錢(qián)蔚

摘要：受長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬的影響，學(xué)生會(huì)想當(dāng)然地認(rèn)為，平行四邊形的面積也就是兩條鄰邊相乘的積?？梢?jiàn)，《平行四邊形的面積》一課教學(xué)，如何處理學(xué)生的“想當(dāng)然”是關(guān)鍵。對(duì)此，從學(xué)生的“想當(dāng)然”起步，引導(dǎo)他們經(jīng)歷知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，探尋知識(shí)本質(zhì)，并通過(guò)練習(xí)查漏補(bǔ)缺。

關(guān)鍵詞：學(xué)生視角本源經(jīng)驗(yàn)知識(shí)本質(zhì)《平行四邊形的面積》

以往教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《平行四邊形的面積》一課，我都是沿襲教材的思路，通過(guò)例1，用“暗示”的方式引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。盡管這樣的教學(xué)思路很順暢，但我一直有這樣的疑惑：當(dāng)學(xué)生面對(duì)計(jì)算平行四邊形的面積這一新問(wèn)題時(shí)，能自覺(jué)想到要將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？學(xué)生這種轉(zhuǎn)化的想法是怎么產(chǎn)生的？

帶著這樣的疑惑，我仔細(xì)研讀了教材和其他教學(xué)資料，并在部分學(xué)生中進(jìn)行了前測(cè)。前測(cè)很簡(jiǎn)單，在紙上畫(huà)一個(gè)平行四邊形，請(qǐng)學(xué)生自己想辦法求出平行四邊形的面積，并簡(jiǎn)單說(shuō)明為什么這樣做。從前測(cè)的情況來(lái)看，用鄰邊相乘的學(xué)生比較多，原因是受長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬的影響，學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為，平行四邊形的面積也就是兩條鄰邊相乘的積?？梢?jiàn)，如何處理學(xué)生的“想當(dāng)然”應(yīng)是教學(xué)的關(guān)鍵。對(duì)此，再次教學(xué)這一課時(shí)，我嘗試從學(xué)生的“想當(dāng)然”起步，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，探尋知識(shí)本質(zhì)，并通過(guò)練習(xí)查漏補(bǔ)缺。

一、從學(xué)生的“想當(dāng)然”起步

師 （出示長(zhǎng)方形和正方形的圖片，圖略）要知道這兩個(gè)圖形的面積，該怎么辦？

生只要知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度，再利用公式長(zhǎng)×寬，就能算出長(zhǎng)方形的面積。

生正方形的話，只要知道邊長(zhǎng)，就能根據(jù)公式算出面積。

（教師課件補(bǔ)充條件;長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4厘米、寬為3厘米，正方形的邊長(zhǎng)為4厘米。學(xué)生求面積。）

師（出示平行四邊形的圖片，圖略）這是一個(gè)平行四邊形，它的面積怎么算？是多少？請(qǐng)同學(xué)們從材料袋中拿出平行四邊形，自己量取所需要的數(shù)據(jù)，試著算一算。

（學(xué)生量數(shù)據(jù)并計(jì)算。）

師你量了什么？怎么算的？

生我量了一條底是7厘米，旁邊一條斜邊是5厘米，面積是7×5=35（平方厘米）。

生我量了一條底是7厘米，一條高是3厘米，面積是7×3=21（平方厘米）。

生我也是量了一條底和斜邊，面積是（7+5）×2=24（平方厘米）。

師同一個(gè)平行四邊形的面積有了三種答案，到底哪種才是對(duì)的呢？實(shí)際上，我們有一種最原始但卻很有效的方法可以用來(lái)驗(yàn)證。還記得我們是如何得出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式的嗎？

生數(shù)格子。

（教師課件動(dòng)態(tài)展示長(zhǎng)4厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形由12個(gè)1平方厘米的小正方形組成的過(guò)程，然后，加上面積計(jì)算公式，如圖1所示。）

圖1

師長(zhǎng)方形包含幾個(gè)面積單位，即小正方形，它的面積就是幾。那么，平行四邊形包含幾個(gè)面積單位，是不是面積也就是幾呢？（出示圖2）我們是否可以把平行四邊形放到邊長(zhǎng)為1厘米的方格圖中，通過(guò)數(shù)一數(shù)來(lái)得出這個(gè)平行四邊形的面積是多少呢？

