孫 爍，趙鳳霞，辛傳福，張琳娜

（鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

平面常作產(chǎn)品設(shè)計(jì)、加工、裝配和檢測的基準(zhǔn)，平面度誤差對產(chǎn)品的性能有著重要的影響，因此快速準(zhǔn)確地評定平面度誤差具有重要的意義。評定平面度誤差的方法有最小二乘法、對角線平面法、三遠(yuǎn)點(diǎn)平面法和最小包容區(qū)域法。其中，最小包容區(qū)域法[1]是平面度誤差缺省評定方法。常用的最小包容區(qū)域評定法有：變換作圖法、旋轉(zhuǎn)變換法、變換計(jì)算法、極點(diǎn)計(jì)算法、計(jì)算幾何法等，這些算法不適合進(jìn)行幾何誤差的數(shù)字化評定，與現(xiàn)代化的測量設(shè)備不相適應(yīng)。近來出現(xiàn)比較有代表性的算法有凸包法[2]、新型凸包法[3]。凸包法是基于凸殼理論提出的計(jì)算幾何法的一種，通過空間點(diǎn)集進(jìn)行計(jì)算，具有結(jié)果唯一、理論明確的特點(diǎn)，但同時(shí)也存在著不足，一些學(xué)者提出了改進(jìn)新型凸包法。隨著智能算法的出現(xiàn)，有些學(xué)者將遺傳算法，粒子群算法和蜂群算法等也逐漸運(yùn)用在平面度誤差的評定中。近幾年又有了幾何搜索逼近算法[4]、改進(jìn)遺傳算法[5]、改進(jìn)粒子群算法（PSO）[6]、改進(jìn)人工蜂群算法（MABC）[7]、模擬植物生長算法[8]（PGSA）、差分進(jìn)化算法[9]和進(jìn)化策略算法[10]等。其中，幾何搜索逼近算法不斷地對基準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行比較、估計(jì)和變換，構(gòu)造新的輔助點(diǎn)、參考面和輔助面，最終實(shí)現(xiàn)平面度誤差的最小區(qū)域評定?；趯?shí)數(shù)編碼的改進(jìn)遺傳算法，提高了收斂速度，具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和較高的精度。PSO 增加粒子的多樣性，解決了局部最優(yōu)的問題，加快了收斂速度。MABC 在原算法基礎(chǔ)上引入兩牽引蜜蜂和禁忌搜索策略。模擬植物生長算法（PGSA）是一種新的智能算法，具有較強(qiáng)的全局優(yōu)化特性。根據(jù)平面度誤差的定義和幾何特征，提出一種利用投影變換的平面度誤差評定方法，并用該方法代替平面度誤差的最小包容區(qū)域評定。

2 平面度誤差的投影變換評定原理

AX+BY+CZ+D=0 是平面在空間直角坐標(biāo)系中的一般方程。式中：n（A，B，C）是平面的法向量；D 是一個(gè)常數(shù)，它確定了平面的位置。由平面度的定義可知，最小區(qū)域平面度誤差值為用兩理想平行平面（即評定基面）包容提?。▽?shí)際）平面時(shí)所具有的最小寬度值，因此，理想平面的位置（即D 值）不影響平面度誤差值的大小。

由平面的法向量定義和性質(zhì)可知，將評定基面和所有測量點(diǎn)向評定基面的某一法平面上進(jìn)行正交投影，兩平行平面投影后的距離不變，且投影得到的兩平行直線包容所有測量點(diǎn)。由此即可將平面度的最小包容問題轉(zhuǎn)化為給定平面內(nèi)的直線度的最小包容問題，如圖1 所示。

圖1 投影變換原理圖Fig.1 Projection Transformation Schematic Diagram

該方法的關(guān)鍵之處在于如何尋找到最優(yōu)的法平面。對任何一個(gè)理想平面來說，都能找到無數(shù)個(gè)法平面，不同的法平面上，其對應(yīng)的投影后的測量點(diǎn)的密度不一樣。投影在法平面上的點(diǎn)越密集，那么影響平面度誤差評定的其他因素就越少，平面度誤差評定的結(jié)果也就越準(zhǔn)確。通過實(shí)例驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把測量點(diǎn)投影在包含基面短邊的法平面上時(shí)，投影后的測量點(diǎn)的密集性最好，因此，選擇包含基面短邊的法平面作為最優(yōu)法平面。

