龐福振， 霍瑞東， 李海超， 葉開富,3， 王雪仁,3

(1.哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.北京航天計量測試技術(shù)研究所，北京 100076； 3.中國人民解放軍92578部隊，北京 100161)

層合扇形板結(jié)構(gòu)在航空、航天、機械制造等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。因此開展層合扇形板的振動特性分析研究，獲取層合扇形板結(jié)構(gòu)任意邊界條件下的典型特征頻率，對指導(dǎo)相應(yīng)結(jié)構(gòu)在工程中的應(yīng)用具有重要意義。本文基于一階剪切變形理論建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)板厚方向的剪切應(yīng)變?yōu)槌?shù)，通過選取適當(dāng)?shù)募羟行拚禂?shù)，即可進(jìn)行中厚板振動特性分析。

當(dāng)前已有眾多研究復(fù)合扇形板振動特性的數(shù)值方法，如有限元法[1]、微分求積法[2]、改進(jìn)三角級數(shù)法[3]、廣義微分求積法[4]、動力松弛法[5]，微分求積法[6]等，上述方法雖然可以有效求解復(fù)合扇形板振動特性問題，但大多只能應(yīng)用于剛固、簡支、自由等幾種特定類型的經(jīng)典邊界，對于各種經(jīng)典邊界、彈性邊界及其任意組合的復(fù)雜邊界下的振動特性研究較少。Li[7]提出改進(jìn)傅里葉級數(shù)法被廣泛應(yīng)用于一般邊界條件下的板和殼的振動分析中，本文在該方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展。采用彈簧剛度法模擬一般邊界條件，采用基于一階剪切變形理論的Hamilton方程推導(dǎo)運動方程和邊界方程。板結(jié)構(gòu)的位移和旋轉(zhuǎn)分量均展開為三角級數(shù)，其由標(biāo)準(zhǔn)三角級數(shù)和輔助多項式構(gòu)成。引入輔助多項式函數(shù)以消除傳統(tǒng)三角級數(shù)的位移及其導(dǎo)數(shù)在邊界處的不連續(xù)性并保證其快速收斂。通過將本方法的計算結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行對比，驗證了本方法的準(zhǔn)確性和可靠性，并給出了任意邊界條件下層合扇形板振動特性的結(jié)果。

1 層合扇形板自由振動理論推導(dǎo)

1.1 模型描述

層合扇形板由厚度為h、內(nèi)徑為a、外徑為b、徑向?qū)挾葹镽、扇形角為φ的多層扇形中厚板層疊而成，其幾何尺寸在正交柱坐標(biāo)系(r,θ,z)中定義，為方便分析還建立了局部坐標(biāo)系(s,θ,z)，其幾何模型由圖1(a)給出。本文在各層扇形板邊緣處的中性面處施加3組線性彈簧(ku,kv,kw)和2組旋轉(zhuǎn)彈簧(KR,Kθ)，并通過改變邊界彈簧的剛度值來模擬不同的邊界條件[8]，見圖1(b)。其中下標(biāo)deg_0、deg_1、r_0和r_1分別表示邊界彈簧在θ=0、θ=φ、s=0和s=R條件下的彈簧剛度。記第k層材料正交各向異性方向與r軸間的夾角為層壓角α，見圖1(c)。

圖1 中厚層合扇形板幾何模型示意Fig.1 The geometric model of laminated sector plates

1.2 位移關(guān)系和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

基于一階剪切變形理論，層合扇形板的位移函數(shù)可表示為：

(1)

式中：u0、v0和w0分別表示參考平面上相應(yīng)點在r、θ和z方向的位移；Ψr和Ψθ分別表示繞r和θ方向且垂直于參考面的旋轉(zhuǎn)分量；t表示時間。層合扇形板的應(yīng)變分量可表示為：

(2)

根據(jù)胡克定律，層合扇形板的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為：

(3)

