陳 蒨

沒有直觀想象力的靈魂，就如沒有望遠(yuǎn)鏡的天文臺?！督K省義務(wù)教育學(xué)科核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力框架（試行）》在小學(xué)數(shù)學(xué)部分指出，“鑒于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性，小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與正修訂的普通高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一脈相承，包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析”。由此可見，“直觀想象”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。那么，在小學(xué)階段，應(yīng)如何讓“直觀想象”的培養(yǎng)真正落地呢？如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力呢？筆者對此進行了一些探究。

一、小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的內(nèi)涵與外延

（一）直觀想象的已定認(rèn)識

直觀想象在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中的定義是：借助幾何直觀、空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)直觀想象和高中一脈相承，只是在知識、能力層面比較基礎(chǔ)和淺顯。具體包括：借助空間加強對事物位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律的認(rèn)識；利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題；建立數(shù)與形的聯(lián)系；基于探索解決問題的思路構(gòu)建直觀的數(shù)學(xué)模型。

（二）直觀想象的深度解讀

直觀想象不是簡單的幾何直觀與空間想象的組合。我們知道，幾何直觀的本質(zhì)是將相對復(fù)雜、抽象的問題“圖形化”，利用圖形描述問題，進而借助圖形分析、解決問題。以現(xiàn)實世界為背景的空間想象則是從幾何圖形的運動、變化以及位置關(guān)系出發(fā)，加工、改造事物的幾何表象，甚至想象、創(chuàng)造新的表象。如此看來，它們既有交融點也有各自的側(cè)重點，我們要更多地關(guān)注其在相互交融基礎(chǔ)之上價值取向的拓展，如借助圖形帶來的直觀去拓展思維的空間，尋求解決問題的策略，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

（三）直觀想象力的意義解讀

直觀想象力就是直觀想象的能力。發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題都有賴于直觀想象力的發(fā)揮。直觀想象力還為探索思路、數(shù)學(xué)推理、抽象建構(gòu)搭建了思維基礎(chǔ)。小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力主要表現(xiàn)為：借助直觀描述數(shù)學(xué)問題；依據(jù)直觀理解數(shù)學(xué)問題；建立數(shù)與形的關(guān)聯(lián)；通過想象深入認(rèn)識世界。培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力，不僅能發(fā)展幾何直觀能力和空間想象能力，還能提高學(xué)生借助圖形、空間等分析問題、理解問題、探究解題思路、創(chuàng)新建構(gòu)等方面的數(shù)學(xué)思維能力。

二、小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)之困

（一）缺乏系統(tǒng)，小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)“被忽視”

利用直觀想象，對一些數(shù)學(xué)知識賦予幾何意義的闡釋，能幫助學(xué)生形成正確、深刻的知識表象。然而，在現(xiàn)實教學(xué)中，不少一線教師對數(shù)學(xué)知識體系缺乏系統(tǒng)的認(rèn)知，進而忽視了低年級學(xué)生直觀想象力的培養(yǎng)。

（二）認(rèn)知不透，小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)“被干擾”

借助圖表、幾何圖形或空間想象描述、類比、分析數(shù)學(xué)問題，有助于學(xué)生猜測、推斷問題的結(jié)果。在不斷嘗試、想象、練習(xí)的過程中，學(xué)生的直觀想象力會慢慢提升。然而，在實際教學(xué)中，有些需要學(xué)生直觀想象的問題失分率往往會比較高，因而教師會采用簡單粗暴的教法，從而干擾了學(xué)生直觀想象力的發(fā)展。

（三）理解不深，小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)“被替代”

研究表明，小學(xué)生比較容易孤立地、單一地、脫離現(xiàn)實地認(rèn)識數(shù)學(xué)問題、概念和原理。直觀想象恰恰可以幫助學(xué)生鏈接數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)知識和學(xué)生經(jīng)驗有機融合，讓學(xué)生的前后知識有機整合。然而在現(xiàn)實教學(xué)中，有時會因為教師理解不深或濫用多媒體設(shè)備，導(dǎo)致教學(xué)過程替代學(xué)生直觀想象的問題出現(xiàn)。