圖2

生對(duì)，可以的。

（學(xué)生獨(dú)自數(shù)面積。）

師你是怎么數(shù)的？面積是多少？

生我是先數(shù)整格的，再把兩邊的拼起來(lái)，一共21個(gè)整格。

生（展示圖3）我是把左邊的一個(gè)三角形拼到右邊，正好拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是7厘米，寬是3厘米，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就是21平方厘米，平行四邊形的面積也就是21平方厘米。

圖3

師通過(guò)數(shù)格子，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)平行四邊形的面積是21平方厘米。這和之前用底×高算出來(lái)的面積是一樣的，也就是說(shuō)，用底×高來(lái)算可能是對(duì)的。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論告訴我們：學(xué)習(xí)不是被動(dòng)地接收信息刺激，而是根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)背景，對(duì)外部信息主動(dòng)地選擇、加工和處理，從而獲得個(gè)體的理解的過(guò)程。如同前測(cè)所得出的一樣，學(xué)生果然存在鄰邊相乘的“想當(dāng)然”。教學(xué)就從學(xué)生的“想當(dāng)然”起步，引導(dǎo)學(xué)生回顧長(zhǎng)方形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)：通過(guò)擺小正方形、數(shù)格子計(jì)算面積，即看圖形里包含幾個(gè)面積單位，這是面積計(jì)算的本質(zhì)。因此，當(dāng)同一個(gè)平行四邊形的面積出現(xiàn)幾種不同的計(jì)算結(jié)果后，利用這種本質(zhì)方法來(lái)驗(yàn)證，這是學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的前后銜接。展示不同的數(shù)格子方法，尤其是拼成長(zhǎng)方形后再數(shù)的方法，使學(xué)生直觀地感受到：只有將圖形這樣變形，才能夠最簡(jiǎn)便地計(jì)算出它包含了幾個(gè)面積單位。如此，平行四邊形的面積為何要通過(guò)剪、移、拼進(jìn)行轉(zhuǎn)化的道理，得以不露痕跡地滲透與建構(gòu)。

二、尋找解決“想當(dāng)然”的方法

師接下來(lái)，我們?cè)摳墒裁茨兀?/p>

生我們要研究平行四邊形的面積是不是用底×高來(lái)算。

生我們要研究平行四邊形的面積為什么用底×高來(lái)算。

師這兩個(gè)問(wèn)題本質(zhì)上是一樣的，都是要知道平行四邊形的面積為什么用底×高來(lái)算，其中有什么道理。同學(xué)們先獨(dú)立思考一下，然后把你的想法說(shuō)給組內(nèi)同學(xué)聽(tīng)。

（學(xué)生獨(dú)立思考后小組交流。）

生平行四邊形可以變成長(zhǎng)方形，底和高與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬一樣，所以用底×高算。

生我們的想法也是把平行四邊形一邊的三角形移過(guò)去，變成長(zhǎng)方形。

師看來(lái)，同學(xué)們的想法是一致的，（板書(shū)：平行四邊形→長(zhǎng)方形）研究平行四邊形的面積要把平行四邊形變成長(zhǎng)方形。把平行四邊形變成長(zhǎng)方形，（在箭頭上方板書(shū)：轉(zhuǎn)化）數(shù)學(xué)上叫轉(zhuǎn)化。用轉(zhuǎn)化的方法可以把沒(méi)學(xué)過(guò)的知識(shí)變成已學(xué)過(guò)的知識(shí)，從而解決新問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的方法。平行四邊形怎么轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？所有的平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？下面我們繼續(xù)研究。請(qǐng)同學(xué)們拿出材料袋中的平行四邊形和剪刀，試著將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，然后說(shuō)說(shuō)你是怎么轉(zhuǎn)化的。

（學(xué)生操作。）

生（投影展示剪拼過(guò)程，得到圖4）我是沿著一條高剪下一個(gè)三角形，移到另一邊，就拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形。