式中：σr、σθ表示r、θ方向上的法向應(yīng)力；τrθ、τrz和τθz表示柱坐標(biāo)系中r、θ和z方向上的剪切應(yīng)力；Qij(i,j=1,2,4,5,6)表示第k層扇形板的剛度系數(shù)。

沿z方向?qū)?yīng)力積分，可得力和力矩的積分式：

(4)

式中：Nr、Nθ和Nrθ表示各方向的合力；Mr、Mθ和Mrθ表示各方向的合力矩；Qr、Qθ表示各方向的剪切力；κ為剪切校正因子，本文取κ=5/6[9]。

1.3 扇形板中的能量關(guān)系

層合扇形板內(nèi)的應(yīng)變能可定義為：

(5)

將式(2)～(4)代入式(5)，可得到用中性面處位移和旋轉(zhuǎn)分量表示的板內(nèi)應(yīng)變能。

層合扇形板中的動能可表示為：

(6)

將式(1)中的u、v和w代入式(6),并對z積分可得層合扇形板內(nèi)部的動能：

(7)

其中：

(8)

存儲在邊界彈簧中的應(yīng)變能可表示為：

(9)

1.4 控制方程和邊界條件

根據(jù)Hamilton原理可得層合扇形板的邊界條件和控制方程，其拉格朗日能量泛函L表示為：

L=T-Us-Ub-Ubs-Usp

(10)

由：

(11)

可得扇形板的控制方程：

(12)

層合扇形板的邊界條件表示為：

(13)

1.5 位移形函數(shù)與方程求解

本文層合扇形板位移和旋轉(zhuǎn)分量均使用三角級數(shù)來表示，但傳統(tǒng)三角級數(shù)在端點處存在不連續(xù)現(xiàn)象，因此引入輔助多項式改善其收斂性，輔助函數(shù)的引入使位移容許函數(shù)能滿足求解域內(nèi)更高階導(dǎo)數(shù)的存在，從而有效地克服邊界上可能存在的不連續(xù)問題。

扇形板位移函數(shù)的三角級數(shù)展開式表示為：

(14)

從式(14)中可以看出，位移函數(shù)分量中最高存在二階導(dǎo)數(shù)，這意味著至少需要允許函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)才能滿足板上任意點的連續(xù)性。為此本文選取以下簡單的輔助函數(shù)，該函數(shù)滿足求解域內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且三階導(dǎo)數(shù)存在：

(15)

易證得：

(16)

(K-ω2M)E=0

(17)

式中:K、M和E分別表示扇形板的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和未知系數(shù)矩陣，對上式求解可得到層合扇形板的固有頻率，進(jìn)而可求得相應(yīng)的振型。

2 數(shù)值結(jié)果和討論

2.1 收斂性研究

2.1.1 邊界彈簧剛度的影響

本文對扇形板的邊界使用彈簧來模擬邊界約束，設(shè)定恰當(dāng)?shù)膹椈蓜偠戎悼赡M扇形板任意的邊界條件。通過討論彈性邊界約束參數(shù)對層合扇形板無量綱頻率參數(shù)Ω=ωb2/h(ρm/E2)1/2的影響規(guī)律，探討了不同邊界下合適的彈簧剛度取值，進(jìn)而驗證了彈簧剛度法在此類問題應(yīng)用中的可行性。本算例中模型的幾何和材料屬性參數(shù)為：a/b=0.5，h/b=0.1，E1/E2=15，E2=1×1010Pa，G12=G13=0.6E2，G23=0.5E2，μ12=0.25，ρ=1 500 kg/m3。為簡化分析過程，取彈性約束參數(shù)Гu、Гv、Гw、ГR和Гθ表示相應(yīng)彈簧剛度與抗彎剛度D=E2h3/12(1-μ122)的比值，即Гu=ku/D、Гv=kv/D、Гw=kw/D、ГR=KR/D、Гθ=Kθ/D。此外，定義參數(shù)ΔΩ=ΩΓλ-ΩΓλ=10-8，用于表示無量綱頻率Ω與參考值的差值，參考值取ΩΓλ=10-8。