3 平面度誤差的投影變換評定過程

利用投影變換法的平面度誤差評定過程為：首先采用最小二乘法對原始測量點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到一個(gè)初始參考基面（最小二乘擬合平面），尋找初始參考基面的短邊并構(gòu)造法平面，然后將初始參考基面與原始測量點(diǎn)全部投影到法平面上，在法平面內(nèi)進(jìn)行平面直線度誤差的最小區(qū)域評定。由于直線度誤差評定基面與平面度誤差評定基面不同，因此，最后還需進(jìn)行傾斜校正才能得到最小包容區(qū)域平面度誤差值。

3.1 構(gòu)建最小二乘參考基面

假設(shè)測量點(diǎn)坐標(biāo)是：

其最小二乘擬合參考平面方程可寫成：

式中：p，q，c—最小二乘中心平面的方程系數(shù)，根據(jù)各測得點(diǎn)的坐標(biāo)值，按照式（2）～式（4）可得；n—X 方向的分段數(shù)；m—Y 方向的分段數(shù)。

3.2 尋找最優(yōu)法平面

A，B，C，D 是參考基面上的四個(gè)頂點(diǎn)，如圖2 所示。根據(jù)式（5）和式（6）計(jì)算出AB和BC的長度。比較AB和BC的長度，找到較短的邊。

假設(shè)BC 邊為短邊，構(gòu)建過基面BC 邊的法平面（M2）。根據(jù)立體幾何可知，兩個(gè)不共線的向量確定一個(gè)唯一的平面。參考基面的法向量是法平面上的一個(gè)向量。那么n1，n2是法平面里的兩個(gè)不共線的向量，n3是法平面的法向量。n1，n2，n3可以通過式（7）～式（9）進(jìn)行計(jì)算。

法平面（M2）可以通過式（10）計(jì)算求得：

圖2 構(gòu)建最優(yōu)法平面Fig.2 Construction of the Optimal Normal Plane

3.3 投影變換

將所有的測量點(diǎn)（P（Xi，Yi，Zij））投影在法平面（M2）上，投影后的測量點(diǎn)坐標(biāo)P1（xi，yj，zij）由以下步驟獲得，如圖3 所示。這里以一個(gè)測量點(diǎn)P（XP，YP，ZP）為例說明投影變換的具體過程。其中，P1（xP，yP，zP）是該點(diǎn)投影后的坐標(biāo)。

根據(jù)P1點(diǎn)滿足法平面方程可得：

由PP1 和n3平行可得：

上述公式變換可得：

將式（13）和式（14）帶入式（11）中可得xP：

把式（15）帶入到式（13）和式（14）中可以得到 yP和 zP的值。所有測量點(diǎn)投影后的坐標(biāo)都可以根據(jù)上述步驟得到。

圖3 投影變換Fig.3 Projection Transform

3.4 評定最小區(qū)域直線度誤差

投影變換后的法平面的正視圖，如圖4 所示。平面度的最小包容問題已轉(zhuǎn)化為給定平面內(nèi)的直線度的最小包容問題求解。

圖4 法平面的正視圖Fig.4 The Orthographic View of the Optimal Normal Plane

3.5 傾斜校正

投影變換操作后的點(diǎn)坐標(biāo)是在全局坐標(biāo)系下得到的，而在3.4 章節(jié)中敘述的直線度誤差評定時(shí)應(yīng)使用的是法平面的局部坐標(biāo)系下的點(diǎn)的坐標(biāo)。因此，必須將投影后點(diǎn)的坐標(biāo)由全局坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)換成局部坐標(biāo)系。假設(shè)誤差值線段為L1，而真實(shí)的誤差值線段（平面度誤差）為L，如圖5 所示。經(jīng)過傾斜校正操作將L1轉(zhuǎn)變?yōu)長。