圖4

生（投影展示剪拼過(guò)程，得到圖5）我剪下的是一個(gè)梯形，移到另一邊，拼成了長(zhǎng)方形。

圖5

師這兩個(gè)同學(xué)在剪的時(shí)候有什么共同點(diǎn)？

生都是沿著高剪的。

師只能沿著這樣的兩條高剪嗎？為什么要沿著高剪？

生沿著任意一條高剪，都能將剪開(kāi)后的兩個(gè)圖形拼成長(zhǎng)方形。

生只有沿著高剪，才能有直角，才能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

師沿著平行四邊形任意一條高，通過(guò)剪、移、拼，可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。任意一個(gè)平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？

（教師根據(jù)學(xué)生的回答出示圖6。）

圖6

師完成轉(zhuǎn)化后，我們要找找它們之間的聯(lián)系。轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方形與平行四邊形哪些要素有聯(lián)系呢？請(qǐng)同學(xué)們觀察剛才的平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形，（出示表1）并填寫(xiě)表格。

表1

轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方形平行四邊形長(zhǎng)/cm寬/cm面積/cm2底/cm高/cm面積/cm2（學(xué)生填表。）

師觀察表格，你發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方形與原來(lái)的平行四邊形有什么聯(lián)系？

生長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與平行四邊形的底相等，長(zhǎng)方形的寬與平行四邊形的高相等，長(zhǎng)方形的面積與平行四邊形的面積相等。

生平行四邊形的面積就是長(zhǎng)方形的面積。

平行四邊形的面積為什么是底乘高？如何將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？是否所有的平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形與平行四邊形有哪些關(guān)系？這些問(wèn)題的深入探討都能促進(jìn)學(xué)生對(duì)平行四邊形面積計(jì)算“想當(dāng)然”的糾偏。同時(shí)，根據(jù)知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性，在本單元教學(xué)中要循序漸進(jìn)地教給學(xué)生平面圖形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)，也就是探究“轉(zhuǎn)化”的三個(gè)具體步驟。第一步，掌握把未知轉(zhuǎn)化成已知的方法，也就是從關(guān)鍵的點(diǎn)或線出發(fā)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。這些經(jīng)驗(yàn)的積累可以為學(xué)生實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化提供具體的方法支撐。第二步，找到轉(zhuǎn)化前后的關(guān)系。要幫助學(xué)生明確：變化不是隨便的，在變化中要找到前后的聯(lián)系，即相互關(guān)系，這是轉(zhuǎn)化很關(guān)鍵的部分。因此，教師在課堂中要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形變化前后線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和面積的相等關(guān)系，為面積公式的推導(dǎo)提供有力的證據(jù)。第三步，利用轉(zhuǎn)化前后的關(guān)系推出結(jié)論。前兩步的最終目的是獲得未知圖形面積計(jì)算的結(jié)論。根據(jù)轉(zhuǎn)化前后的聯(lián)系，可以用文字或字母的形式來(lái)表達(dá)面積公式，這是發(fā)展學(xué)生邏輯思維的重要資源。學(xué)生掌握了這樣的學(xué)習(xí)方法和步驟，可為本單元及今后的學(xué)習(xí)中主動(dòng)探究其他圖形的面積計(jì)算方法打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、在練習(xí)中解決“想當(dāng)然”

（一）強(qiáng)調(diào)底與高的對(duì)應(yīng)性

師（出示圖7—圖9）請(qǐng)同學(xué)們求這些平行四邊形的面積。

圖7圖8

圖9

（學(xué)生計(jì)算，交流。交流圖9中平行四邊形的面積計(jì)算時(shí)出現(xiàn)了分歧。）

生80×40=3200（平方厘米）。

生我覺(jué)得不能這么計(jì)算，因?yàn)榈走?0厘米上的高沒(méi)有告訴我們，不應(yīng)該乘另一條高。

生是的，沿著40厘米的高剪開(kāi)，拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)不是80厘米。