圖2給出了非對稱型雙層層合扇形板[0°/90°]前三階頻率參數(shù)ΔΩ隨彈性約束參數(shù)Гλ(λ=u,v,w,R,θ)的變化關(guān)系。本算例所取邊界條件為：s=0、s=R處自由，θ=0處剛固，θ=φ處彈性約束。從圖2可以看出，彈性約束參數(shù)Гλ小于10-1時，ΔΩ幾乎為零，此時可視自由邊界條件；彈性約束參數(shù)Гλ在101～106范圍內(nèi)時，ΔΩ與Гλ呈正相關(guān)關(guān)系，此時可視為彈性邊界條件；彈性約束參數(shù)Гλ在107以上后ΔΩ基本趨于穩(wěn)定，此時扇形板的無量綱頻率求解已達(dá)到收斂，該范圍可視為剛固邊界條件。

圖2 雙層非對稱層合扇形板[0°/90°]的頻率參數(shù)ΔΩ隨彈性約束參數(shù)Γλ的變化關(guān)系Fig.2 The frequency parameters ΔΩ versus the elastic restraint parameters Γλ for laminated sector plate[0°/90°]

通過大量分析計算，給出了本算例所給工況下幾種經(jīng)典邊界條件對應(yīng)各彈簧剛度的合理取值(如表1)。

表1 幾種邊界條件下各彈簧剛度值的合理取值Table 1 The suitable values of spring stiffness value under several boundary conditions

為了檢驗以上彈簧剛度取值的合理性，將以彈簧模擬不同邊界來進(jìn)行振動特性分析，并與相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行數(shù)值對比。為簡潔起見，使用字符串來表示邊界條件，例如FCSC表示在扇形板s=0、θ=0、s=R和θ=φ處具有F、C、S和C邊界條件。除非另有說明，本文層合扇形板無量綱頻率參數(shù)表示為：Ω=ωb2/h(ρm/E2)1/2，扇形板的材料和幾何參數(shù)如下：E2=1×1010Pa，E1/E2=15，G12=G13=0.6E2，G23=0.5E2，μ12=0.25，ρ=1 500 kg/m3。

2.1.2 截斷數(shù)的影響

本節(jié)探討三角級數(shù)截斷數(shù)對層合扇形板無量綱頻率收斂性的影響。扇形板的位移函數(shù)由三角級數(shù)來表示，顯然其位移和旋轉(zhuǎn)分量上三角級數(shù)的展開階數(shù)M和N對計算收斂性有直接關(guān)系，理論上展開階數(shù)越多計算越精確，但相應(yīng)的計算效率會大幅降低，因此選取合適的展開階數(shù)具有重要的探討價值。

表2給出了CCCC邊界條件下雙層層合扇形板[0°/90°]前六階固有頻率隨截斷數(shù)影響的結(jié)果。從表中可以看出本文方法收斂性良好，M=N=8和M=N=16的結(jié)果之間的最大差異小于0.077%。因此如不做特殊說明，本文方法在后續(xù)計算中三角級數(shù)的截斷數(shù)統(tǒng)一取M=N=12。

表2 CCCC邊界下雙層[0°/90°]層合扇形板前六階頻率參數(shù)收斂性(φ=2π/3, a/b=0.5, h/b=0.2, E1/E2=40)Table 2 Convergence of the first six frequency parameters for a laminated sector plate [0°/90°]with CCCC boundary conditions

2.2 有效性驗證及特性分析

表3給出了2種方法對不同經(jīng)典邊界條件下多層層合扇形板[0°/90°]5的頻率參數(shù)計算結(jié)果的比較(φ=π/3,a/b=0.1,h/b=0.2,E1/E2=40)。從表3可知本方法與參考文獻(xiàn)相比最大相對誤差不超過0.634%，由此可證得本方法的有效性。