三、小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)策略

小學(xué)生直觀想象力的形成是從感性到理性的過程。教師要把握好時機，選擇恰當(dāng)?shù)牟呗?，引?dǎo)學(xué)生的直觀想象力逐漸從感性走向理性。

（一）從物化到表征——在問題情境中培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力

依托先行組織者和學(xué)生的原有認(rèn)知等把握學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，創(chuàng)設(shè)促進學(xué)生直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)情境，讓學(xué)生的認(rèn)知從物化到表征，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力。

1.提供恰當(dāng)?shù)南刃薪M織者。

先行組織者（相應(yīng)的引導(dǎo)性材料）是美國認(rèn)知心理學(xué)家奧蘇伯爾提出的概念，它是連接新舊知識的橋梁。在學(xué)習(xí)新知之前，學(xué)生有很多生活經(jīng)驗和知識儲備，但這些經(jīng)驗和知識堆積在一起沒有進入學(xué)習(xí)新知的準(zhǔn)備狀態(tài)。這時，就需要先將先行組織者呈現(xiàn)給學(xué)生，打通新知與已有經(jīng)驗、知識的聯(lián)系。在情境創(chuàng)設(shè)中，恰當(dāng)?shù)南刃薪M織者能促進學(xué)生通過已有認(rèn)知來直觀想象。如教學(xué)蘇教版二下《認(rèn)識角》一課，教師創(chuàng)設(shè)生活情境：今天，有三個好朋友和我們一起上課，它們就是剪刀、數(shù)學(xué)書和扇子（課件出示相應(yīng)圖片）。在這些物體中有我們今天要研究的數(shù)學(xué)知識（角）。這樣的情境創(chuàng)設(shè)，為學(xué)生提供了學(xué)習(xí)角的先行組織者，有利于學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗，通過直觀想象抽象出數(shù)學(xué)中的角。

2.激活學(xué)生的原有認(rèn)知。

學(xué)生的原有認(rèn)知能通過教師的引導(dǎo)而激活。教學(xué)中，教師關(guān)注激活學(xué)生原有認(rèn)知的情境創(chuàng)設(shè)，能促進學(xué)生透過本質(zhì)勾連新舊知識，構(gòu)建自己的知識網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展數(shù)學(xué)直觀想象力。如教學(xué)蘇教版三下《認(rèn)識小數(shù)》一課，教師創(chuàng)設(shè)“買東西0.3元，0.3元究竟是多少？”的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生把1 個正方形看作1 元來分一分、涂一涂，表示出0.3 元。這樣的情境創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生通過直觀想象勾連起小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，有助于學(xué)生更好地理解小數(shù)。

（二）從表征到抽象——在探究學(xué)習(xí)中培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力

新課標(biāo)提出了探究學(xué)習(xí)的理念。設(shè)計探究性問題，可以讓學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上充分交流、碰撞、啟發(fā)，使他們的思維從表征走向抽象。這樣有助于學(xué)生的直觀想象力得到進一步提升，從而逐漸達到知識遷移和知識創(chuàng)新的水平。

1.在碰撞中探究。

直觀想象是探索、解決數(shù)學(xué)問題的有力幫手。學(xué)生在開始接觸數(shù)學(xué)問題時，往往會習(xí)慣性地對問題作出一種直觀判斷，這種直觀判斷起初只是一種直覺、猜想或猜測。同伴之間的交流、碰撞則會讓這種直覺或猜想越來越豐富、理性和完善。如學(xué)完蘇教版五上《多邊形的面積》一課后，教師引導(dǎo)學(xué)生探究如何將一個正六邊形分成六個形狀相同、大小相等的圖形，學(xué)生嘗試探究后交流如下：