（教師課件出示80厘米底邊上的高為35厘米，學(xué)生計(jì)算。）

師 這提醒我們計(jì)算平行四邊形的面積時(shí)要注意什么？

生底和高要對(duì)應(yīng)。

師 能求出與40厘米的高對(duì)應(yīng)的底嗎？

生80×35=2800（平方厘米），2800÷40=70（厘米）。

師 已知平行四邊形的底和高，可以求面積;反過(guò)來(lái)，已知面積和高或底，可以求對(duì)應(yīng)的底或高。

（二）明確等底等高與面積相等的充分不必要關(guān)系

師（出示圖10）這三個(gè)平行四邊形形狀不同，請(qǐng)比較它們的面積大小。

圖10

生左邊的平行四邊形面積最大。

生我覺(jué)得三個(gè)平行四邊形的面積是相等的。因?yàn)?，這三個(gè)平行四邊形的底是相同的，高也是相等的。

生是的，只要在三個(gè)平行四邊形的上邊畫(huà)一條直線，就能看出高是平行線之間的距離，而平行線之間的距離是處處相等的，所以高是相等的;底相等、高相等的平行四邊形，面積也是相等的。

師 真好，有理有據(jù)！那么，面積相等的平行四邊形一定等底等高嗎？

（學(xué)生思考。）

生不一定的。舉個(gè)例子，如果平行四邊形的面積是12的話，可以底是4、高是3，也可以底是2、高是6……只要兩個(gè)數(shù)相乘的積是12就行。

師 用舉例的方法說(shuō)明了面積相等的平行四邊形不一定等底等高，真有策略！所以，等底等高的平行四邊形面積相等，但面積相等的平行四邊形不一定等底等高。

（三）解答課始的“想當(dāng)然”

師 現(xiàn)在，我們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)看看，為什么7×5、（7+5）×2算出的不是平行四邊形的面積？

生（7+5）×2求的是平行四邊形的周長(zhǎng)。

師 是的。平行四邊形四條邊的長(zhǎng)度和是平行四邊形的周長(zhǎng)，不是面積。那7×5，相鄰兩邊相乘，為什么也不是平行四邊形的面積呢？我們請(qǐng)出平行四邊形框架來(lái)解釋。

（教師拉動(dòng)平行四邊形框架，學(xué)生觀察。）

師 拉動(dòng)平行四邊形框架，什么沒(méi)有變化，什么發(fā)生了變化？

生平行四邊形的底和鄰邊沒(méi)有變。

生面積在變大或變小。

師 面積怎么會(huì)變大或變小呢？繼續(xù)觀察。

（教師再次拉動(dòng)平行四邊形框架，學(xué)生觀察。）

生因?yàn)樾螤钤谧儭?/p>

生因?yàn)楦咴谧兓Ｆ叫兴倪呅巫兂砷L(zhǎng)方形，高就變大;長(zhǎng)方形變成平行四邊形，高就變小，所以面積就會(huì)變化。

生把平行四邊形拉成長(zhǎng)方形或其他平行四邊形，其實(shí)是周長(zhǎng)不變，面積發(fā)生變化。

師 是啊，都是把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，我們要找到轉(zhuǎn)化前后的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)其中的變與不變。

練習(xí)是鞏固知識(shí)的主要途徑。本課的練習(xí)設(shè)計(jì)，注重對(duì)學(xué)生知識(shí)掌握情況的查漏補(bǔ)缺。首先，是直接運(yùn)用公式計(jì)算平行四邊形面積的題目，起到鞏固所學(xué)的作用。但在題目中設(shè)置了“陷阱”，呈現(xiàn)了底和高不對(duì)應(yīng)的信息，以暴露學(xué)生讀題時(shí)的“想當(dāng)然”——直接套用公式底×高，提醒學(xué)生注意底與高的對(duì)應(yīng)性。接著，通過(guò)三個(gè)極具迷惑性的平行四邊形誘導(dǎo)學(xué)生“想當(dāng)然”——越“長(zhǎng)”的平行四邊形面積越大。這進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生的辯證思考：等底等高的平行四邊形面積相等，但面積相等的平行四邊形不一定等底等高。最后，是對(duì)課始學(xué)生“想當(dāng)然”的回應(yīng)：在拉動(dòng)平行四邊形框架的過(guò)程中，學(xué)生直觀、清晰地理解了計(jì)算平行四邊形的面積為什么不是鄰邊相乘。這一過(guò)程還滲透了利用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行解決問(wèn)題的關(guān)鍵——找到轉(zhuǎn)化前后的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)其中的變與不變。