，對(duì)情境中平均數(shù)的意義的理解不夠，對(duì)平均數(shù)的深層理解較缺乏。下面，筆者結(jié)合蘇教版四下《平均數(shù)》一課的教學(xué)，就如何提高小學(xué)生對(duì)平均數(shù)的深層理解進(jìn)行一些初步的探索。

一、關(guān)注“平均數(shù)”的深層理解

平均數(shù)的本質(zhì)是代表性，它反映了一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)作為一種常用的統(tǒng)計(jì)量，具有一定的虛擬性和敏感性，有助于人們觀察一組數(shù)據(jù)的情況。要讓學(xué)生在具體情境中形成對(duì)平均數(shù)的深層理解，教師教學(xué)時(shí)不妨依托原有例題把問(wèn)題引向深入。

【片段一：體悟“平均數(shù)”的意義及虛擬性】

以男女生套圈游戲?qū)胄抡n。首先呈現(xiàn)男女生套圈成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖，引導(dǎo)學(xué)生討論出兩種求套圈平均成績(jī)的方法：一種是算術(shù)計(jì)算；一種是移多補(bǔ)少。這時(shí)，教師可以用電腦演示移多補(bǔ)少的過(guò)程（如圖1），并將結(jié)果呈現(xiàn)出來(lái)。

（圖1）

師：平均數(shù)7與王宇套中的個(gè)數(shù)7一樣嗎？

學(xué)生小組討論后交流：平均數(shù)7 反映的是這一組數(shù)據(jù)的整體情況是虛擬的數(shù)據(jù)，而王宇的7 是真實(shí)的數(shù)據(jù)。讓學(xué)生初步感知平均數(shù)7具有一定的虛擬性。

師（出示女生組套圈的平均情況）：女生組套圈的平均成績(jī)是6 個(gè)，女生組就一定有人套中6個(gè)嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)女生組沒(méi)有一個(gè)人套中6 個(gè)，從而深刻理解了平均數(shù)的意義。

【片段二：體悟“平均數(shù)”的敏感性】

師：男生組只有4 個(gè)人，這時(shí)又來(lái)了一個(gè)男生，如果讓這個(gè)男生套圈，男生組的平均成績(jī)會(huì)有變化嗎？（小組討論，盡量把各種情況都考慮到）

師：如果這時(shí)將男生組的整體水平與女生組的整體水平進(jìn)行比較，可以怎么比？

生1：可以把男生組的平均成績(jī)算出來(lái)再比。

生2：兩組都有5個(gè)人，也可以只比總數(shù)。

師：是的，比較整體水平時(shí)要靈活，當(dāng)兩組人數(shù)相同時(shí)也可以只比較兩組數(shù)據(jù)的總數(shù)。

師：如果后來(lái)的這個(gè)男生一個(gè)都沒(méi)套中，男生組套圈的平均成績(jī)是多少？

生：（6+9+7+6+0）÷5=5.6（個(gè)）。

師：這樣一看，男生組來(lái)了一個(gè)人，整體水平反而比女生組差了。這說(shuō)明什么？

通過(guò)上述教學(xué)，讓學(xué)生感知平均數(shù)的敏感性。當(dāng)另一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)時(shí)，平均數(shù)會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)出現(xiàn)的另一個(gè)數(shù)據(jù)是極值（特別大或特別小的數(shù)據(jù)）時(shí)，平均數(shù)的變化就會(huì)特別大。

二、融合統(tǒng)計(jì)量的整體感悟

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是用來(lái)刻畫數(shù)據(jù)平均水平的統(tǒng)計(jì)量，它們各有特點(diǎn)。雖然蘇教版教材把中位數(shù)和眾數(shù)放到了中學(xué)去進(jìn)行教學(xué)，但不影響我們?cè)诮虒W(xué)中滲透一些初步的相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生在建構(gòu)學(xué)習(xí)思維的過(guò)程中先見森林，再見樹木。