表3 不同邊界下層合扇形板[0°/90°]5Ω值與文獻(xiàn)[10]對比Table 3 Comparison of the Ω for a laminated sector plate [0°/90°]5 with different boundary conditions

表4～6給出了剛固、簡支、自由等邊界條件下層合扇形板無量綱頻率與厚徑比、正交各向異性比、層壓角等結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系。表4表明無量綱頻率隨扇形板厚徑比的增加而降低(φ=π/2,a/b=0.5,E1/E2=15)。表5表明頻率參數(shù)隨正交各向異性比的增加而增加(φ=π/2,a/b=0.5,h/b=0.1)。表6表明扇形板的頻率參數(shù)隨層壓角的增大而減小(E1/E2=15,a/b=0.5,h/b=0.1)。圖3給出了CCCC和CFCF邊界條件下層合板前三階陣型圖(E1/E2=15,a/b=0.5,h/b=0.1,φ=2π/3)。由圖3可知，同階陣型下，邊界條件的不同會導(dǎo)致其模態(tài)特性不盡相同。

表4 不同邊界下層合扇形板[0°/90°]2Ω值與厚徑比的關(guān)系Table 4 The Ω for a laminated sector plate[0°/90°]2 with thickness-to-radius ratios in different boundary conditions

表5 不同邊界下層合扇形板[0°/90°]2 Ω值與各向異性比關(guān)系Table 5 The Ω for a laminated sector plate[0°/90°]2 with orthotropy ratios in different boundary conditions

表6 不同邊界下扇形板[0°/90°/90°/0°] Ω值與層壓角的關(guān)系Table 6 The Ω for a laminated sector plate[0°/90°/90°/0°] with included angles in different boundary conditions

層合扇形板在實際工程應(yīng)用中通常會有更為復(fù)雜的一般邊界條件約束，表7和表8給出了在一般彈性邊界約束下層合扇形板的前四階固有頻率。本算例中扇形板的幾何尺寸除φ=π外均與圖3相同。從表7和表8可以看出，不同的層合方案對層合扇形板的頻率也有明顯影響。圖4給出了CE3CE3和E3E3E3E3邊界條件下層合扇形板[0°/90°/90°/0°]前三階模態(tài)的陣型圖，由圖4可知，邊界條件的不同使得同階陣型層合板振動模態(tài)呈現(xiàn)明顯差異。

圖3 不同邊界下層合扇形板前三階模態(tài)陣型Fig.3 The lowest three mode shapes for a laminated sector plate in different boundary conditions

表7 不同經(jīng)典邊界和層合方案下層合扇形板的Ω值Table 7 The Ω for a laminated sector plate with different classical boundary conditions and lamination schemes

表8 不同彈性邊界和層合方案下層合扇形板的Ω值Table 8 The Ω for a laminated sector plate with different elastic boundary conditions and lamination schemes

圖4 2種邊界下扇形板[0°/90°/90°/0°]前三階模態(tài)陣型圖Fig.4 The lowest three mode shapes for a [0°/90°/90°/0°] laminated sector plate with two boundary conditions

3 結(jié)論

1)通過增加輔助函數(shù)有效解決了三角級數(shù)的連續(xù)性問題，計算結(jié)果通過與參考文獻(xiàn)對比驗證了本方法具有較好的準(zhǔn)確性。

2)彈簧剛度法在解決此類問題時可有效應(yīng)用，使用適當(dāng)取值的彈簧剛度可較好地模擬各種邊界條件約束。

3)計算結(jié)果隨三角級數(shù)展開階數(shù)的增加快速收斂，通常取較低的階數(shù)就能保證足夠的計算精度。

4)無量綱頻率隨扇形板厚徑比的增大而減小，隨正交各向異性比的增大而增大，隨層壓角的增大而減小。