生1展示最基礎(chǔ)的分法（如圖1）。

生2 展示圖2，從軸對稱圖形的角度思考，想象出新分法。

生3 展示圖3，先把正六邊形分成三個完全相同的平行四邊形，再把每個平行四邊形分成兩個完全相同的圖形。

生4 受生2 啟發(fā)，從軸對稱圖形出發(fā)，只要把三條對稱軸保持相對位置不變，繞中心點任意旋轉(zhuǎn)一個角度，就能得到新分法。（如圖4左）

生5 受生3、生4 啟發(fā)，想到了另一途徑的無數(shù)種分法。先分成3 個完全相同的平行四邊形，每個平行四邊形中再用對角線平分，3 條對角線繞各自平行四邊形的中心旋轉(zhuǎn)相同的角度，也能得到無數(shù)種分法。（如圖4右）

（圖1）

（圖2）

（圖3）

（圖4）

2.在探究中抽象。

數(shù)學(xué)是抽象性極強的學(xué)科，而小學(xué)生的思維又具有直觀形象性，這就產(chǎn)生了矛盾。直觀想象能架起聯(lián)結(jié)具體與抽象的橋梁。借助直觀想象，學(xué)生能更有效地開展數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)，從淺表感知到深入探尋，從淺層認(rèn)知到深層思維，使思維逐步走向更高級、更抽象的層面。如教學(xué)蘇教版五上《圖形的分割》一課，教師首先引導(dǎo)學(xué)生用正方形紙折一折、畫一畫；接著引導(dǎo)學(xué)生比較不同分法，初步感知規(guī)律，進而猜想、驗證——經(jīng)過正方形中心任意畫出的直線都能把正方形分割成兩個面積相等的部分；最后研究其他圖形的分割。這個引導(dǎo)學(xué)生在探究中抽象的過程，能有效提升他們的直觀想象力。

（三）從抽象到內(nèi)化——在總結(jié)反思中培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力

借助問題情境引導(dǎo)學(xué)生初步感知直觀想象是最淺表的層次；在探究學(xué)習(xí)中，學(xué)生的直觀想象力能向有意識的思考、抽象過渡；總結(jié)反思則能引導(dǎo)學(xué)生的直觀想象力向更高的層次發(fā)展和內(nèi)化。

1.在類比反思中內(nèi)化。

（圖5）

（圖6）

2.在反思內(nèi)化中建構(gòu)。

總結(jié)反思是一種高層次的直觀想象。這樣的直觀想象不僅有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識間本質(zhì)的、內(nèi)在的聯(lián)系，還有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)或建構(gòu)知識間的高層次隱性聯(lián)結(jié)。有些數(shù)學(xué)知識在淺表層面看不出聯(lián)系，但在某個層面有一種本質(zhì)的聯(lián)系?？偨Y(jié)反思有助于學(xué)生完成有意義的建構(gòu)，從更高的層面提升數(shù)學(xué)直觀想象力。如教學(xué)蘇教版五上《解決問題的策略：列舉》一課，有這樣一道練習(xí)題：從學(xué)校經(jīng)過少年宮到動物園（如圖7），一共有幾條路可以走？教師首先讓學(xué)生用自己的方式表示出所有路線；然后展示有代表性的學(xué)生作品，并讓學(xué)生用自己的語言來表述搭配現(xiàn)象；最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉：搭配就是兩種事物之間的交叉對應(yīng)。那么如圖8，交叉對應(yīng)和矩陣模型就體現(xiàn)出本質(zhì)的關(guān)聯(lián)。這樣一種建構(gòu)就有賴于總結(jié)反思的直觀想象。

（圖7）

（圖8）

本文的研究只是一個起點，直觀想象作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要研究的東西太多，既要完善理論層面的理解，更要注重教學(xué)實踐。正如華東師范大學(xué)鮑建生教授指出的：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上、在數(shù)學(xué)活動中逐步養(yǎng)成的。小學(xué)生的直觀想象力也是在他們生活的每一天、經(jīng)歷的每一節(jié)課、做的每一道題中逐步養(yǎng)成和提升的。