L1和L 之間的位置關(guān)系如下：

式中：θ—線段 L1和 L 之間的夾角，也是法平面（M2）和 XOZ 平面（或YOZ 平面）之間的夾角。法平面的法向量是n3，XOZ 平面的法平面是n4。

平面度誤差值w0的計(jì)算公式如下：

注：YOZ 平面的法向量為（1，0，0）。

圖5 傾斜校正Fig.5 Tilt Correction

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在MATLAB R2014a 環(huán)境下，按照前述步驟進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)該算法。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源與其評定結(jié)果，如表1 所示。第1 組數(shù)據(jù)在MATLAB 中的運(yùn)行結(jié)果示例圖，如圖6 所示。

表1 不同方法的平面度誤差結(jié)果比較Tab.1 Comparison of Flatness Error Results Obtained by Different Methods

圖6 第1 組數(shù)據(jù)在MATLAB 中的運(yùn)行實(shí)例圖及結(jié)果圖Fig.6 The First Group of Data in MATLAB Operation Example Diagram and Results Diagram

表1 給出了不同方法的平面度誤差評定結(jié)果。其中前4 組數(shù)據(jù)測量點(diǎn)為25 個(gè)，第5 組數(shù)據(jù)測量點(diǎn)為70 個(gè)。

在第1 組數(shù)據(jù)中，提出的投影變換法的計(jì)算結(jié)果為160.2（μm），計(jì)算時(shí)間大約為0.10s。該結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法有著很好的一致性，明顯優(yōu)于最小區(qū)域法，最小二乘法，F(xiàn)unction oriented methods 等方法。第2 組數(shù)據(jù)的結(jié)論與第1 組相同。第3 組數(shù)據(jù)中IGA 算法需要大約70 次迭代才能找到最優(yōu)解，而提出的方法不需要設(shè)置參數(shù)和繁瑣的迭代過程，可以達(dá)到類似于IGA 的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算時(shí)間約為0.15s。

文獻(xiàn)[14]提出了一種近似最小區(qū)域的方法。通過對其中的示例2 和7 的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理分析可知：近似最小區(qū)域法和投影變換法在優(yōu)化程度上略遜于CONHEN 法。例7 中的測量點(diǎn)數(shù)據(jù)比較多，其包含的平面度誤差信息更多，精度也較高。在例7 中，投影變換法的結(jié)果與CONHEN 法的結(jié)果之差為0.4347（μm），而在例2 中，兩者算法結(jié)果之差為0.8229（μm）。由此，可以推斷出，測量點(diǎn)越多，提出的投影變換法計(jì)算結(jié)果不僅優(yōu)于近似最小區(qū)域法，而且在優(yōu)化程度上也更接近于CONHEN 法。

綜上所述，提出的平面度誤差評定的投影變換法比近似最小區(qū)域法和CONHEN 法具有原理清晰、計(jì)算簡便的優(yōu)點(diǎn)，因此該方法為平面度誤差的評定提供了一種全新的思路。

5 結(jié)論

利用投影變換的思路，提出一種新的平面度誤差評定方法。應(yīng)用不同文獻(xiàn)中的多組測量數(shù)據(jù)，將投影變換法應(yīng)用到平面度誤差的評定當(dāng)中，與不同文獻(xiàn)中的多個(gè)方法進(jìn)行比較，其結(jié)果表明：

（1）投影變換法的計(jì)算結(jié)果明顯優(yōu)于最小二乘法、最小區(qū)域法和凸包法，具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性和收斂性。

（2）投影變換法的結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法和改進(jìn)遺傳算法有著很好的一致性，驗(yàn)證了該方法的正確性與可行性。在同組數(shù)據(jù)下，投影法的計(jì)算時(shí)間比前者大約縮短1s，比后者縮短0.06s，具有計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)。

（3）在測量數(shù)據(jù)較多的情況下，投影變換法的結(jié)果優(yōu)于近似最小區(qū)域法，并且在優(yōu)化程度上也更加接近于CONHEN 法，比CONHEN 法的原理更加清晰、簡單易懂。

該方法為評定平面度誤差提供了一種全新的、切實(shí)可行的思路，也為其他的誤差評定做出了參考。