【片段三：感悟統(tǒng)計(jì)量的多樣性】

師（出示）：小區(qū)涼亭里有5 個(gè)人，平均年齡是40歲，這幾個(gè)人的年齡可能是多大？

學(xué)生的回答大致分為三類：（1）可能有40多歲的，也可能有30 多歲的，應(yīng)該都在40 歲左右；（2）我們只能知道這5 個(gè)人的年齡和是200歲，加起來(lái)是200 歲就行；（3）我們知道平均數(shù)在最高值和最低值之間，但是只知道平均數(shù)，不太好猜。

師：這5 個(gè)人的年齡分別是1 歲、2 歲、65歲、65歲、67歲。

生：這樣看，通過(guò)平均數(shù)40 真的不太能感覺(jué)到這組數(shù)據(jù)的總體情況。

師：是的，在統(tǒng)計(jì)中，不僅有平均數(shù)，還有眾數(shù)和中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量，大家有興趣的課后可以去了解一下，我們下節(jié)課作簡(jiǎn)單交流。

在上述教學(xué)中，我們可以看到，持第一類答案的學(xué)生居多，而持第二類和第三類答案的學(xué)生少之又少。為什么會(huì)這樣呢？這源于學(xué)生對(duì)平均數(shù)的趨中性的理解定勢(shì)，還在于學(xué)生對(duì)眾數(shù)和中位數(shù)這樣的統(tǒng)計(jì)量幾乎一無(wú)所知。因此，教師試圖在教學(xué)中把學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解引向更深的層次，使他們?cè)谥R(shí)的森林中深入認(rèn)識(shí)平均數(shù)這棵樹。

三、整合數(shù)學(xué)策略方法的教學(xué)

在教學(xué)“解決問(wèn)題的策略”時(shí)，假設(shè)是作為一種策略出現(xiàn)的，因而在平均數(shù)教學(xué)中，當(dāng)條件不充分時(shí)，可以整合利用假設(shè)、舉例等方法幫助學(xué)生深層理解平均數(shù)。

【片段四：靈活運(yùn)用策略】

師（出示）：四（1）班同學(xué)的數(shù)學(xué)平均分是90 分，四（2）班同學(xué)的數(shù)學(xué)平均分是94 分，兩個(gè)班同學(xué)的數(shù)學(xué)平均分是多少？

生：把兩班平均分加起來(lái)再除以2就行了。

師：大家認(rèn)為這個(gè)方法可以嗎？

生1：好像可以。

生2：好像不可以，現(xiàn)在兩個(gè)班的人數(shù)都不知道。

師：那怎么辦？以前我們學(xué)習(xí)探索規(guī)律，當(dāng)條件不充分時(shí)，可以用假設(shè)的方法舉例子。

學(xué)生嘗試列舉兩班人數(shù)并計(jì)算。

學(xué)生從舉例中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)班人數(shù)不同時(shí)，不能用兩班平均分相加再除以2；當(dāng)兩個(gè)班人數(shù)相同時(shí)，可以用兩班平均分相加再除以2。

師（繼續(xù)出示）：甲從A 地到B 地，去時(shí)的平均速度是60 千米/小時(shí)，回來(lái)時(shí)的平均速度是40 千米/小時(shí)，甲往返的平均速度是（ ）千米/小時(shí)。這道題與上一題有什么異同點(diǎn)？

生：這道題A地到B地的路程是一樣的。

師：這道題可以怎么來(lái)假設(shè)呢？

學(xué)生反饋：假設(shè)A地到B地的路程是240千米，甲去時(shí)的時(shí)間就是240÷60=4（小時(shí)），回來(lái)的時(shí)間就是240÷40=6（小時(shí)），往返的平均速度就是（240+240）÷（4+6）=48（千米/小時(shí)）。

學(xué)生列舉其他數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)都能得到相同的答案——48。

師：由上述解題過(guò)程可知，當(dāng)問(wèn)題中的條件不充分時(shí)，我們可以運(yùn)用假設(shè)法舉例解決問(wèn)題（因是四年級(jí)學(xué)生，暫不研究分?jǐn)?shù)解法）。

通過(guò)上述策略嘗試，學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解從淺層走向深層。當(dāng)下大家經(jīng)常提到深度學(xué)習(xí)和高階思維，其本質(zhì)都是讓理解走向深層，思維的深層提升才能引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落地。